相似标准型基础训练 填空题与判断题 1-入2入 1-矩阵A(入 AA-A的标准型是 2.设A 440.则A的特征多项式是 最小多项式 是 行列式因子是 不变因子是 初等因 子是 Jordan标准型是 3.设A∈C6×6,fA()=(X+2)2(X-1)4,mA(从)=(A+2)(-1)3,则A的 Jordan标准型是 4.矩阵A 00.0 n-2,其中a2≠0,则A的 Jordan标准 型是 5.已知矩阵的初等因子为:A,2,A2,(+1),(A+1),(A+1)2,A-1,(A ,(X-1)2,(X-1)3,则标准型为 6.已知矩阵A的不变因子组为1,…,1,A,A2(A-1),(-1)3(2+1)A2, 则A在有理数域上的初等因子组为 在实数域上的初等因子组为 在复数域上的初等因子为 7.设A,B为同阶幂等矩阵,即A2=A,B2=B.若A和B的秩相同,问A 和B是否相似 8.2阶方阵彼此相似当且仅当它们的极小多项式相同结论对否 又结论对3阶方阵正确否 9.设A和B都是3阶幂零矩阵,则A和B相似的充要条件是mA(入)=mB(入) 对否 又结论对4阶幂零矩阵正确否
✁✂✄☎✆✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍☛ 1.λ- ✎✏ A(λ) = 1 − λ λ2 λ λ λ −λ 1 + λ 2 λ 2 −λ 2 ✑✒✓✔✕ . 2. ✖ A = 0 1 0 −4 4 0 −2 1 2 . ✗ A ✑✘✙✚✛✜✕ ; ✢✣✚✛✜ ✕ ; ✤✥✜✦✧ ✕ ; ★✩✦✧ ✕ ; ✪✫✦ ✧ ✕ ; Jordan ✒✓✔✕ . 3. ✖ A ∈ C6×6 , fA(λ) = (λ + 2)2 (λ − 1)4 , mA(λ) = (λ + 2)(λ − 1)3 , ✗ A ✑ Jordan ✒✓✔✕ . 4. ✎✏ A = a1 a2 a3 · · · an 0 a1 a2 · · · an−1 0 0 a1 · · · an−2 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · a1 , ✬✭ a2 6= 0, ✗ A ✑ Jordan ✒✓ ✔✕ . 5. ✮ ✯ ✎✏✑✪✫ ✦✧✰✱ λ, λ2 , λ2 ,(λ + 1),(λ + 1),(λ + 1)2 , λ − 1,(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , ✗✒✓✔✰ . 6. ✮ ✯ ✎ ✏ A ✑★✩ ✦✧✲✰ 1, · · · , 1, λ, λ2 (λ − 1),(λ − 1)3 (λ 2 + 1)λ 2 , ✗ A ✳✴✵✶✷✸✑✪✫ ✦✧✲✰ , ✳✹✶✷✸✑✪✫ ✦✧✲✰ , ✳✺✶✷✸✑✪✫✦✧✰ . 7. ✖ A,B ✰✻✼✽✫✎✏✾✿ A2 = A,B2 = B. ❀ A ❁ B ✑❂❃✻ ✾❄ A ❁ B ✕❅❃❆ . 8. 2 ✼❇✏ ❈❉❃❆❊❋●❊❍■✑❏✣✚✛✜❃✻❑▲▼❅ , ◆❑▲▼ 3 ✼❇✏ ❖P❅ . 9. ✖ A ❁ B ◗✕ 3 ✼✽❘✎✏✾✗ A ❁ B ❃❆✑❙❚❯❱✕ mA(λ) = mB(λ) ▼ ❅ , ◆❑▲▼ 4 ✼✽❘✎✏❖P❅ . 1
