课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (二次型部分 一.填空题 1.如果把n阶实对称矩阵按合同关系分类(即两个n阶实对称矩阵属于同一类,当且仅当它们合同),则不 类的总数是 2009年北京工业大学) 222 2.如果二次型(x1,x2x3)21ax2的正负惯性指数之和是2,则a (2009年北京 工业大学 103 3.如果二次型(x1,x2,x3)2 是正定二次型,a是整数则a (2010年北京 工业大学) 4.二次型1,2x3)2-1-12的正负惯性指数之和=(201年北京工业大学) 5如果二次型(x1,x2,n3)-823x2的正负惯性指数之和是2,则a= (2012年北京工 业大学) 6如果二次型x1,x2)-412|2的秩是2,则a (2014年北京工业大学) 12a0)(r3 010 7.若实对称矩阵A与矩阵B=100合同且X=x2则实二次型xAx的规范型为 (2015年北京工业大学) 实二次型f(x1,x2,x3)=x1+3n2+4x1x2-4x2x3的正惯性系数是 (2009年北京交通大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (g.‹©) ò. WòK 1. XJrn ¢È°› U‹”'X©a(=¸án ¢È°› ·u”òa, Ö=ßÇ‹”), Kÿ aoÍ¥ . (2009cÆÛíåÆ) 2. XJg.(x1, x2, x3) 2 2 2 2 1 a −2 8 −1 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄¥2, Ka = . (2009cÆ ÛíåÆ) 3. XJg.(x1, x2, x3) 1 0 3 2 a −1 −3 1 3 − a x1 x2 x3 ¥½g., a¥ÍKa = . (2010cÆ ÛíåÆ) 4. g.(x1, x2, x3) 1 0 5 2 −1 −1 −5 1 0 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄= . (2011 cÆÛíåÆ) 5. XJg.(x1, x2, x3) 1 6 1 −8 2 3 −1 a 0 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄¥2, Ka = . (2012cÆÛ íåÆ) 6. XJg.(x1, x2, x3) 1 2 1 −4 1 2 −1 2a 0 x1 x2 x3 ù¥2, Ka = . (2014cÆÛíåÆ) 7. e¢È°› AÜ› B = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ‹”ÖX = x1 x2 x3 K¢g.X 0 AX5â.è . (2015cÆÛíåÆ) 8. ¢g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + 4x1x2 − 4x2x3 .5XÍ¥ . (2009cÆœåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
9.实二次型f(x1,x2,x3)=X7AX经过正交变换化为+52,则A的最小特征值是 北京交通大学) 10.设二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2-3x3+2x1x2的正惯性指数为p,负惯性指数为q,则p-q (2010年北京交通大学) 1.已知f(x1,x2,x3)=G1+2+k3+6x1x2+4x1x3+2x2x3的秩为2,则参数k=.(2010年 京交通大学 12.实二次型f(x1,x2,x3)=n2+2x1x2+4x1x3+2x2x3的符号差为 (2011年北京交通大学) 3.t取何值时,4元实二次型 f=x1+2+x3+9x2+2+(x1x2+x1x3+x2x3) 为正定的?(2011年北京交通大学) 14.已知实二次型 f=x21+tn2+tn3+2x1x2+2x1x3-2x2x3 是正定的,则常数t的取值范围是 012年北京交通大学) 15.设f=10x2+2x2+2an3+8x1x2-4x1x3-4x2x3正定,则a满足的条件是 (2013年北京交 通大学) 6.已知实二次型 f(x1,r2,x3)=a(n+n2+3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换X=PY可化为标准型f=6y,则a (2015年北京交通大学) 17.当t的取值满足 时,f(x1,x2,x3)= x1+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x23是正定的(2016年北京交通大学 18.设半正定二次型f(x1,…,xn)=XAX的秩为r,则f(x1,…,xn)=0的实数解构成R的一个维 子空间.(2016年北京交通大学) 19.设a=(1,0,1)r,A=aar,若B=(kE+A)2是正定矩阵,则k满足 (2017年北京交通大学) 20.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2+2+n3+2x1x2+tx2x3
