厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）矩阵

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 (矩阵部分) 选择题 110 1.下列矩阵中,与矩阵011相似的为().(2018年) 001 (A)|011 (B)|011 (C)010 (D)010 001 001 001 001 2.设A,B为m阶矩阵,记r(Xx)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则().(2018年) (A)r(A,AB)=r(4) (B)r(A,BA)=r(4) (C)r(A, B)=maxr(A), r(B)) (D)r(A,B)=r(42,B1) 100 3.设矩阵A=021.B=020.C=020,则()(2017年) 001 001 002 (A)A与C相似,B与C相似 (B)A与C相似,B与C不相似 (C)A与C不相似,B与C相似 (D)A与C不相似,B与C不相似 4.设a是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则().(2017年) (A)E-a7不可逆(B)E+aa7不可逆(C)E+2aa7不可逆(D)E-2a7不可逆 5.设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是().(2016年) (A)A7与B相似 (B)A-1与B-1相似 (C)A+A与B+B相似 (D)A+A-1与B+B-1相似 200 6.矩阵A=aba与0b0相似的充分必要条件为().(203年) 000

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (› ‹©) ò. ¿JK 1. e› •, Ü›   1 1 0 0 1 1 0 0 1   Éqè( ). (2018c) (A)   1 1 −1 0 1 1 0 0 1   (B)   1 0 −1 0 1 1 0 0 1   (C)   1 1 −1 0 1 0 0 0 1   (D)   1 0 −1 0 1 0 0 0 1   2. A, Bèn› , Pr(X)è› Xù, (X, Y )L´©¨› , K( ). (2018c) (A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A) (C) r(A, B) = max{r(A), r(B)} (D) r(A, B) = r(AT , BT ) 3. › A =   2 0 0 0 2 1 0 0 1  , B =   2 1 0 0 2 0 0 0 1  , C =   1 0 0 0 2 0 0 0 2  , K( ). (2017c) (A) AÜCÉq, BÜCÉq (B) AÜCÉq, BÜCÿÉq (C) AÜCÿÉq, BÜCÉq (D) AÜCÿÉq, BÜCÿÉq 4. α¥n븆ï˛, Eèn¸†› , K( ). (2017c) (A) E − ααT ÿå_ (B) E + ααT ÿå_ (C) E + 2ααT ÿå_ (D) E − 2ααT ÿå_ 5. A, B¥å_› , ÖAÜBÉq, Ke(ÿÜÿ¥( ). (2016c) (A) ATÜBTÉq (B) A−1ÜB−1Éq (C) A + ATÜB + BTÉq (D) A + A−1ÜB + B−1Éq 6. › A =   1 a 1 a b a 1 a 1   Ü   2 0 0 0 b 0 0 0 0   Éqø©7á^áè( ). (2013c) 1

(B)a=0,b为任意常数 (D)a=2,b为任意常数 7设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-AP=1,P=(a1,n2a3),Q=(a1+a,a2,a3) 则Q-14Q=().(2012年) 2 8.设向量组(1)a1,a1,…,ar,向量组(2)1,B2,…,B线性表示,则下面命题正确的是().(2010年) (A)若向量组(1)线性无关,则r≤s (B)若向量组(1)线性相关,则r>s (C)若向量组(2)线性无关,则r≤s (D)若向量组(2)线性无关,则r>s 9.设A,B均为2阶矩阵,A”,B·分别为A,B的伴随矩阵,若|4=2,|B|=3,则分块矩阵 的伴随 B O 矩阵为().(2009年) 03B* 02B 02A (C) 2A*0 2B*0 10.设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵若A3=0,则().(2008年) A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 100 1.设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B().(200年) 000 (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)即不合同,也不相似 110 2.设A为阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加到第2列得C,记P=010 001 则().(2006年) (A)C=P-AP (B)C=PAP (C)C=PTAP 3.设n阶矩阵A与B等价,则必有().(2004年) (A)当4=a(a≠0)时,|B=a (B)当A4=a(a≠0)时,|B=-a (C)当4≠0时,|B=0 (D)当4=0时,|B=0

