本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (10分)设V是由全体定义域为实数的实函数构成的集合,已知V在通常加 法和数乘的意义下是一个线性空间。试证明V中的函数组sinx,cosr,e,e线性无关。 解:设有系数k1,k2,k3,k,使, k,sinx k, cosx+ kaet+ kex=0 (3分) 分别令x=0,x=I,x=2π得 k2+k3+k4=0 a=-k2+kae k (4分) k2+k el k 解方程组得k2=k3=k4=0,进一步得k=0,所以sinx,cosx,e,e线性无关。(3分) (12分)在F中,求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵,并且求 n=a1+a2+a3在基(Ⅱ)下的坐标 显然β1=(a1,a2,a3) a 1 a B3=( 3) 所以过渡矩阵为 (6分) 4/5-12/5 因为C12/51-15 所以n在(Ⅱ)下的坐标为 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（10 分）设 V 是由全体定义域为实数的实函数构成的集合，已知 V 在通常加 法和数乘的意义下是一个线性空间。试证明 V 中的函数组 sinx,cosx,e x ,e -x线性无关。 解：设有系数 k1，k2 ，k3 ，k4 ，使， k1sinx+ k2 cosx+ k3e x+ k4e -x=0 (3 分) 分别令 x=0,x=π,x=2π得 α1= k2+k3+k4=0 - k2+k3eπ + k4e -π=0 k2+k3e 2π + k4e -2π=0 (4 分) 解方程组得 k2 =k3 =k4 =0，进一步得 k1=0，所以 sinx,cosx,e x ,e -x线性无关。(3 分) 二、（12 分）在 F 3中，求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，并且求 η=α1+α2+α3在基（Ⅱ）下的坐标． （Ⅰ）：α1= 0 1 0 α2= 1 0 0 α3= 0 0 1 （Ⅱ）：β1= 1 -1 3 β2= 2 -1 3 β3= 0 2 4 解 ： 显 然 β1=（α1 ,α2,α3） -1 1 3 ， β2=（α1 ,α2,α3） -1 2 3 ， β3=（α1 ,α2,α3） 2 0 4 所以过渡矩阵为 C= -1 -1 2 1 2 0 3 3 4 (6 分) 因为 C-1= -4/5 -1 2/5 2/5 1 -1/5 3/10 0 1/10 所以 η在（Ⅱ）下的坐标为
乡花油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第1学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信计、数学03-05 考试方法:闭卷命题教师:王忠义 -4/5-12/5 C-2/51-1/5 6/5 (6分) 6/10010oJUu2 三、(12分)设V1=Span(a1,a2),V2=Span(B1,B2),求dim(V1+V2)与 Im( a=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0) B1=(1,0,0,1),阝2=(0,1,1,0) 00 100 10 解:因为 010|0-110|0-1100-110 100110-101|100 0011 所以dm(V1+V2)=3,dim(V)=2,dim(V2)=2,从而 dim(V∩V2)=2+2-3=1 四、(10分)设0和τ都是3维线性空间V的线性变换,设(1):{B1,B2,B3} 是V的一个基,o和τ在(I)下的矩阵分别是 00 B→020 求复合变换τo在(I)下的矩阵,并求τa(B1-2B2-3B3)在(I)下的坐标 46 解:BA+020456181012 (5分) 03Jt789)14161 T0(B1-2B23B3)在(I)下的坐标为 246 810121-2 (5分) 4161 五、(12分)求矩阵A的所有特征值和每一个特征值的特征子空间的一个基。 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 1 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信计、数学 03-05 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 C-1= -4/5 -1 2/5 2/5 1 -1/5 3/10 0 1/10 1 1 1 = -7/5 6/5 2/5 (6 分) 三、（12 分）设 V1=Span(α1,α2)，V2=Span(β1,β2)，求 dim(V1+V2)与 dim(V1∩V2) α1=(1,1,0,0) , α2 =(1,0,1,0) β1=(1,0,0,1) , β2=(0,1,1,0) 解：因为 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 ~ 1 1 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 ~ 1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 ~ 1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 所以 dim(V1+V2)=3，dim(V1)=2，dim(V2)=2，从而 dim(V1∩V2)=2+2-3=1 四、（10 分）设σ和τ都是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅰ)：{β1，β2，β3} 是 V 的一个基，σ和τ在(Ⅰ)下的矩阵分别是 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 求复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵，并求τσ(β1-2β2-3β3)在(Ⅰ)下的坐标． 解：BA= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (5 分) τσ(β1-2β2-3β3)在(Ⅰ)下的坐标为 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 -2 -3 = -24 -48 -72 (5 分) 五、（12 分）求矩阵 A 的所有特征值和每一个特征值的特征子空间的一个基