9. ¢g.f(x1, x2, x3) = XT AX²LCÜzèy 2 1 + 5y 2 2 , KAÅAä¥ . (2009 c ÆœåÆ) 10. g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 +x 2 2 −3x 2 3 + 2x1x2 .5çÍèp, K.5çÍèq, Kp−q = . (2010cÆœåÆ) 11. Æf(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + kx2 3 + 6x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 ùè2, KÎÍk = . (2010 c ÆœåÆ) 12. ¢g.f(x1, x2, x3) = x 2 2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 Œ“ è . (2011cÆœåÆ) 13. t¤äû, 4¢g. f = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 9x 2 4 + 2t(x1x2 + x1x3 + x2x3) è½? . (2011cÆœåÆ) 14. Æ¢g. f = x 2 1 + tx2 2 + tx2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 ¥½, K~Ítäâå¥ . (2012cÆœåÆ) 15. f = 10x 2 1 + 2x 2 2 + 2ax2 3 + 8x1x2 − 4x1x3 − 4x2x3½, Ka˜v^ᥠ. (2013 cÆ œåÆ) 16. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 ²CÜX = P Y åzèIO.f = 6y 2 1 , Ka = . (2015cÆœåÆ) 17. tä˜v û, f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + 5x 2 3 + 2tx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 ¥½. (2016cÆœåÆ) 18. å½g.f(x1, · · · , xn) = XT AXùèr, Kf(x1, · · · , xn) = 0¢Í)§R nòá ë fòm. (2016cÆœåÆ) 19. α = (1, 0, 1)T , A = ααT , eB = (kE + A) 2 ¥½› , Kk˜v . (2017cÆœåÆ) 20. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + tx2x3 2 厦门大学《高等代数》
是正定的,则t的取值范围是 (2010年北京科技大学 21.实二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩是 符号差是 (202年湖南师范大学) 22.将秩为r的n元实二次型按合同分类,一共可以分为类.(2013年湖南师范大学) 23.三元实二次型2r2+x1x2-5x1x3的规范型是 (2014年湖南师范大学) 24.三元实二次型2x2+x1x2-3x1x3的规范型是_(2015年湖南师范大学) 141 25.设实二次型f(x1;x2,x3)=(x1,x2,x3)013x2,则f(x1,x2,x3)的矩阵 符号差 311 .(200年南京大学) 0-18 26.设实二次型f(x4,x2,x3)=(x1,x2,x3)50-2x2.则这个二次型的矩阵为 符 1003 号差为 27.设t为整数,且A=|2t2为正定矩阵,则t 2010年上海大学) 127-t 28.含参数t的矩阵正定,求t的范围 (2016年上海大学) 二.选择题 1.二次型x2+2y2-2+4xy-2yz+2zx的矩阵是().(2009年北京工业大学 (A)22-1 (B211 22-10 (D)在目前条件下不确定 1-1-10 0000 2.Q是n阶实方阵,线性方程组QX=B有唯一解.若记A=QQ,则().(2010年北京工业大学) (A)A的特征值一定是正数 (B)二次型XAX一定是正定二次型 (C)A一定与单位矩阵相似 (D)A一定与单位矩阵合同 3.记实矩阵1b2b3其中a<b<c,A=QQ,则 2011年北京工业大学)