(A) a = 0, b = 2 (B) a = 0, bè?ø~Í (C) a = 2, b = 0 (D) a = 2, bè?ø~Í 7. Aè3› , Pè3å_› , ÖP −1AP =   1 1 2  , P = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = ( ). (2012c) (A)   1 2 1   (B)   1 1 2   (C)   2 1 2   (D)   2 2 1   8. ï˛|(1)α1, α1, · · · , αr, ï˛|(2)β1, β2, · · · , βs Ç5L´, Ke°·K(¥( ). (2010c) (A) eï˛|(1)Ç5Ã', Kr ≤ s (B) eï˛|(1)Ç5É', Kr > s (C) eï˛|(2)Ç5Ã', Kr ≤ s (D) eï˛|(2)Ç5Ã', Kr > s 9. A, B˛è2› , A∗ , B∗©OèA, Bäë› , e|A| = 2, |B| = 3, K©¨› 0 A B 0 ! äë › è( ). (2009c) (A) 0 3B∗ 2A∗ 0 ! (B) 0 2B∗ 3A∗ 0 ! (C) 0 3A∗ 2B∗ 0 ! (D) 0 2A∗ 3B∗ 0 ! 10. Aènö"› , Eèn¸†› . eA3 = 0, K( ). (2008c) (A) E − Aÿå_, E + Aÿå_ (B) E − Aÿå_, E + Aå_ (C) E − Aå_, E + Aå_ (D) E − Aå_, E + Aÿå_ 11. › A =   2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2  , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 0  , KAÜB( ). (2007c) (A) ‹”, ÖÉq (B) ‹”, ÿÉq (C) ÿ‹”, Éq (D) =ÿ‹”, èÿÉq 12. Aè3› , ÚA121\111B, 2ÚB11-1\12C, PP =   1 1 0 0 1 0 0 0 1  , K( ). (2006c) (A) C = P −1AP (B) C = P AP −1 (C) C = P T AP (D) C = P AP T 13. n› AÜBd, K7k( ). (2004c) (A) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = a (B) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = −a (C) |A| 6= 0û, |B| = 0 (D) |A| = 0û, |B| = 0 2

14.设三阶矩阵A=bab,若的伴随矩阵的秩为1,则必有().(2009年) (A)a=减或a+2b=0(B)a=减a+2b≠0(C)a≠且a+2b=0(D)a≠b且a+2b≠0 a11a12a13a14 a14a13a1211 0001 1000 15.tA= 02102202302, B=024023022a21LR=0 100 0010 其中A可 a31a32a33 34 0010 0100 a41a42a43a4 a44a43a42a41 1000 0001 逆,则B-1等于().(2001年) (A)A-1P1P2 (B)P1A-1P2 (C)P1P2A-1 (D)P2A-1P1 16.设n(n≥3阶矩阵A=aa1…a,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()(199年) aaa C)-1 17.设A,B为同阶可逆矩阵,则().(1997年) (A)AB= BA (B)存在可逆矩阵P,使P-1AP=B (C)存在可逆矩阵C,使CAC=B (D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B 18.设m阶矩阵A非奇异(n≥2),A是矩阵A的伴随矩阵,则().(1996年) (A)(A)*=|4|n-1A(B)(A)*=|4P+1A(C)(A)=|4-2A(D)(A")”=|4|n+2A 9.设A是m×n矩阵,C是m阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r矩阵B=AC的秩为r1,则().(1994年) (A)r>rl B)r<ri (C) D)r与r1的关系由C而定 20.设A和B均为n×n矩阵,则必有().(1989年) (A)A+B=A+ B(B)AB=BA (C)AB =BAI (D)(A+B)-1=A-1+B-1 二.判断题 1.设D是矩阵A的r阶非零子式且含D的一切r+1阶子式均为0,则矩阵A的一切r+1阶子式均为0.() 1987

14. n› A =   a b b b a b b b a  , eäë› ùè1, K7k( ). (2003c) (A) a = b½a + 2b = 0 (B) a = b½a + 2b 6= 0 (C) a 6= bÖa + 2b = 0 (D) a 6= bÖa + 2b 6= 0 15. A =   a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44   , B =   a14 a13 a12 a11 a24 a23 a22 a21 a34 a33 a32 a31 a44 a43 a42 a41   , P1 =   0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0   , P2 =   1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1   , Ÿ•Aå _, KB−1u( ). (2001c) (A) A−1P1P2 (B) P1A−1P2 (C) P1P2A−1 (D) P2A−1P1 16. n(n ≥ 3)› A =   1 a a · · · a a 1 a · · · a a a 1 · · · a . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1   , e› Aùèn − 1, Ka7è( ). (1998c) (A) 1 (B) 1 1−n (C) −1 (D) 1 n−1 17. A, Bè”å_› , K( ). (1997c) (A) AB = BA (B) 3å_› P, ¶P −1AP = B (C) 3å_› C, ¶C T AC = B (D) 3å_› P⁄Q, ¶P AQ = B 18. n› Aö¤…(n ≥ 2), A∗¥› Aäë› , K( ). (1996c) (A) (A∗ ) ∗ = |A| n−1A (B) (A∗ ) ∗ = |A| n+1A (C) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A (D) (A∗ ) ∗ = |A| n+2A 19. A¥m × n› , C¥nå_› , › Aùèr, › B = ACùèr1, K( ). (1994c) (A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) rÜr1'XdC ½ 20. A⁄B˛èn × n› , K7k( ). (1989c) (A) |A + B| = |A| + |B| (B) AB = BA (C) |AB| = |BA| (D) (A + B) −1 = A−1 + B−1 . ‰K 1. D¥› Arö"f™Ö¹DòÉr + 1f™˛è0, K› AòÉr + 1f™˛è0. ( ) (1987c) 3

