课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 线性方程组部分) 填空题 3 1.若矩阵方程-1012x=b2有解,则a+b= (2012年北京工业大学) 0123 2.设矩阵A=01tt,齐次线性方程组Ar=0的解空间的维数为2,则t (2015年北京 1t01 工业大学 3.若n阶矩阵A的各行元素之和为零,且R(4)=n-1,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系 (2016年北京工业大学) 4.已知线性方程组 无解,则入= 2016年北京工业大学) 5.一组齐次线性方程组 121 无解,则a (200年北京交通大学) 6.设A是5阶矩阵A*是A的伴随矩阵,若m,n是方程组AX=0的两个线性无关的解,那么秩r(A”) (2016年北京交通大学) 7.已知方程组1a1x 1有无穷解,则 (2011年北京科技大学) 11
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Ç5êß|‹©) ò. WòK 1. e› êß 1 1 1 1 −1 0 1 2 0 1 2 3 X = 1 3 b 2 1 a k), Ka + b = . (2012cÆÛíåÆ) 2. › A = 1 2 1 2 0 1 t t 1 t 0 1 , ‡gÇ5êß|Ax = 0)òmëÍè2, Kt = . (2015cÆ ÛíåÆ) 3. en › Aà1ÉÉ⁄è", ÖR(A) = n − 1, K‡gÇ5êß|Ax = 0òáƒ:)X è . (2016cÆÛíåÆ) 4. ÆÇ5êß| −x1 − x2 + 3x3 = 1 + λ −2x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + x2 + λx3 = λ Ã), Kλ = . (2016 cÆÛíåÆ) 5. ò|‡gÇ5êß| 1 2 1 2 3 a + 2 1 a −2 x1 x2 x3 = 1 3 0 Ã), Ka = . (2009 cÆœåÆ) 6. A¥5 › ,A∗¥Aäë› , eη1, η2 ¥êß|AX = 0¸áÇ5Ã'), @oùr(A∗ ) = . (2016 cÆœåÆ) 7. Æêß| a 1 1 1 a 1 1 1 a x1 x2 x3 = 1 1 −2 kð), Ka = . (2011cÆâEåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
8.设3阶矩阵A的列分块矩阵为1A=(a1,a2,a1+a2),若a1,a2线性无关,且B=2a1+a2,则线性方程 组AX=β的通解为 015年大连理工大学) 110 9矩阵方程011x=1-11的解为(20年南京大学) 001 10.设n级方阵A的每一行的和为0且A的秩等于n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解 为 (2011年南京大学) 11.已知n阶方阵A的秩r(A)=n-2,a1=[1,2,3,a2=[1,1,1,a3=2,3,2f为非齐次线性方程 组AX=b的解,则AX=b的通解为 (2010年上海大学) 12.设A是m×4矩阵,且A中有个三列向量线性无关,如果线性方程组AX=b有解a=[1,2,3,4, B=[1,1,1,1,则AX=b的通解是 (2011年上海大学) 13.设A为n阶非可逆矩阵,且A*的第一列向量为a≠0,如果线性方程组Ax=b有解B,则线性方 程组Ax=b的通解为 (2012年上海大学) 14.设A是m×4矩阵,且A中有个三列向量线性无关,如果线性方程组AX=b有解a=[1,2,3,4, B=[1,1,1,1,则AX=b的通解是 (2012年上海大学) 选择题 如果n阶方阵4的秩R(4)=5,列向量X=(x1,x2,…,xn),B=(b1,b2…,bn),齐次线性方程 组AX=0与BX=1有公共解,则().(2009年北京工业大学 (C)s=n (D)无确定结论 2.记A为n阶实方阵A的伴随矩阵.如果齐次线性方程组A*X=0的解空间的维数是n-1,则AX=0的 解空间的维数必然().(2009年北京工业大学) (A)等于 (B)等 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确 3.记A·为m阶实方阵A的伴随矩阵.如果齐次线性方程组AX=0的解空间的维数是1,则AX=0的解 空间的维数必然().(2009年北京工业大学) (A)等于 (B)等于n-1 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确