¥½, Ktäâå¥ . (2010 cÆâEåÆ) 21. ¢g.f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 ù¥ , Œ“ ¥ . (2012c HìâåÆ) 22. Úùèrn¢g.U‹”©a, ò屩è a. (2013c HìâåÆ) 23. n¢g.2x 2 1 + x1x2 − 5x1x35â.¥ . (2014c HìâåÆ) 24. n¢g.2x 2 1 + x1x2 − 3x1x35â.¥ . (2015c HìâåÆ) 25. ¢g. f (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3) 1 4 1 0 1 3 3 1 1 x1 x2 x3 , K f (x1, x2, x3) › = , Œ“ = . (2009cHÆåÆ) 26. ¢g. f (x4, x2, x3) = (x1, x2, x3) 0 −1 8 5 0 −2 −10 0 3 x1 x2 x3 . K˘ág.› è , Œ “ è . 27. t èÍ, Ö A = 1 2 1 2 t 2 1 2 7 − t è½› , K t = . (2010c˛°åÆ) 28. ¹ÎÍ t › ½, ¶ t âå . (2016c˛°åÆ) . ¿JK 1. g.x 2 + 2y 2 − z 2 + 4xy − 2yz + 2zx› ¥( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A) 1 2 1 2 2 −1 1 −1 −1 (B 2 2 −1 2 1 1 −1 1 −1 ) (C) 1 2 1 0 2 2 −1 0 1 −1 −1 0 0 0 0 0 (D)38c^áeÿ(½ 2. Q¥n ¢ê , Ç5êß|QX = βkçò). ePA = QQ0 , K( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)AAäò½¥Í (B)g.X0AXò½¥½g. (C)Aò½Ü¸†› Éq (D)Aò½Ü¸†› ‹” 3. P¢› 1 a 2 a 3 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 Ÿ•a < b < c, A = QQ0 , K( ). (2011cÆÛíåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
(A)A的特征值一定是正数 (B)二次型XAX一定是正定二次型 (C)A一定与单位矩阵合同 (D)|4|>0 4.设E是n(自然数n≥2)阶单位矩阵,同阶方阵A=(a)满足aa=2(i=1,2,……,n),ak.k+1,ak+1k= 1(k=1,2,…,n-1),其余元素皆为0.下列选项中不正确的是().(2012年北京工业大学) (A)A3+E是正定矩阵 (B)43+E的特征值皆为正数 (C)A3+E的特征值皆为负数 (D)行列式|A3+E>0 5.设A,C是n阶正定矩阵,而实矩阵B是矩阵方程AX+XB=C的唯一解,则().(2015年北京工业大 (A)B是正定矩阵 (B)B是半正定矩阵 (C)B是负定矩阵 (D)无法确定B的正,负定性 6.实二次型f(x1,x2,x3)=a(x2+n2+3)+4x1x2+4x13+4x2x3经过非退化线性替换X=CY可退 化成规范型f(y1,y2,v)=v2,则a的值为().(2015年北京工业大学) (C)-1 7.设A,B为两个正定矩阵,则下列不正确的是().(2016年北京工业大学) (A)A+B正定 (B)AB正定 (C)必存在可逆矩阵Q使得A=QQ (D)A,B的特征值为正实数 0入200 8.已知n阶矩阵A合同于B 则必有().(2015年北京交通大学) (000x (A)A1,A2,……,An是4的特征值 (B)入1A2……An=|4 (C)A为正定阵 (D)A为对称阵 9.设A,B均为实对称矩阵,则A,B在R上合同的充要条件是().(2015年北京交通大学) (A)A,B的秩相等 (B)A,B都合同于对角阵 (C)A,B的特征值相同 (D)A,B的正负惯性指数相同
(A)AAäò½¥Í (B)g.X0AXò½¥½g. (C)Aò½Ü¸†› ‹” (D)|A| > 0 4. E¥n(g,Ín ≥ 2) ¸†› , ” ê A = (aij ))˜vaii = 2(i = 1, 2, · · · , n), ak,k+1, ak+1,k = 1(k = 1, 2, · · · , n − 1), Ÿ{Éè0. e¿ë•ÿ(¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)A3 + E¥½› (B)A3 + EAäèÍ (C)A3 + EAäèKÍ (D)1™|A3 + E| > 0 5. A, C¥n ½› , ¢› B¥› êßAX + XB = C çò), K( ). (2015cÆÛíå Æ) (A)B¥½› (B)B¥å½› (C)B¥K½› (D)Ã{(½B, K½5 6. ¢g.f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 ²LöÚzÇ5OÜX = CY åÚ z§5â.f(y1, y2, y3) = y 2 1 , Kaäè( ). (2015cÆÛíåÆ) (A)1 (B)-2 (C)-1 (D)2 