入 a b 10.入-矩阵A(X) +-00 b入+ 0入+ab 的行列式因子为 入+a 不变因子为 2+2A2+1x2+1 11求矩阵A()=3A+13在有理数域,实数域,复 入2+1X2+12+1 数域上的初等因子及标准型为 12.设A为3阶幂零矩阵,则A可能的 Jordan标准型为 13.设A为3阶幂等矩阵,则A可能的 ordan标准型为 14.设A为3阶矩阵,满足A2=E,则A可能的 Jordan标准型为 15.矩阵A=2-11的有理标准型为 210 16.3阶矩阵A的 Jordan标准型是J=020|,且使P-1AP=J的 00 P是0 0,如果f(x)=x4-4x2+2,试求f(4) 17.设∫A()是n阶矩阵A的特征多项式,mA(入)是A的极小多项式,证 明:fA(入)|(mA(入)2 18.秩为1的n阶复方阵的 Jordan标准型为 123 19.求A=|2345 3456的极小多项式为 4567 20.已知4阶矩阵A的极小多项式为(2-4)(2-9),则A的 Jordan标准 型为 21n阶矩阵A是幂零矩阵,即有大于1的整数k,使Ak=0,44-1≠0,则A 的最后一个不变因子是 22.设A是n阶矩阵且A2-3A+2ln=0,问A是否必相似于对角阵
10.λ- ✎✏A(λ) = λ + a b 1 0 −b λ + a 0 1 0 0 λ + a b 0 0 −b λ + a ✑✤✥✜✦✧✰ , ★✩✦✧✰ . 11. ❲ λ- ✎✏ A(λ) = λ 2 + 2 λ 2 + 1 λ 2 + 1 3 λ + 1 3 λ 2 + 1 λ 2 + 1 λ 2 + 1 ✳✴✵✶✷✾✹✶✷✾✺ ✶✷✸✑✪✫✦✧❳✒✓✔✰ . 12. ✖ A ✰ 3 ✼✽❘✎✏✾✗ A ❨❩✑ Jordan ✒✓✔✰ . 13. ✖ A ✰ 3 ✼✽✫✎✏✾✗ A ❨❩✑ Jordan ✒✓✔✰ . 14. ✖ A ✰ 3 ✼ ✎✏✾❬❭ A2 = E, ✗ A ❨❩✑ Jordan ✒✓✔✰ . 15. ✎✏ A = 1 0 1 2 −1 1 0 1 −1 ✑✴✵✒✓✔✰ . 16.3 ✼ ✎✏ A ✑ Jordan ✒✓✔✕ J = 2 1 0 0 2 0 0 0 −1 , ❋❪ P −1AP = J ✑ P ✕ 1 0 0 0 1 0 1 −1 2 , ❫❴ f(λ) = λ 4 − 4λ 2 + 2, ❵❲ f(A) = . 17. ✖ fA(λ) ✕ n ✼ ✎✏ A ✑✘✙✚✛✜✾ mA(λ) ✕ A ✑❏✣✚✛✜✾❛ ❜✱ fA(λ)|(mA(λ))n . 18. ❂✰ 1 ✑ n ✼ ✺ ❇ ✏✑ Jordan ✒✓✔✰ . 19. ❲ A = 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 ✑❏✣✚✛✜✰ . 20. ✮ ✯ 4 ✼ ✎✏ A ✑❏✣✚✛✜✰ (λ 2 − 4)(λ 2 − 9), ✗ A ✑ Jordan ✒✓ ✔✰ . 21.n ✼ ✎✏ A ✕✽❘✎✏✾✿✴❝❞ 1 ✑❡✶ k, ❪ Ak = 0,Ak−1 6= 0, ✗ A ✑✢❢❣❤★✩✦✧ ✕ . 22. ✖ A ✕ n ✼ ✎ ✏❋ A2 − 3A + 2In = 0, ❄ A ✕❅✐❃❆❞ ▼❥ ✏ 2
23.一个n阶有理数矩阵A的极小多项式是一个不可约多项式(有理数域上) 问A的 Jordan标准型是否必可对角化 24.A,B是同阶幂等矩阵,即A2=A,B2=B.若A和B的秩相同,问A和 B是否必相似 25.设A是η阶矩阵且有特征值1,又A只有一个线性无关的特征向量,求 A的 Jordan标准型 庄清渠整理
. 23. ❣❤ n ✼ ✴✵✶✎✏ A ✑❏✣✚✛✜✕❣❤★❨❦✚✛✜ (✴✵✶✷✸), ❄ A ✑ Jordan ✒✓✔✕❅✐❨ ▼❥❧ . 24.A,B ✕✻✼✽✫✎✏✾✿ A2 = A,B2 = B. ❀ A ❁ B ✑❂❃✻ ✾❄ A ❁ B ✕❅✐❃❆ . 25. ✖ A ✕ n ✼ ✎✏❋✴✘✙♠ 1, ◆ A ♥✴❣❤♦♣qr✑✘✙st ✾❲ A ✑ Jordan ✒✓✔ . ✉✈✇❡✵ 3