8. 3 › A©¨› è1A = (α1, α2, α1 + α2), eα1, α2 Ç5Ã', Öβ = 2α1 + α2, KÇ5êß |AX = β œ)è . (2015 cåÎnÛåÆ) 9. › êß 1 1 0 0 1 1 0 0 1 X = 2 1 1 1 −1 1 1 1 1 )è . (2010 cHÆåÆ) 10. n ?ê A zò1⁄è0 Ö A ù u n − 1, K‡gÇ5êß| AX = 0 œ) è . (2011cHÆåÆ) 11. Æ n ê A ù r(A) = n − 2, α1 = [1, 2, 3]T , α2 = [1, 1, 1]T , α3 = [2, 3, 2]T èö‡gÇ5êß | AX = b ), K AX = b œ)è . (2010c˛°åÆ) 12. A ¥ m × 4 › ,Ö A •kánï˛Ç5Ã', XJÇ5êß| AX = b k) α = [1, 2, 3, 4]T , β = [1, 1, 1, 1]T , K AX = b œ)¥ . (2011 c˛°åÆ) 13. A è n öå_› , Ö A∗ 1òï˛è α 6= 0, XJÇ5êß| Ax = b k) β, KÇ5ê ß| Ax = b œ)è . (2012c˛°åÆ) 14. A ¥ m×4 › , Ö A •kánï˛Ç5Ã', XJÇ5êß| AX = b k) α = [1, 2, 3, 4]T , β = [1, 1, 1, 1]T , K AX = b œ)¥ . (2012c˛°åÆ) . ¿JK 1. XJn ê AùR(A) = s, ï˛X = (x1, x2, · · · , xn) 0 , β = (b1, b2, · · · , bn) 0 , ‡gÇ5êß |AX = 0 Üβ 0 X = 1k˙), K( ). (2009cÆÛíåÆ) (A)s > n (B)s < n (C)s = n (D)Ã(½(ÿ 2. PA∗èn ¢ê Aäë› . XJ‡gÇ5êß|A∗X = 0)òmëÍ¥n−1, KAX = 0 )òmëÍ7,( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A) u1 (B) un − 1 (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 3. PA∗èn ¢ê Aäë› . XJ‡gÇ5êß|A∗X = 0)òmëÍ¥1, KAX = 0) òmëÍ7,( ). (2009cÆÛíåÆ) (A) u1 (B) un − 1 (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 2 厦门大学《高等代数》
4. 0是满足条件 0的方程组 nn bn anIL+ annEn= bn an+1.111+..+an+1.1Tn= bn 有解的().(2010年北京工业大学) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上三个选项都不正确 5.若实系数方程组{a2x+b2y=2有解,记D=a2b2e2则().(20年北京工业大学) a3I+ b3y= a3 b3 C3 (A)D>0 (B)D<0 (C)D=0 (D)D可以是任何实数 6.若3维列向量组{a1,a2,a3},{B1,B2}作为列向量形成的矩阵A=( alpha1,a2,a3),B=(1,B2)满足A 268).则齐次线性方程组AX=0的解的情况是()(2012年北京工业大学) (A)有唯一解 (B)无解 (C)有无穷多解 (D)不确定,依赖a1,a2,a3的具体情况 7.设A是n阶方阵,则下列选项中正确的是().(2017年北京工业大学) (A)当齐次线性方程组Ax=0有唯一解时,|4|=0(B)当齐次线性方程组Ax=0有无穷多解时,4|=0. (C)当4=0时,线性方程组Ax=b无解 (D)当4=0时,线性方程组Ax=b有无穷多解 8=1是齐次方程组 +2x2+ 有非零解的().(2016年北京交通大学 (4)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
4. a11 · · · a1n b1 · · · · · · · · · · · · an1 · · · ann bn an+1,1 · · · an+1,n bn+1 = 0¥˜v^á a11 · · · a1n · · · · · · · · · an1 · · · ann = 0êß| a11x1 + · · · + a1nxn = b1 · · · · · · · · · an1x1 + · · · + annxn = bn an+1,1x1 + · · · + an+1,1xn = bn+1 k)( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)7á^á (B)ø©^á (C)ø©7á^á (D)±˛ná¿ë—ÿ( 5. e¢XÍêß| a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 a3x + b3y = c3 k), PD = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 . K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)D > 0 (B)D < 0 (C)D = 0 (D)Då±¥?