2.设A和B均为n阶非零方阵且AB=0,则秩r(4)<n.()(1988年) 三.填空题 1.设A为3阶矩阵,|4=3,A*为A的伴随矩阵.若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则BA|=( 2.设n=(1,12=(1,4),B为是的转置,若矩阵B相似于000则k=()(209 000 3.设m维向量a=(a,0,…,0,a)2,a<0:E为阶单位矩阵,矩阵A=E-aa,B=E+laa,其中A的 逆矩阵为B,则a=().(2003年) 4.设A=020,而n≥2为正整数,则4-24-=()(90年) 101 5.设矩阵AB满足ABA=2BA-8E,其中A=0-20,E为单位矩阵,A为A的伴随矩阵,则B 00 100 6.设A=220,A是A的伴随矩阵,则(A”)-1=().(1950年) 345 0a10 00a 0 其中(a≠0.,讠 则A-1=().(1991年 8.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为().(199年) 9.设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且|4=a|B|=b,C 则Cl=().(1992年) B O 10.设A和B为可逆矩阵,X 为分块矩阵,则X B O 0001 11.设A= 0010 (198年) 0100 1000 四.计算题

2. A⁄B˛ènö"ê ÖAB = 0, Kùr(A) < n. ( ) (1988c) n. WòK 1. Aè3› , |A| = 3, A∗èAäë› . eÜA1ò1Ü11› B, K|BA∗ | =( ). (2012c) 2. α = (1, 1, 1), β = (1, 0, k), β Tèβ¥=ò, e› αβTÉqu   3 0 0 0 0 0 0 0 0  , Kk = ( ). (2009c) 3. nëï˛α = (a, 0, · · · , 0, a) T , a < 0; E踆› , › A = E − ααT , B = E + 1 a ααT , Ÿ•A _› èB, Ka = ( ). (2003c) 4. A =   1 0 1 0 2 0 1 0 1  , n ≥ 2èÍ, KAn − 2An−1 =( ). (1999c) 5. › A, B˜vA∗BA = 2BA − 8E, Ÿ•A =   1 0 0 0 −2 0 0 0 1  , E踆› , A∗èAäë› , KB =( ). (1998c) 6. A =   1 0 0 2 2 0 3 4 5  , A∗¥Aäë› , K(A∗ ) −1 =( ). (1995c) 7. A =   0 a1 0 · · · 0 0 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . an−1 an 0 0 · · · 0   , Ÿ•(ai 6= 0, i = 1, 2, · · · , n), KA−1=( ). (1994c) 8. 4ê Aùè2, KŸäë› A∗ùè( ). (1993c) 9. Aèmê , Bènê , Ö|A| = a,|B| = b, C = 0 A B 0 ! , K|C| =( ). (1992c) 10. A⁄Bèå_› , X = 0 A B 0 ! 詨› , KX−1 = ( ). (1991c) 11. A =   0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0   , KA−1 = ( ). (1988c) o. OéK 4

1.已知矩阵A=2x-2与B=0-10相似 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.(2019年) 1a2 已知a是常数,且矩阵A=130可经过初等变换化为矩阵B=011 (2)求满足AP=B的可逆矩阵P.(2018年) 3.已知矩阵A (1)求A90; (2)设三阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA.记B10=(B1,B2,B3),将B1,B2,B3分别表示 为a1,a2,a3的线性组合.(2016年) 4.设矩阵A=1a-1,且A3=0. 01a (1)求a的值; (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为三阶单位矩阵,求X.(2015年) 1-20 5.设矩阵A=-13-3相似于矩阵B0b0 (1)求a,b的值 (2)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.(2015年) 6.设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 (1)求Ax=0的一个基础解系 2)求满足AB=E的所有矩阵B.(2014年) 7.设A 当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 10 (2013年)

