厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源_2019-2020学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门大学《高等代数(I)》课程试卷 数学,经济学院各,统计系2019年级各专业 主考教师:杜妮,林鹭试卷类型:A卷考试日期:2020.18 分数 阅卷人 (18分)填空题:(每题3分,共6题) 1设51,52,53和n1,n2,n3是线性空间V的两个基,从51,2,53到m,n2,n3的过渡矩阵是 121|,则从51,点2,53到n1,3m2,n的过渡矩阵是 l12 2设V,V,V均为V的子空间,且满足Ⅵ+V2=Ⅵ+V3,Ⅵ∩V2=V∩v3,则 (选填“必有”,“未必有”)V=V 3设V是n(≥3)维线性空间,U和W是v的两个子空间且dmU=n-1,dimW=n-2, 则dim(U∩W)= 4设F3到F2的线性映射φ定义为:q(a,b,c)=(2c,a+b+c),记a1=(1,0,0),2=(0,1,0), a3=(0,0,1);B1=(1,0),B2=(0,1),则q在基x1,a2,a3和β1,B2下的矩阵为 性待料下的如(0)2方则m? Img2的充分必要条件是r(A1) 6设线性变换q在V的基51,2.5下的矩阵是110,则v的所有非平凡-不变 子空间为

fÄåÆ5pìÍ£I§6ëß£Ú ÍÆ, ²L Æ à, ⁄O X 2019 c? à ;í Ãìµ⁄V, ˘ £Úa.µA Ú £Fœµ2020.1.8 ò! 分数 阅卷人 (18©) WòK: (zK3©,
6K) 1 .ξ1,ξ2,ξ3⁄η1,η2,η3¥Ç5òmV¸áƒ, lξ1,ξ2,ξ3η1,η2,η3Lfi› ¥   2 1 1 1 2 1 1 1 2  , Klξ1,ξ2,ξ3η1,3η2,η3Lfi› ¥ . 2 .V1, V2, V3˛èVfòm, Ö˜vV1 +V2 = V1 +V3, V1 T V2 = V1 T V3, K (¿W/7k0, /ô7k0) V2 = V3. 3 .V¥n(≥ 3)ëÇ5òm, U⁄W¥V¸áfòmÖdimU = n−1, dimW = n−2, Kdim(U T W) = . 4 .F3F2Ç5Nϕ½¬è: ϕ(a,b, c) = (2c,a+b+c), Pα1 = (1,0,0), α2 = (0,1,0), α3 = (0,0,1); β1 = (1,0), β2 = (0,1), Kϕ3ƒα1,α2,α3⁄β1, β2e› è . 5 .eÇ5CÜϕ3Vƒξ1,ξ2,··· ,ξne› è A11 0 0 0 ! , Ÿ•A11èrê . KImϕ = Imϕ 2ø©7á^á¥r(A11) . 6 .Ç5CÜϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3e› ¥   1 0 0 1 1 0 0 1 1  , KV§kö²Öϕ−ÿC fòmè . 1

2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(D》期末考试卷 L分数「阅卷人(83分)选择题(每题3分,共6题) 1以下集合中 是R2×2的子空间 a1a22=0 (B 11a1 0 11 0 al1112 21a22 2向量组n1=(1,2,3),n2=(4,5,0),n3=(6,0,0)是F3的一个基,则a=(a1,a2,a3)在n 2,nB3下的坐标为 3设p是线性空间V到线性空间U的线性映射,51,52,53,54是V的基,n1,n2,n3,n4是U的 l122 基若q(5,255)=(,1233.则下列等式成立的是 2355 (1)mg=(51+52+25,51+252+53+54)(2)Imp=(m++2n3,n1+2n2+3n3+n4) (3)Kerq=(-51-2+53,-51-52+54)(4)Kerp=(-n1-n2+n3,-n1-1+n4) (A)(1)(3) (B)(1)(4) 第2页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú ! 分数 阅卷人 (18©) ¿JK: (zK3©,