¤¢Í 6. e3ëï˛|{α1, α2, α3}, {β1, β2}äèï˛/§› A = (alpha1, α2, α3), B = (β1, β2)˜vA = B 1 −5 7 2 6 8 ! , K‡gÇ5êß|AX = 0)ú¹¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)kçò) (B)Ã) (C)kðı) (D)ÿ(½, ù6α1, α2, α3 ‰Nú¹ 7. A¥n ê , Ke¿ë•(¥( ). (2017cÆÛíåÆ) (A)‡gÇ5êß|Ax = 0kçò)û, |A| = 0.(B)‡gÇ5êß|Ax = 0kðı)û, |A| = 0. (C)|A| = 0û, Ç5êß|Ax = bÃ) (D)|A| = 0û, Ç5êß|Ax = bkðı) 8. a = 1¥‡gêß| x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 kö")( ). (2016cÆœåÆ) (A)ø©7á^á (B)ø©ö7á^á (C)7áöø©^á (D)Qöø©qö7á^á 3 厦门大学《高等代数》
9.设A为m阶矩阵,a为n维列向量,若秩 =秩A,则线性方程组().(2017年北京交通大学) (A)AX=a必有无穷多解 (B)AX=a有唯一解 仅有零解; (D) 必有非零解 0.设三元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为a=(1,0,2),B=(1,-1,3),且系数矩阵A的秩为2,则 对与任意常数k,k1,k2,方程的通解为().(2011年北京科技大学) (A)k1(1,0,2)+k2(1,-1,3) (B)(1,0,2)+k(1,-1,3 (C)(1,0,2)+k(2,-1,5) (D)(1,0,2)+k(0,1,-1) 11.设A为n阶方阵,下列结论正确的有() A.A的行向量组线性相关的充分必要条件是|A|=0; B.线性方程组AX=b有无穷多组解的充分必要条件是|4|=0; C.|A|=0的充分必要条件是|4|=0; D.以上结论都正确 三计算题 1.解方程组 (x-y)2+(y-2)2+(2-x)2=14 (x2y2+2y2+x2 (2009年北京大学) 2.参数取何整数时,线性方程组 3t x1+x2+2x3+x4=t2 有解?写出相应情况下方程组的一般解.(2012年北京工业大学) 3.已知线性方程组 r1+(a+2)x2+(a+1)x3=a+3 r1+2x2+ar3=3
9. Aèn › , αènëï˛, eù A α α T 0 ! =ùA, KÇ5êß|( ). (2017 cÆœåÆ) (A)AX = α7kðı); (B)AX = αkçò); (C) A α α T 0 ! X Y ! =k"); (D) A α α T 0 ! X Y ! 7kö"). 10. nö‡gÇ5êß|Ax = b¸á)èα = (1, 0, 2)0 , β = (1, −1, 3)0 , ÖXÍ› A ùè2, K ÈÜ?ø~Ík, k1, k2, êßœ)è( ). (2011 cÆâEåÆ) (A)k1(1, 0, 2)0 + k2(1, −1, 3)0 (B)(1, 0, 2)0 + k(1, −1, 3)0 (C)(1, 0, 2)0 + k(2, −1, 5)0 (D)(1, 0, 2)0 + k(0, 1, −1)0 11. A è n ê , e(ÿ(k ( ) A. A 1ï˛|Ç5É'ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; B. Ç5êß| AX = b kðı|)ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; C. |A∗ | = 0 ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; D. ±˛(ÿ—(. n.OéK 1. )êß| x + y + z = 2 (x − y) 2 + (y − z) 2 + (z − x) 2 = 14 x 2y 2 z + x 2yz2 + xy2 z 2 = 2 (2009cÆåÆ) 2. ÎÍt¤Íû, Ç5êß| 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 = 1 x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 3t x1 + x2 + 2x3 + x4 = t 2 k)? —ÉAú¹eêß|òÑ). (2012cÆÛíåÆ) 3. ÆÇ5êß| x1 + x2 + x3 = 1 2x1 + (a + 2)x2 + (a + 1)x3 = a + 3 x1 + 2x2 + ax3 = 3 4 厦门大学《高等代数》