7. A, Bè¸á½› , Keÿ(¥( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)A + B½ (B)AB½ (C)73å_› Q¶A = QQ0 (D)A, BAäè¢Í 8. Æn › A‹”uB = λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 λn , K7k( ). (2015cÆœåÆ) (A)λ1, λ2, · · · , λn¥AAä; (B)λ1λ2 · · · λn = |A| (C)Aè½ (D)AèÈ° 9. A, B˛è¢È°› , KA, B3R˛‹”øá^á¥( ). (2015cÆœåÆ) (A)A, BùÉ (B)A, B—‹”uÈ (C)A, BAäÉ” (D)A, BK.5çÍÉ” 10. 4 厦门大学《高等代数》
70 则A与B().(2016年北京交通大学 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 11.设 2222 0000 A B 2222 0000 2222 0000 则A与B().(2017年北京交通大学) (A)合同且相似 一(B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 12.设A为n阶实对称矩阵,下列结论正确的有( A.A的特征值都是实数 B.A的不同特征值下的实特征向量正交; C.如果C是实可逆矩阵,使CTAC为对角矩阵,则C-1AC为对角矩阵; D.与A合同的实矩阵B一定与A相似 三计算题 1.二次型 f(x1,x2,x3)=r1+2+x3+4x1x2+4x2x3+4x3x1 (1)求f(x1,x2,x3)=X1AX的矩阵A特征值,特征向量 (2)A=CDC要求C为正交矩阵,D为对角矩阵,求C,D (3)在单位球r1+x2+n3=1上求二次型f(x1,x2,x3)的最大最小值.(2011年北京大学) 2.设二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ar1+2x2-2n3+2bx1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求a,b的值; (2)用正交替换将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用的正交替换.(2013年工业北京大学)
A = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 , B = 1 1 0 , KAÜB( ). (2016cÆœåÆ) (A)‹”ÖÉq (B)‹”ÿÉq (C)ÿ‹”Éq (D)Qÿ‹”èÿÉq 11. A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , KAÜB( ). (2017cÆœåÆ) (A)‹”ÖÉq (B)‹”ÿÉq (C)ÿ‹”Éq (D)Qÿ‹”èÿÉq 12. A è n ¢È°› , e(ÿ(k£ § A. A Aä—¥¢Í; B. A ÿ”Aäe¢Aï˛; C. XJ C ¥¢å_› , ¶ C T AC èÈ› , K C −1AC èÈ› ; D. Ü A ‹”¢› B ò½Ü A Éq. n.OéK 1. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 4x1x2 + 4x2x3 + 4x3x1 (1)¶f(x1, x2, x3) = XT AX› A, Aä, Aï˛. (2)A = CDC0á¶Cè› , DèÈ› , ¶C, D. (3)3¸†•x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1˛¶g.f(x1, x2, x3)ÅåÅä. (2011cÆåÆ) 2. g. f(x1, x2, x3) = X 0 AX = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3(b > 0) •g.› AAäÉ⁄è1, AäÉ»è−12. (1)¶a, bä; (2)^OÜÚg.f(x1, x2, x3)zèIO., ø—§^OÜ. (2013cÛíÆåÆ) 5 厦门大学《高等代数》