6K) 1 .±e8‹• ¥R 2×2fòm. (A) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a11a22 = 0 ) (B) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a 2 11 −a 2 22 = 0 ) (C) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a11 −a22 = 0 ) (D) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |det a11 a12 a21 a22 ! = 0 ) 2 .ï˛|η1 = (1,2,3) T , η2 = (4,5,0) T , η3 = (6,0,0) T¥F 3òáƒ, Kα = (a1,a2,a3) T3η1, η2, η3eãIè . (A)   1 2 3 4 5 0 6 0 0     a1 a2 a3   (B)   1 2 3 4 5 0 6 0 0   −1   a1 a2 a3   (C)   1 4 6 2 5 0 3 0 0     a1 a2 a3   (D)   1 4 6 2 5 0 3 0 0   −1   a1 a2 a3   3 .ϕ¥Ç5òmVÇ5òmUÇ5N, ξ1,ξ2,ξ3,ξ4¥Vƒ, η1,η2,η3,η4¥U ƒ. eϕ(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) = (η1,η2,η3,η4)   1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 5 5 0 1 1 1   , Ke™§·¥ . (1) Imϕ = hξ1 +ξ2 +2ξ3,ξ1 +2ξ2 +ξ3 +ξ4i (2) Imϕ = hη1 +η2 +2η3,η1 +2η2 +3η3 +η4i (3) Kerϕ = h−ξ1 −ξ2 +ξ3,−ξ1 −ξ2 +ξ4i (4) Kerϕ = h−η1 −η2 +η3,−η1 −η2 +η4i (A) (1)(3) (B) (1)(4) (C) (2)(3) (D) (2)(4) 12ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 4设φ是线性空间V到线性空间U的线性映射,V,V2是V的子空间,U1,U2是U的子空 间.定义p(W)={(a)a∈v},φ-l(U1)={a∈Vp(a)∈U1}.则以下等式成立的 是 (1)q(V+V2)=φ(V)+φ(V2) (2)g(W∩v2)=φ(V)nq(V2) (3)q-1{U1+U2)=9-(U1)+g-1(U2)(4)q-l(U1∩U2)=q-l{U1)∩p-1(U2) (A)(1)(3) (B)(1)(4) (C)(2)(3) (D)(2)(4) 5设φ是有限维线性空间V的线性变换.若是单射,则以下命题 是错误的 (A)g是满射 (B)φ的核空间是零 (C)g将V的基变为V的基 (D)φ在V的某基下的矩阵是单位矩阵 6设V和U都是数域F上有限维线性空间.下列叙述中,错误的是 (A)若φ是V的线性变换,则q在V的任意不同基下的矩阵必相抵 (B)若q是V的线性变换,则q在V的任意不同基下的矩阵必相似 (C)若q是V到U的线性映射,则q在V和U的任意不同基下的矩阵必相抵 (D)若q是V到U的线性映射,则q在V和U的任意不同基下的矩阵必相似 分数阅卷人(2)已知y=14=(n)3∈F+2+303=0 (1)证明:V是F3×3的子空间; (2)求V的一个基和维数,并证明 第3页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú 4 .ϕ¥Ç5òmVÇ5òmUÇ5N, V1,V2¥Vfòm, U1,U2¥Ufò m. ½¬ϕ(V1) = {ϕ(α)|α ∈ V1}, ϕ −1 (U1) = {α ∈ V|ϕ(α) ∈ U1}. K±e™§· ¥ . (1) ϕ(V1 +V2) = ϕ(V1) +ϕ(V2) (2) ϕ(V1 T V2) = ϕ(V1) T ϕ(V2) (3) ϕ −1 (U1 +U2) = ϕ −1 (U1) +ϕ −1 (U2) (4) ϕ −1 (U1 T U2) = ϕ −1 (U1) T ϕ −1 (U2) (A) (1)(3) (B) (1)(4) (C) (2)(3) (D) (2)(4) 5 .ϕ¥kÅëÇ5òmVÇ5CÜ. eϕ¥¸, K±e·K ¥Üÿ. (A) ϕ¥˜ (B) ϕÿòm¥" (C) ϕÚVƒCèVƒ (D) ϕ3V,ƒe› ¥¸†› 6 .V⁄U—¥ÍçF˛kÅëÇ5òm. eQ„•, Üÿ¥ . (A) eϕ ¥V Ç5CÜ, Kϕ 3V ?øÿ”ƒe› 7É- (B) eϕ ¥V Ç5CÜ, Kϕ 3V ?øÿ”ƒe› 7Éq (C) eϕ ¥V U Ç5N, Kϕ 3V ⁄U ?øÿ”ƒe› 7É- (D) eϕ ¥V U Ç5N, Kϕ 3V ⁄U ?øÿ”ƒe› 7Éq n! 分数 阅卷人 (12©) ÆV = {A = (ai j)3×3 ∈ F 3×3 |a11+2a22+3a33 = 0}. (1) y²: V¥F 3×3fòm; (2) ¶Vòáƒ⁄ëÍ, øy². 13ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 (10分)设U是n(>1)维线性空间V的非平凡子空间.