有无穷多解;设A是三阶矩阵,a1=(1,a,0),a2=(-a,1,0),a3=(0,0,a)分别为A的属于特征 值λ=1,A2=-2,A3=-1的特征向量 (1)求所给线性方程组的通解 (2)求矩阵A (3)求行列式A+3E的值.(2014年北京工业大学) 4.设线性方程组AX=b为4元非齐次线性方程组,秩(4)=3.已知a1,a2,a3是方程的三个解向量, 且a1+a2=(1,2,0,4),a2+a3=(1,0,0,1) (1)求该方程组相应导出组AX=0的一个基础解系 (2)求AX=b的通解.(2015年北京工业大学 5.问常数a,b各取何值时时,线性方程组 3x1+5x2+x3+(a+8)x4=5 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在无穷多解时写出其一般解.(2010年北京交通大学) 6.问常数a,b各取何值时时,以下方程组有解?并求其解.(2011年北京交通大学) x1+x2+x3+x4+x 3x1+2x2+x3+x4-3x5= x2+2x3+2x4+6x5=3 5x1+4x2+3x3+3x4-r5=b 7.入取何值时 Ax1+x2+x3=A-3 有解?并求其解.(2013年北京交通大学) 8.问常数a,b各取何值时,线性方程组 r2+(a-3)x3-2x4=b 3x1+2x2+x3+ar 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在无穷多解时写出其一般解.(2014年北京交通大学) 9.已知线性方程组
kðı); A¥n › , α1 = (1, a, 0)0 , α2 = (−a, 1, 0)0 , α3 = (0, 0, a) 0 ©OèA·uA äλ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = −1Aï˛. (1)¶§âÇ5êß|œ); (2)¶› A; (3)¶1™|A∗ + 3E|ä. (2014cÆÛíåÆ) 4. Ç5êß|AX = bè4ö‡gÇ5êß|, ù(A) = 3. Æα1, α2, α3¥êßná)ï˛, Öα1 + α2 = (1, 2, 0, 4)0 , α2 + α3 = (1, 0, 0, 1)0 (1)¶Têß|ÉA—|AX = 0òáƒ:)X. (2)¶AX = bœ). (2015cÆÛíåÆ) 5. Ø~Ía, bà¤äûû, Ç5êß| x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x2 − x3 + 2x4 = 1 2x1 + 3x2 + (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 3x1 + 5x2 + x3 + (a + 8)x4 = 5 Ã), kçò), ½kðı), ø3ðı)û—ŸòÑ). (2010cÆœåÆ) 6. Ø~Ía, bà¤äûû, ±eêß|k)? ø¶Ÿ). (2011cÆœåÆ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = a x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 3 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = b 7. λ¤äû λx1 + x2 + x3 = λ − 3 x1 + λx2 + x3 = −2 x1 + x2 + λx3 = −2 k)? ø¶Ÿ). (2013cÆœåÆ) 8. Ø~Ía, bà¤äû, Ç5êß| x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 = 1 −x2 + (a − 3)x3 − 2x4 = b 3x1 + 2x2 + x3 + ax4 = −1 Ã), kçò), ½kðı), ø3ðı)û—ŸòÑ). (2014cÆœåÆ) 9. ÆÇ5êß| 5 厦门大学《高等代数》