3.设A是n阶实对称矩阵秩(4)=n,A是4中元素a的代数余子式,记x=(x1,x2,…,xn),设二次 型f(x)= (1)写出二次型f(x)的矩阵形式,并求该二次型的矩阵 (2)二次型g(x)=xAx二与f(x)的规范型是否相同?说明理由.(2015年北京工业大学) 4.已知二次型f(x1,x2,x3)=+3n2+3x3+2ax2x3(其中a>0)经过正交替换X=TY化为标准 型f(v,y2,)=2+v+5 (1)求参数a及所用的正交替换X=TY; (2)求在条件x2+x2+3=1下f的最大值.(2018年北京工业大学) 5.二次型f(Xx)=f(x1,x2,x3)=1+n2+3-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经过正交变换化为标准型f 3v2+3v2+by2 (1)求ab及所用的正交变换矩阵 (2)若XTX=2,求f的最大值.(2009年北京交通大学) 6.求以下二次型的矩阵 2011年北京交通大学 7.用正交线性替换化下面二次型为标准型: x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3 (2012年北京交通大 s.用正交线性替换化f=21x2+2m3x1为标准型,(2013年北京交通大学) f(x1,x2,x3)=r+n++2r1x2+2ax1x3+2Br2x3 经过正交变换后可化为标准型(,mm)=的+2层,求,风并求出该正交变换(20年北京交通 大学 10.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x1+(1-a)2+2x3+2(1+a)x1x2的秩为2 (1)求a的值 (2)求正交变换X=QY把f(x1,x2,x3)化成标准型.(2016年北京交通大学) 1.已知二次型XAX经正交变换化为2--3,又已知Aa=a其中a=(1,1,-1),A·为A的伴 随矩阵,求此二次型的表达式.(2017年北京交通大学)
3. A¥n ¢È°› , ù(A) = n, Aij¥|A|•ÉaijìÍ{f™, Px = (x1, x2, · · · , xn) 0 , g .f(x) = 1 |A| Pn i=1 Pn j=1 Aijxixj . (1)—g.f(x)› /™, ø¶Tg.› . (2)g.g(x) = x 0 AxÜf(x)5â.¥ƒÉ”? `²nd. (2015cÆÛíåÆ) 4. Æg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + 2ax2x3(Ÿ•a > 0) ²LOÜX = T Y zèIO .f(y1, y2, y3) = y 2 1 + y 2 2 + 5y 2 3 . (1)¶ÎÍa9§^OÜX = T Y ; (2)¶3^áx 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1efÅåä. (2018cÆÛíåÆ) 5. g.f(X) = f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3 ²LCÜzèIO.f = 3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 . (1)¶a,b9§^CÜ› ; (2)eXT X = 2, ¶fÅåä. (2009cÆœåÆ) 6. ¶±eg.› : f(x1, · · · , xn) = Pm i=1 (ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn) 2 . (2011cÆœåÆ) 7. ^Ç5OÜze°g.èIO.: x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 − 4x1x2 − 4x2x3. (2012cÆœåÆ) 8. ^Ç5OÜzf = 2x1x2 + 2x3x4èIO.. (2013cÆœåÆ) 9. eg. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2αx1x3 + 2βx2x3 ²LCÜåzèIO.f(y1, y2, y3) = y 2 2 + 2y 2 3 , ¶α, β, ø¶—TCÜ. (2014cÆœ åÆ) 10. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 ùè2. (1)¶aä. (2)¶CÜX = QY rf(x1, x2, x3)z§IO.. (2016 cÆœåÆ) 11. Æg.XT AX²CÜzè2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 , qÆA∗α = αŸ•α = (1, 1, −1)T , A∗ èA ä ë› , ¶dg.Là™. (2017cÆœåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
1设>阶实方阵A=|x (1)求矩阵An的秩 (2)矩阵An何时是正定的?(2011年北京科技大学) 13.设二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cr3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2 (1)求参数c使得该二次型的秩等于2 (2)写出该二次型的矩阵A (3)求一个正交矩阵P和一个对角矩阵A使得P-1AP=A; (4)求一个非退化线性替换x=Cvy把该二次型化为标准形.(2012年北京科技大学) 14.设实对称矩阵A -3-1-33 (1)求可逆矩阵T,使得TA成对角矩阵,并写出该对角矩阵 (2)求一个非退化线性替换把二次型f(x)=xAx化为标准形.