本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第1学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信计、数学03-05 考试方法:闭卷命题教师:王忠义 A021 解:令λE-A=0即有 (-2)( A1=A2=2,A (6分) 对于A1=A2=2特征子空间的一个基为10 (3分) 对于λ3=2特征子空间的一个基为 (3分) 六、(10分)设α1,α2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,证明:a1+a2 不是A的任一特征值的特征向量 解:设α1,α2是矩阵A的属于不同特征值λ1,λ2的特征向量,A1≠λ2 假设α计+a2是A的某一特征值λ的特征向量,则有 A(a1+a2)=A(a1+a2) 另一方面(a1+a2)=Aa1+Aa2=入1a1+A2a2 左右相减得0=(λ-A1)a1+(A-λ2)a2 (λ-Aλ1)与(λ-λ2)不能同时为零,说明a1,a2线性相关,矛盾。此矛盾说 明αt+α2不是A的任一特征值的特征向量 七、(12分)求矩阵A的若尔当标准形 A+-253 解:经初等变换后知A等价于下面矩阵 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 1 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信计、数学 03-05 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 A= 2 3 -1 0 2 1 0 0 3 解:令|λE-A|=0 即有 (λ-2) 2(λ-3)=0 λ1=λ2=2，λ3=3 (6 分) 对于λ1=λ2=2 特征子空间的一个基为ζ1= 1 0 0 (3 分) 对于λ3=2 特征子空间的一个基为ζ2= 2 1 1 (3 分) 六、（10 分）设α1，α2 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，证明：α1+α2 不是 A 的任一特征值的特征向量。 解：设α1，α2是矩阵 A 的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，λ1≠λ2 假设α1+α2是 A 的某一特征值λ的特征向量，则有 A（α1+α2）=λ（α1+α2） 另一方面 A（α1+α2）= Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2 左右相减得 0=（λ-λ1）α1+（λ-λ2）α2 （λ-λ1）与（λ-λ2）不能同时为零，说明α1，α2线性相关，矛盾。此矛盾说 明α1+α2不是 A 的任一特征值的特征向量。 七、（12 分）求矩阵 A 的若尔当标准形． A= -1 4 3 -2 5 3 4 -4 -2 解：经初等变换后知 A 等价于下面矩阵
石油大 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第1学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信计、数学03-05 考试方法:闭卷命题教师:王忠义 0 (6分) 0 (X+1)(x-3)(X4)J A的初等因子为(A+1),(A-3),(x-4),A的若尔当标准形为 0 3 (6分) 八、(14分)设矩阵A为 试求正交矩阵P,将其化为对角形 解:A的特征值为λ1=1,N2=3,A3=4, 它们对应的特征向量分别为 (6分) 该向量组已经两两正交,单位化得 10√14V35 0 14V35 (5分) 10√143 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 1 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信计、数学 03-05 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 1 0 0 0 1 0 0 0 (λ+1)（λ-3）（λ-4） （6 分） A 的初等因子为(λ+1)，（λ-3），（λ-4），A 的若尔当标准形为 -1 0 0 0 3 0 0 0 4 （6 分） 八、（14 分）设矩阵 A 为 A= 1 3 0 3 -2 -1 0 -1 1 试求正交矩阵 P，将其化为对角形 解：A 的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=-4， (3 分) 它们对应的特征向量分别为 ζ1= 1 0 3 ζ2= 3 2 -1 ζ3= -3 5 1 （6 分） 该向量组已经两两正交，单位化得 η1= 1 10 1 0 3 η2= 1 14 3 2 -1 η3= 1 35 -3 5 1 P= 1 10 3 14 -3 35 0 2 14 5 35 3 10 -1 14 1 35 P -1AP= 1 0 0 0 3 0 0 0 4 （5 分）
九、(8分)设A是n×n实对称矩阵,证明:矩阵A22A+5En是正定矩阵。 证:因为A22A+5E=(AE)2+4E,对于任意X∈R,且Ⅹ≠0,有 XT(A2-2A+4E)X=X(A-E)X+4XEX=X(A-E)(A-E)X+4XEX (A-E)X[(A-E)X+4XX>0 所以A22A+5E是正定的 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 九、（8 分）设 A 是 n×n 实对称矩阵，证明：矩阵 A2-2A+5En是正定矩阵。 证：因为 A2-2A+5E=（A-E）2+4E，对于任意 X∈Rn，且 X≠0，有 XT（A2-2A+4E）X= XT (A-E) 2X+ 4XTEX=XT (A-E)T (A-E)X+ 4XTEX = [(A-E) X]T [ (A-E)X]+4XTX＞0 所以 A2-2A+5E 是正定的．