+3r3+bx4=1 有3个线性无关的解,求ab的值及方程组的通解.(2016年北京交通大学) 10.请给出方程组 r2+a2x3=a1 +a2x3=a2 033=03 x1+a4x2+a2x3=a3 无解的一个充要条件,并且当:B1=(-1,1,1)2,B2=(1,1,-1)为解时,求全部解.(2017年北京交通 大学) 11.已知方程组 2x1+(a+2)x2-(b+2)x3=3 (a+2b)z 问:当a,b取什么值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并在无穷多解时,给出这个方程组的通 解.(2009年北京科技大学) 2.研究k取何值时,线性方程组 (1)有唯一解 (2)有无穷多解; (3)无解.(2012年北京科技大学 13.求方程组 x2+2x3+2x4+6x5=3 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=b 问常数a,b各取何值时时,以下方程组有解?并求其解.(2016年北京科技大学)
x1 + x2 + x3 + x4 = −1 4x1 + 3x2 + 5x3 − x4 = −1 ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1 k3áÇ5Ã'), ¶a, bä9êß|œ). (2016 cÆœåÆ) 10. ûâ—êß| x1 + a1x2 + a 2 1x3 = a 3 1 x1 + a2x2 + a 2 2x3 = a 3 2 x1 + a3x2 + a 2 3x3 = a 3 3 x1 + a4x2 + a 2 4x3 = a 3 4 Ã)òáøá^á, øÖ: β1 = (−1, 1, 1)T , β2 = (1, 1, −1)T è)û, ¶ ‹). (2017 cÆœ åÆ) 11. Æêß| x1 + x2 − x3 = 1 2x1 + (a + 2)x2 − (b + 2)x3 = 3 −3ax2 + (a + 2b)x3 = −3 Ø: a, büoäû, êß|Ã)? kçò)? kðı)? ø3ðı)û, â—˘áêß|œ ). (2009cÆâEåÆ) 12. Ôƒk¤äû, Ç5êß| kx1 + x2 + x3 = 5 3x1 + 2x2 + kx3 = 18 − 5k x2 + 2x3 = 2 (1)kçò); (2)kðı); (3)Ã). (2012cÆâEåÆ) 13. ¶êß| x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = a x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 3 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = b Ø~Ía, bà¤äûû, ±eêß|k)? ø¶Ÿ). (2016cÆâEåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
1100 14.设A=011s|,B=0,m1 (1)已知数域P上的线性方程组Ax=B有解,求s和t需要满足的条件 (2)当s=0时,求P上的齐次线性方程组AX=0的基础解系; (3)当s=0,t=1时,给出Ax=B两个线性无关的解 (4)已知某齐次线性方程组的通解为k1m+k22,k1,k2∈P,求这个齐次线性方程组与(2)中方程组的 所有公共解.(2011年大连理工大学) 5.k取何值时,线性方程组 kc +y+2=-2 T+ ky+z=k x++y+kz=k2 (1)有唯一解; (2)有无穷多解 (3)无解.(2012年大连理工大学 16.已知两个齐次线性方程组: x1+2x2+3x3=0 0 2x1+3x2+5x3=0与 2x1+b2x2+(c+1)x3=0 x1+x2+ax3=0 同解,求a,b,c(2015年大连理工大学) 17.设4元齐次线性方程组(I)为 +2x2+ 已知另一个元齐次线性方程组(的基础解系为m1=(2-1a+2.12=(-1,24a+8 (1)当齐次线性方程组(I)的一个基础解系; (2)当a为何值时,齐次线性方程组(I)和(I有非零公共解?并求出全部的非零公共解(请给出必要的 计算步骤).(2013年湖南大学) 18.入取何值时,线性方程组 (2A+1)x1-A2+(λ+1)x3=A-1 (入-2)x1+(A-1)x2+(A-2)x3=A (2A-1)x1+(A-1)x2+(2A-1)x3=入 7