(2013年北京科技大学 15.已知f(x1,x2,x3)=2+2n2+2n3+2x1x2+2x1x3+2x2x3 (1)写出二次对应的矩阵; (2)用正交变换将二次型化为标准形,并写出对应的正交变换.(2016年北京科技大学) 16.求一正交变换x=Q将二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准型,并写出相应的的标 准型.(2012年大连理工大学) 17.设二次型f(x1,x2,…,xn)=∑x2+∑x1x (1)判断二次型f(x1,x2,…,xn)的正定性 (2)用正交线性替换把二次型f(x1,x2,x3)=+n2+3+x1x2+x1x3+x2x3化为标准型.(2018年 大连理工大学) 18.设A为n阶实对称矩阵,b=(b1,b2…,bn)为n维实的列向量,证明 (1)若A>0,则A-1>0,这里A>0表示A为正定矩阵 (2)若A-b>0,则A>0且bA-1b<1.(20年湖南大学) 19.用正交线性替换化二次型 ∫(x)=-r1+2r2+2r3+4x1x2-4x1x3-8x2x3 7
12. n > 1 ¢ê An = x a a · · · a a x a · · · a a a x · · · a . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · x (1)¶› Anù; (2)› An¤û¥½? (2011cÆâEåÆ) 13. g.f(x1, x2, x3) = 5x 2 1 + 5x 2 2 + cx2 3 − 2x1x2 + 6x1x3 − 6x2x3 ùè2 (1)¶ÎÍc¶Tg.ù u2; (2)—Tg.› A; (3)¶òá› P⁄òáÈ› Λ¶P −1AP = Λ; (4)¶òáöÚzÇ5OÜx = CyrTg.zèIO/. (2012cÆâEåÆ) 14. ¢È°› A = −1 −3 3 −3 −3 −1 −3 3 3 −3 −1 −3 −3 3 −3 −1 , (1)¶å_› T, ¶T 0 AT§È› , ø—TÈ› ; (2)¶òáöÚzÇ5OÜrg.f(x) = x 0 AxzèIO/. (2013cÆâEåÆ) 15. Æf(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3. (1)—gÈA› ; (2)^CÜÚg.zèIO/, ø—ÈACÜ. (2016 cÆâEåÆ) 16. ¶òCÜx = QyÚg.f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 zèIO., ø—ÉAI O.. (2012cåÎnÛåÆ) 17. g.f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 x 2 i + P 1≤i≤j x1xj . (1)‰g.f(x1, x2, · · · , xn)½5; (2)^Ç5OÜrg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x1x2 + x1x3 + x2x3 zèIO.. (2018c åÎnÛåÆ) 18. Aèn ¢È°› , b = (b1, b2, · · · , bn) 0èn ë¢ï˛, y²: (1)eA > 0, KA−1 > 0, ˘pA > 0L´Aè½› ; (2)eA − bb0 > 0, KA > 0Öb 0 A−1 b < 1. (2011c HåÆ) 19. ^Ç5OÜzg. f(x) = −x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 − 8x2x3. 7 厦门大学《高等代数》
为标准型,求出相应的正交变换矩阵T.(2013年湖南大学 20.设二次型f(x1,x2)=ar1+2bx1x2+cn2,求二次型 0 的矩阵并证明,x)是正定的当且仅当x2)是定的(20年湖师大学 1.设A=(an)nxn是实对称矩阵,证明:二次型 x1a11a12 f(ar En an1 an2 的矩阵是A的伴随矩阵A·.(2009年湖南师范大学) 2.设n(n≥3)元实二次型 ∫(x1,x2,……,xn) +x1x3+ lIn+I2I3 (1)当n=3时,用非退化线性替换化f(x1,x2,…,xn)为规范型 (2)当n>3时,用非退化线性替换化f(x1,x2…,xn)为规范型.(2013年湖南师范大学) 3.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=(1+t)r2+2n2+(1+t)x3+x1x2+2(1-t)x1x3 的秩为 (1)求t的值 (2)求正交线性替换,使二次型f(x1,x2,x3)为标准型.(2016年湖南师范大学) 24.设4元二次型 f(x1,x2,x3,x4)=2∑x2-2(x1x2+x2x3+x3x4+x4x1) i=1 试用正交线性替换化二次型为标准型,并求它的正、负惯性指数以及符号差.(2009年华东师范大学) ∫(x1;,x2,…,xn)=∑∑aj工;