求证: 「分数阅卷人存在v的子空间W使得v=UW 第4页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú . o! 分数 阅卷人 (10©) U¥n(> 1)ëÇ5òmVö²Öfòm. ¶y: 3VfòmW, ¶V = U LW. 14ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 五、[分数阅卷人 (12分)设q是数域F上n维线性空间v的线性变换,a是V 中一个向量,且满足φ-1(a)≠0,gy(x)=0. (1)证明:a,g(a),…,p-1(a)是v的一个基; (2)求q在这个基下的矩阵 第5页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú ! 分数 阅卷人 (12©) ϕ ¥ÍçF ˛n ëÇ5òmV Ç5CÜ, α ¥V •òáï˛, Ö˜vϕ n−1 (α) 6= 0, ϕ n (α) = 0. (1) y²: α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) ¥Vòáƒ; (2) ¶ϕ 3˘áƒe› . 15ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 「分数阅卷人12分)设甲是m维线性空间y到维线性空间U的线性映射, 且m<n.证明:φ是单线性映射的充分必要条件是存 在U到V的满线性映射v,使得vq=idv,即vφ是V上的恒 等变换 第6页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú 8! 分数 阅卷人 (12©) ϕ¥mëÇ5òmVnëÇ5òmUÇ5N, Öm < n. y²: ϕ¥¸Ç5Nø©7á^ᥠ3UV˜Ç5Nψ, ¶ψϕ = idV , =ψϕ¥V˛ð CÜ. 16ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 分数阅卷人 10分)设q,v是线性空间v的线性变换,且q=qv.证明: V=Kerq⊕Imy的充分必要条件是 dimIng= dumMy. 第7页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú ‘! 分数 阅卷人 (10©) ϕ, ψ¥Ç5òmVÇ5CÜ, Öϕ = ϕψ. y²: V = Kerϕ LImψø©7á^á¥dimImϕ = dimImψ. 17ê,
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2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 八、匚分数阅卷人 (8分)设v是数域F上的线性空间,V和V2是V的子空间,且 成立V=VV又设q,q2分别是v,V2的线性变换 定义V的线性变换 qp(x1+a2)=2q1(1)-3q2(ax2),va1∈V,a2∈V (1)定义detq为q在V的任意基下的矩阵的行列式.说明该定义的合理性 (2)*dimI=nI, dimV2=n2, detI=d1, det2=d2, edet 第8页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú l! 分数 阅卷人 (8©) V¥ÍçF˛Ç5òm, V1⁄V2¥Vfòm, Ö §·V = V1 LV2. qϕ1, ϕ2©O¥V1, V2Ç5CÜ. ½¬VÇ5CÜϕ: ϕ(α1 +α2) = 2ϕ1(α1)−3ϕ2(α2),∀α1 ∈ V1,α2 ∈ V2. (1) ½¬detϕèϕ3V?øƒe› 1™. `²T½¬‹n5. (2) edimV1 = n1, dimV2 = n2, detϕ1 = d1, detϕ2 = d2, ¶detϕ. 18ê,
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2019.2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(》期末考试卷 附加题(10分) 设f是FmX到F的线性映射.证明:若对任意A,B∈Fm×n,f(AB)=f(BA),则存在λ∈F,使 得对任意A∈FnXn,f(A)=λtrA,其中tA是矩阵A的迹,即A的所有对角元的和 第9页,共9页

2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú N\K (10©) f¥F n×nFÇ5N. y²: eÈ?øA,B ∈ F n×n , f(AB) = f(BA), K3λ ∈ F, ¶ È?øA ∈ F n×n , f(A) = λtrA, Ÿ•trA¥› A,, =A§kÈ⁄. 19ê,
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