14. A = 1 1 0 0 0 1 1 s 1 2 1 −1 , β = 1 0 t , γ1 = 0 0 1 1 , γ1 = 0 0 1 1 . (1)ÆÍçP˛Ç5êß|Ax = βk), ¶s ⁄tIá˜v^á; (2)s = 0û, ¶P˛‡gÇ5êß|AX = 0 0 0 ƒ:)X; (3)s = 0, t = 1û, â—Ax = β¸áÇ5Ã'); (4)Æ,‡gÇ5êß|œ)èk1γ1 + k2γ2, k1, k2 ∈ P, ¶˘á‡gÇ5êß|Ü(2)•êß| §k˙). (2011 cåÎnÛåÆ) 15. k¤äû, Ç5êß| kx + y + z = −2 x + ky + z = k x + +y + kz = k 2 (1)kçò); (2)kðı); (3)Ã). (2012cåÎnÛåÆ) 16. Ƹá‡gÇ5êß|: x1 + 2x2 + 3x3 = 0 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0 x1 + x2 + ax3 = 0 Ü ( x1 + bx2 + cx3 = 0 2x1 + b 2x2 + (c + 1)x3 = 0 ”), ¶a, b, c. (2015cåÎnÛåÆ) 17. 4‡gÇ5êß|(I)è ( 2x1 + 3x2 − x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0 Æ,òá4‡gÇ5êß|(II)ƒ:)Xèα1 = (2, −1, a + 2, 1)0 , α2 = (−1, 2, 4, a + 8)0 . (1)‡gÇ5êß|(I)òáƒ:)X; (2)aè¤äû, ‡gÇ5êß|(I) ⁄(II)kö"˙)? ø¶— ‹ö"˙)(ûâ—7á Oé⁄½). (2013c HåÆ) 18. λ¤äû, Ç5êß| (2λ + 1)x1 − λx2 + (λ + 1)x3 = λ − 1 (λ − 2)x1 + (λ − 1)x2 + (λ − 2)x3 = λ (2λ − 1)x1 + (λ − 1)x2 + (2λ − 1)x3 = λ 7 厦门大学《高等代数》
有唯一解,无解,无穷多解?并在无穷多解时写出其一般解.(2014年湖南大学) 19.若方程 +x2+ b2 b3 对任意的数b1,b2,b3都有解,求入的值.(2009年湖南师范大学) 20.设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a1,a2,a3,a4均为n维列向量,且a1,a2,a4线性无关,a1-3a2+2a a4如果B=a1+2a2+3a3+4a4,试求线性方程组AX=B的通解.(2010年湖南大学) 21.设V,V分别为齐次线性方程组 x1+x2-x3-x4=0 和 A X 的解空间(作为R4的子空间) (1)分别求出V和v2的一组基 (2)求出v1∩v2的一组基 (3)求出V+V的维数.(2015年湖南大学) 22.解下列线性方程组 3x1+2x2+x3+4x4=17 x1+4xr2+3r3+2x4=17 (2009年华东师范大学) 23.设a1=(1,2,-1,0,4),a2=(-1,3,2.,4,1),a3=(2,9,-1,4,13),W=L(a1,a2,a3)是由这三个向量生 成的数域K上的线性空间K5的子空间.(1)求以W作为解空间的齐次线性方程组 (2)求以W={n+aa∈W}为其解集的非齐次线性方程组,其中n=(2,.2.1)(201年华东师范 大学) 24.设K是数域,W∈Km是K上的线性方程组AX=B的非空解集,其中A∈Mmxn(K),X=(x1,x2,…,xn)7, B∈Mnx1(K).证明 (1)存在该方程组的特解0及K的子空间V,使W=10+V={0+m∈V}; (2)若取0=(2,0,1,2),V是由(2,1,0,0),(4,0,-1,0),(1,0,0,1)2,(3,0,-1,-1)生成的K的子空 间.试求一线性方程组,使其解集等于0+V.(2012年华东师范大学)
kçò), Ã), ðı)? ø3ðı)û—ŸòÑ). (2014c HåÆ) 19. eêß λx1 + x2 + x3 = b1 x1 + λx2 + x3 = b2 x1 + x2 + λx3 = b3 È?øÍb1, b2, b3—k), ¶λ ä. (2009c HìâåÆ) 20. › A = (α1, α2, α3, α4), Ÿ•α1, α2, α3, α4 ˛ènëï˛, Öα1, α2, α4Ç5Ã', α1−3α2+2α3 = α4. XJβ = α1 + 2α2 + 3α3 + 4α4, £¶Ç5êß|AX = βœ). (2010c HåÆ) 21. V1, V2©Oè‡gÇ5êß| x1 + x2 − x3 − x4 = 0 ⁄ ( x1 − x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 − x4 = 0 )òm(äèR 4fòm). (1)©O¶—V1⁄V2ò|ƒ; (2)¶—V1 ∩ V2ò|ƒ; (3)¶—V1 + V2ëÍ. (2015c HåÆ) 22. )eÇ5êß| 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 