èIO., ¶—ÉACÜ› T. (2013c HåÆ) 20. g.f(x1, x2) = ax2 1 + 2bx1x2 + cx2 2 , ¶g. g(x1, x2) = 0 x1 x2 −x1 a b −x2 b c › , øy²f(x1, x2)¥½Ö=g(x1, x2)¥½. (2009c HìâåÆ) 21. A = (aij )n×n¥¢È°› , y²: g. f(x1, x2, · · · , xn) = 0 x1 x2 · · · xn x1 a11 a12 · · · a1n x2 a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . xn an1 an2 · · · ann › ¥Aäë› A∗ . (2009c HìâåÆ) 22. n(n ≥ 3)¢g. f(x1, x2, · · · , xn) = x1x2 + x1x3 + · · · + x1xn + x2x3. (1)n = 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.; (2)n > 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.. (2013c HìâåÆ) 23. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = (1 + t)x 2 1 + 2x 2 2 + (1 + t)x 2 3 + x1x2 + 2(1 − t)x1x3 ùè2. (1)¶tä; (2)¶Ç5OÜ, ¶g.f(x1, x2, x3)èIO.. (2016c HìâåÆ) 24. 4g. f(x1, x2, x3, x4) = 2 P 4 i=1 x 2 i − 2(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1) £^Ç5OÜzg.èIO., ø¶ß!K.5çͱ9Œ“ . (2009cu¿ìâåÆ) 25. f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 Pn j=1 aijxixj 8 厦门大学《高等代数》
是一个实二次型,其中A=(a1)是实对称矩阵.将二次型看作n元实函数,用代数的方法确定它在 S={X=(x1,x2,…,xn)∈R叫++…+x2=1} 上的取值范围.(2011年华东师范大学) 6.用正交替换化下列二次型为标准 22+4x1x2-4x1x3+5x2-8x2x3+5x3(2013年华东师范大学) 27.设A∈Mn(C)是半正定矩阵,且存在整数m>1,使得Am=En,求A 若将上述“半正定”的条件改为“半负定”,你能得出什么结论?.(2014年华东师范大学 28.已知二次型 f(x1,x2,x3)=2r2+2+3n3+2Ax1x2+2r1x3 正定,求的取值范围.(2017年华东师范大学) 9.设二次型 f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经正交变换X=PY化标准型f=v2+2v3,其中X=(x1,x2,x3),Y=(y,y2,y)是3维列向量 P是3阶正交矩阵, (1)求常数a,b的值 (2)求正交矩阵P.(2014年华南理工大 0.设实二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ax2+2n2+2n3+2bx1x2(b>0, 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,之积为-12 (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型化为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(2015年华南理工 大学) 1.设二次型 f(x1,x2,x3)=x2+x2+n3-4x1x2-4x1x3+2ax2x3
¥òá¢g., Ÿ•A = (aij )¥¢È°› . Úg.wän ¢ºÍ, ^ìÍê{(½ß3 S = {X = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n|x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n = 1} ˛äâå. (2011cu¿ìâåÆ) 26. ^OÜzeg.èIO. 2x 2 1 + 4x1x2 − 4x1x3 + 5x 2 2 − 8x2x3 + 5x 2 3 . (2013cu¿ìâåÆ) 27. A ∈ Mn(C)¥å½› , Ö3Ím > 1, ¶Am = En, ¶A. eÚ˛„/å½0^áUè/åK½0, \U—üo(ÿ?. (2014 cu¿ìâåÆ) 28. Æg. f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + 3x 2 3 + 2λx1x2 + 2x1x3 ½, ¶λäâå. (2017cu¿ìâåÆ) 29. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 2x1x3 + 2bx2x3 ²CÜX = P Y zIO.f = y 2 2 + 2y 2 3 , Ÿ•X = (x1, x2, x3) 0 , Y = (y1, y2, y3) 0 ¥3ëï˛, P¥3 › , (1)¶~Ía, bä; (2)¶› P. (2014cuHnÛåÆ) 30. ¢g. f(x1, x2, x3) = X 0 AX = ax2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 2bx1x2(b > 0), Ÿ•g.› AAäÉ⁄è1, É»è−12. (1)¶a, bä; (2)|^CÜÚg.zèIO., ø—§^CÜ⁄ÈA› . (2015cuHnÛ åÆ) 31. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3 9 厦门大学《高等代数》
经正交变换X=PY化标准型f=3+3+b,其中X=(x1,x2,x3)是3维列向量,P是3阶正交 矩阵, (1)求常数a,b的值 (2)求正交矩阵P.(2019年华南理工大学) 已知f(x1,x2,x3)=2ar2+2ar2+2ar3-2x1x2-2x1x3+2x2x3 (1)求存在矩阵Q使得X=QY的标准型; (2)求a为何值时,f(x1,x2,x3)的二次型矩阵的秩为2.(2020年同济大学) 33.求正交变换化 +y2 为标准方程,并指出曲面类型 4.设有三元实二次型 +z-+4 并设x,y,z满足x2+y2+z2=1.试求∫的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达 到最大值和最小值.(2010年华中师范大学) 35.设实二次型 f(x1,x2,x3)=x+22+x2+2ax1x2+4x1x3+2bx2x3,a>0 通过正交变换化为标准形--n2+53,求参数a,b及所用的正交变换.(2014年兰州大学) 36.设实二次型 f(x1,x2,x3)=x+2+n3+2ax1x2+4x1x3+4x2x3 通过正交变换化为标准形52-v2-3,求参数a及所用的正交变换.(2010年南京大学) 37.试求二次型 xn)=a∑x2+2b∑x 正定的充要条件.(2017年兰州大学) 38.已知实二次型f(x1,x2,x3)=t(x+n2+x3)+2x1x2+2x1x3-2x2x3 t为何值时,f正定? 2.取t=1,用可逆线性变换化二次型为标准型,并写出相应的线性变换.(2019年兰州大学 39.(15分)已知二次型f(x1,x2,x3)=2x2+3n2+33+2x2x3(其中>0)可以通过正交变换化为标 准形n2+2v2+5y3.求t和所用的正交变换.(2010年南京大学)
²CÜX = P Y zIO.f = 3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 , Ÿ•X = (x1, x2, x3) 0 ¥3ëï˛, P¥3 › , (1)¶~Ía, bä; (2)¶› P. (2019cuHnÛåÆ) 32. Æf(x1, x2, x3) = 2ax2 1 + 2ax2 2 + 2ax2 3 − 2x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3 (1)¶3› Q¶X = QY IO.; (2)¶aè¤äû, f(x1, x2, x3)g.› ùè2. (2020 c”LåÆ) 33. ¶CÜz xy + yz + zx = 1 èIOêß, øç—°a.. 34. kn¢g. f(x, y, z) = x 2 + 3y 2 + z 2 + 4xz ø x, y, z ˜v x 2 + y 2 + z 2 = 1. £¶ f Ååä⁄Åä, ø¶ x, y, z üoäû, f ©Oà Ååä⁄Åä. (2010cu•ìâåÆ) 35. ¢g. f (x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 4x1x3 + 2bx2x3, a > 0 œLCÜzèIO/ −y 2 1 − y 2 2 + 5y 2 3 , ¶ÎÍ a, b 9§^CÜ. (2014c=²åÆ) 36. ¢g. f (x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 œLCÜzèIO/ 5y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 , ¶ÎÍ a 9§^CÜ. (2010cHÆåÆ) 37. £¶g. f (x1, · · · , xn) = a Xn i=1 x 2 i + 2b Xn i 0) 屜LCÜzèI O/ y 2 1 + 2y 2 2 + 5y 2 3 . ¶ t ⁄§^CÜ. (2010cHÆåÆ) 10 厦门大学《高等代数》