1. Æ› A =   −2 −2 1 2 x −2 0 0 −2   ÜB =   2 1 0 0 −1 0 0 0 y   Éq. (1) ¶x, y; (2) ¶å_› P, ¶P −1AP = B. (2019c) 2. Æa¥~Í, Ö› A =   1 2 a 1 3 0 2 7 −a   å²L–CÜzè› B =   1 a 2 0 1 1 −1 1 1  . (1) ¶a; (2) ¶˜vAP = Bå_› P. (2018c) 3. Æ› A =   0 −1 1 2 −3 0 0 0 0  . (1) ¶A99; (2) n› B = (α1, α2, α3) ˜vB2 = BA. PB100 = (β1, β2, β3), Úβ1, β2, β3 ©OL´ èα1, α2, α3Ç5|‹. (2016c) 4. › A =   a 1 0 1 a −1 0 1 a  , ÖA3 = 0. (1) ¶aä; (2) e› X˜vX − XA2 − AX + AXA2 = E, Ÿ•Eèn¸†› , ¶X. (2015c) 5. › A =   0 2 −3 −1 3 −3 1 −2 a   Équ› B   1 −2 0 0 b 0 0 3 1  . (1) ¶a, bä; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2015c) 6. › A =   1 −2 3 −4 0 1 −1 1 1 2 0 −3  , Eèn¸†› . (1) ¶Ax = 0òáƒ:)X; (2) ¶˜vAB = E§k› B. (2014c) 7. A = 1 a 1 0 ! , B = 0 1 1 b ! . a, bè¤äû, 3› C¶AC − CA = B, ø¶§k› C. (2013c) 5

8.设3阶实对称矩阵A的特征值A1=1,A2=2,A3=-2,a1=(1,-1,1)x是A的属于A1的一个特征向量, 记B=A5-443+E,其中E为3阶单位矩阵 (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (2)求矩阵B.(2007年) 9.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3向量a1=(-1,2,-1)2,a2=(0,-1,1)2是线性方程组Ax= 0的两个解 (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵Q和对角矩阵P,使得QrAQ=P; (3)求A及(A-是E)°,其中E为3阶单位矩阵.(2006年 0100 0010 10.设矩阵A 则A3的秩为?(2007 0001 0000 b (1)求A的特征值和特征向量 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2004年) 2.已知X=AX+B,其中A 111,B=20,求矩阵X.(1989年) 0-1 13.设3阶方阵A的伴随矩阵为A,且A|=,求(3A)-1-2A.(1989年) 423 14.设矩阵A=110,且AB=A+2B,求矩阵B.(1987年) 123 五.证明题 1.证明n阶矩阵 相似.(2014年) 00 2.设A为n阶非奇异矩阵,a为n维列向量,b为常数,记分块矩阵D 中A·是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵

8. 3¢È°› AAäλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, α1 = (1, −1, 1)T ¥A·uλ1òáAï˛, PB = A5 − 4A3 + E, Ÿ•Eè3¸†› . (1) yα1¥› BAï˛, ø¶B‹AäÜAï˛; (2) ¶› B. (2007c) 9. 3¢È°› Aà1ÉÉ⁄˛è3, ï˛α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥Ç5êß|Ax = 0¸á). (1) ¶AAäÜAï˛; (2) ¶› Q⁄È› P, ¶QT AQ = P; (3) ¶A9(A − 3 2E) 6 , Ÿ•Eè3¸†› . (2006c§ 10. › A =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   , KA3ùè? (2007c) 11.   1 b · · · b b 1 · · · b . . . . . . . . . b b · · · 1   . (1) ¶AAä⁄Aï˛; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2004c) 12. ÆX = AX + B, Ÿ•A =   0 1 0 −1 1 1 −1 0 −1  , B =   1 −1 2 0 5 −3  , ¶› X. (1989c) 13. 3ê Aäë› èA∗ , Ö|A| = 1 2 , ¶|(3A) −1 − 2A∗ |. (1988c) 14. › A =   4 2 3 1 1 0 −1 2 3  , ÖAB = A + 2B, ¶› B. (1987c) . y²K 1. y²n›   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   Ü   0 0 · · · 1 0 0 · · · 2 . . . . . . . . . 0 0 · · · n   Éq. (2014c) 2. Aènö¤…› , αènëï˛, bè~Í, P©¨› D = E 0 −α T A∗ |A| ! , D = A α α T b ! , Ÿ •A∗¥› Aäë› , Eèn¸†› . 6

(1)计算并化简PQ (2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是a7A-1a≠b.(1997年) 3.已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩阵的表达式 (E为n阶单位阵).(1990年) (吕洪波方珍程潘红林鹭整理) 7

(1) Oéøz{P Q; (2) y²: › Qå_ø©7á^á¥α T A−1α 6= b. (1997c) 3. ÆÈunê A, 3g,Ík, ¶Ak = 0, £y²› E − Aå_, ø—Ÿ_› Là™. (Eèn¸† ). (1990c) (½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 7