17 3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 17 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 = 17 x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 17 . (2009cu¿ìâåÆ) 23. α1 = (1, 2, −1, 0, 4), α2 = (−1, 3, 2, 4, 1), α3 = (2, 9, −1, 4, 13), W = L(α1, α2, α3) ¥d˘náï˛) §ÍçK˛Ç5òmK5fòm. (1)¶±Wäè)òm‡gÇ5êß|; (2)¶±W 0 = {η + α|α ∈ W}èŸ)8ö‡gÇ5êß|, Ÿ•η = (1, 2, 1, 2, 1). (2011cu¿ìâ åÆ) 24. K¥Íç, W ∈ Kn¥K˛Ç5êß|AX = Böò)8, Ÿ•A ∈ Mm×n(K), X = (x1, x2, · · · , xn) T , B ∈ Mm×1(K). y²: (1)3Têß|A)γ09KnfòmV , ¶W = γ0 + V = {γ0 + η|η ∈ V }; (2)eγ0 = (2, 0, 1, 2)T , V ¥d(2, 1, 0, 0)T ,(4, 0, −1, 0)T ,(1, 0, 0, 1)T ,(3, 0, −1, −1)T )§Knfò m. £¶òÇ5êß|, ¶Ÿ)8 uγ0 + V . (2012cu¿ìâåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
25.当实数入为何值时,方程组 有唯一解,无解,有无穷多解;有解时,请求出全部解.(2017年华东师范大学) 6.问实数a,d取何值时,下列方程无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,请求出所有解(2018年华东师 范大学) -x2-2x3-2x4-6x5=a-3 x1-x3-x4+(d-5)x5=-4 2x1+2x2+2x3+2r4+(d+2)x 4x3+ 27.当实数λ取何值时,下列方程无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,请求出所有解.(2019年华东师 范大学) Ax1+x2+x3=1 (2+1)x1+2Ax2+(A+1)x3=A+1 2x1+(A+1)x2+(A+1)x3=2 28.当a,b为何值时,下列线性方程组无解?有唯一解?有无穷多解?当方程有解时,写出其全部解.(2010年 华南理工大 (a-1)y 29.对的不同的值判断下列方程组是否有解,有解时求出其全部解:(2012年华南理工大学) 入+1 30.讨论参数a,b各取何值时,线性方程组 3x1+2x2+ax3+7x4=-1 6r3 有解?无解?并在有解的情况,求出一般解.(2013年华南理工大学) 31.已知齐次线性方程组
25. ¢Íλè¤äû, êß| (λ − 2)x1 − x2 − x3 = −2 4x1 + (λ − 1)x2 + 4x3 = 7 x1 + x2 + x3 = 2 kçò), Ã), kðı); k)û, û¶— ‹). (2017cu¿ìâåÆ) 26. Ø¢Ía, d¤äû, eêßÃ)!kçò)!kðı)? k)û, û¶—§k). (2018cu¿ì âåÆ) −x2 − 2x3 − 2x4 − 6x5 = a − 3 x1 − x3 − x4 + (d − 5)x5 = −4 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + (d + 2)x5 = −a 2x2 + 4x3 + 4x4 + 12a5 = −a + 6 27. ¢Íλ¤äû, eêßÃ)!kçò)!kðı)? k)û, û¶—§k). (2019 cu¿ì âåÆ) λx1 + x2 + x3 = 1 (λ 2 + 1)x1 + 2λx2 + (λ + 1)x3 = λ + 1 x1 + x2 + λx3 = 1 2x1 + (λ + 1)x2 + (λ + 1)x3 = 2 28. a, bè¤äû, eÇ5êß|Ã)? kçò)? kðı)? êßk)û, —Ÿ ‹). (2010c uHnÛåÆ) x + y − z = 0 2x + (a + 3)y − 3z = 3 −2x + (a − 1)y + bz = −1 29. Èλÿ”ä‰eêß|¥ƒk), k)û¶—Ÿ ‹): (2012 cuHnÛåÆ) λx1 + x2 + x3 = λ + 1 x1 + λx2 + x3 = 2 x1 + x2 + λx3 = 2 30. ?ÿÎÍa, bà¤äû, Ç5êß| x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + x2 − 6x3 + 4x4 = −1 3x1 + 2x2 + ax3 + 7x4 = −1 x1 − x2 − 6x3 − x4 = b k)? Ã)? ø3k)ú¹, ¶—òÑ). (2013 cuHnÛåÆ) 31. ƇgÇ5êß| 9 厦门大学《高等代数》
(a1+b)x1+a2 2+.+anIn=0 1x1+(a2+b)x2+ a121+a2I2+.+(an +bIn=0 其中∑a≠0.试讨论a1,a2,…,an,b满足什么关系时 (1)方程组仅有零解? (2)方程组有非零解?在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.(2014年华南理工大学 2.对的不同的值判断下列方程组是否有解?当有解时求出其全部解:(2016年华南理工大学) (3-入)x1+(2一))x2+x3=A (2-x1+(2-入)x2+ 33设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵的秩r(A)=1,这里A为三阶方阵,X=(x1,x2,x3) b=(b1,b2b3)≠0.已知m,m,m3是AX=b的三个解向量,m+m=(1,2,3),m+m=(0,-1,1) n+m=(1,0,-1),求该方程组的基础解系.(2017年华南理工大学 item设线性方程组 2x2+x4=0 的解空间为W,求:向量a=(2,34,5)在W上的内射影以及a到W的距离 注:由分解式V=V由,对任意a∈v有a=a1+a2,a1∈va2∈V,称a1为向量a在子空 间上的内射影).(2019年华南理工大学) 34.求齐次线性方程组: x1+ r1-3x2+2x3+x4-3x5=0 的一组基础解系.(2011年华中科技大学) 5.设齐次线性方程组 0 r1+x2+x3=0 r2+x3-x4=0 (1)分别给出方程组(i)与(i)的一个基础解系 (2)给出()和(i)的全部公共解.(2012年华中科技大学
(a1 + b)x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0 a1x1 + (a2 + b)x2 + · · · + anxn = 0 · · · · · · · · · a1x1 + a2x2 + · · · + (an + b)xn = 0 Ÿ• Pn i=1 ai 6= 0. £?ÿa1, a2, · · · , an, b˜vüo'Xû, (1)êß|=k")? (2)êß|kö")? 3kö")û, ¶dêß|òáƒ:)X. (2014cuHnÛåÆ) 32. Èλÿ”ä‰eêß|¥ƒk)? k)û¶—Ÿ ‹): (2016cuHnÛåÆ) (3 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = λ (2 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 1 x1 + x2 + (2 − λ)x3 = 1 33. nö‡gÇ5êß|AX = bXÍ› ùr(A) = 1, ˘pAèn ê , X = (x1, x2, x3) 0 , b = (b1, b2, b3) 0 6= 0. Æη1, η2, η3¥AX = bná)ï˛, η1 + η2 = (1, 2, 3)0 , η2 + η3 = (0, −1, 1)0 , η3 + η1 = (1, 0, −1)0 , ¶Têß|ƒ:)X. (2017cuHnÛåÆ) itemÇ5êß| ( x1 + x3 = 0 2x2 + x4 = 0 )òmèW, ¶: ï˛α = (2, 3, 4, 5)3W ˛SK±9αWÂl. (5: d©)™V = V1 ⊕ V ⊥ 1 , È?øα ∈ V kα = α1 + α2, α1 ∈ V, α2 ∈ V ⊥ 1 , °α1 èï˛α3fò mV1˛SK). (2019 cuHnÛåÆ) 34. ¶‡gÇ5êß|: x1 − x2 + x3 + x4 − x5 = 0 x1 + x2 + x4 + x5 = 0 x1 − 3x2 + 2x3 + x4 − 3x5 = 0 3x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 = 0 ò|ƒ:)X. (2011cu•âEåÆ) 35. ‡gÇ5êß| ( x1 − x2 = 0 x2 + x4 = 0 (i) ( x1 + x2 + x3 = 0 x2 + x3 − x4 = 0 (ii) (1) ©Oâ—êß|(i) Ü(ii) òáƒ:)X; (2) â—(i) ⁄(ii) ‹˙). (2012cu•âEåÆ) 10 厦门大学《高等代数》