厦门大学《高等代数(I)》课程试卷 数学,经济学院各,统计系2019年级各专业 主考教师:杜妮,林鹭试卷类型:A卷考试日期:2020.18 分数 阅卷人 (18分)填空题:(每题3分,共6题) 1设51,52,53和n1,n2,n3是线性空间V的两个基,从51,2,53到m,n2,n3的过渡矩阵是 121|,则从51,2,53到n,372,n的过渡矩阵是 161 112 132 2设V1,V2,V均为V的子空间,且满足V1+V2=V1+V3,v1∩V2=V∩v3,则 (选填“必有”,“未必有”V2=V.未必 3设V是n(≥3)维线性空间,U和W是v的两个子空间且dmU=n-1,dimW=n-2, 则dim(U∩W)= n-2或n-3 4.设乃3到F2的线性映射φ定义为:φ(a,b,c)=(2c,a+b+c),记a1=(1,0,0),a2=(0,1,0) ax3=(0,0,1);B1=(1,0),B2=(0,1),则φ在基a1,a2,a3和B,B2下的矩阵为 002 111 5若线性变换φ在V的基51,52,…,n下的矩阵为 A110 其中A1为r阶方阵.则Imq 00 Img2的充分必要条件是r(A1) 6设线性变换q在v的基5,523下的矩阵是110,则v的所有非平凡q-不变 子空间为 53),(点2,53)
fÄåÆ5p ìÍ£I§6ëß£Ú ÍÆ, ²L Æ à, ⁄O X 2019 c? à ;í Ãìµ⁄V, ˘ £Úa.µA Ú £Fœµ2020.1.8 ò! 分数 阅卷人 (18©) WòK: (zK3©, 6K) 1 .ξ1,ξ2,ξ3⁄η1,η2,η3¥Ç5òmV¸áƒ, lξ1,ξ2,ξ3η1,η2,η3Lfi› ¥ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 , Klξ1,ξ2,ξ3η1,3η2,η3Lfi› ¥ . 2 3 1 1 6 1 1 3 2 2 .V1, V2, V3˛èVfòm, Ö˜vV1 +V2 = V1 +V3, V1 T V2 = V1 T V3, K (¿W/7k0, /ô7k0V2 = V3. ô7 3 .V¥n(≥ 3)ëÇ5òm, U⁄W¥V¸áfòmÖdimU = n−1, dimW = n−2, Kdim(U T W) = . n−2½n−3 4 .F3F2Ç5Nϕ½¬è: ϕ(a,b, c) = (2c,a+b+c), Pα1 = (1,0,0), α2 = (0,1,0), α3 = (0,0,1); β1 = (1,0), β2 = (0,1), Kϕ3ƒα1,α2,α3⁄β1, β2e› è . 0 0 2 1 1 1 ! 5 .eÇ5CÜϕ3Vƒξ1,ξ2,··· ,ξne› è A11 0 0 0 ! , Ÿ•A11èr ê . KImϕ = Imϕ 2ø©7á^á¥r(A11) . = r(A 2 11) 6 .Ç5CÜϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3e› ¥ 1 0 0 1 1 0 0 1 1 , KV§kö²Öϕ−ÿC fòmè . hξ3i, hξ2,ξ3i 1
2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(D》期末考试卷 分数阅卷人(8分)选择题(每题3分,共6题) 1以下集合中 是R2×2的子空间.C a1a22=0 (B 11a1 0 21a22 l11a12 ∈R2×2a1-a22=0 a11a12∈R2×2 21a22 2向量组n=(1,2,3),2=(4,5.0),n3=(6,0,0)是F3的一个基,则a=(a1,a2,a3)在n 2,nB3下的坐标为 3设p是线性空间V到线性空间U的线性映射,51,52,53,54是V的基,n1,n2,n3,n4是U的 l122 基若q(51,255)=(1,1233则下列等式成立的是 2355 C (1)Imq=(51+52+253,51+252+3+54)(2)Imp=(n+n2+2n3,n1+2n2+373+14) 51-52+ φ=(-1-12+13,-11-72+74) (A)(1)(3) (B)(1)(4) (C)(2(3) (D)(2)(4) 第2页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú ! 分数 阅卷人 (18©) ¿JK: (zK3©, 6K) 1 .±e8‹• ¥R 2×2fòm. C (A) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a11a22 = 0 ) (B) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a 2 11 −a 2 22 = 0 ) (C) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |a11 −a22 = 0 ) (D) ( a11 a12 a21 a22 ! ∈ R 2×2 |det a11 a12 a21 a22 ! = 0 ) 2 .ï˛|η1 = (1,2,3) T , η2 = (4,5,0) T , η3 = (6,0,0) T¥F 3òáƒ, Kα = (a1,a2,a3) T3η1, η2, η3eãIè . D (A) 1 2 3 4 5 0 6 0 0 a1 a2 a3 (B) 1 2 3 4 5 0 6 0 0 −1 a1 a2 a3 (C) 1 4 6 2 5 0 3 0 0 a1 a2 a3 (D) 1 4 6 2 5 0 3 0 0 −1 a1 a2 a3 3 .ϕ¥Ç5òmVÇ5òmUÇ5N, ξ1,ξ2,ξ3,ξ4¥Vƒ, η1,η2,η3,η4¥U ƒ. eϕ(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) = (η1,η2,η3,η4) 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 5 5 0 1 1 1 , Ke ™§·¥ . C (1) Imϕ = hξ1 +ξ2 +2ξ3,ξ1 +2ξ2 +ξ3 +ξ4i (2) Imϕ = hη1 +η2 +2η3,η1 +2η2 +3η3 +η4i (3) Kerϕ = h−ξ1 −ξ2 +ξ3,−ξ1 −ξ2 +ξ4i (4) Kerϕ = h−η1 −η2 +η3,−η1 −η2 +η4i (A) (1)(3) (B) (1)(4) (C) (2)(3) (D) (2)(4) 12ê, 7ê
2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 4设φ是线性空间V到线性空间U的线性映射,V,V2是V的子空间,U1,U2是U的子空 间.定义p(W)={(a)a∈v},φ-l(U1)={a∈Vp(a)∈U1}.则以下等式成立的 是 (1)φ(W1+V2)=φ(V1)+φ(V2) (2)φ(W∩v2)=q(W)∩9(V2) (3)φ-l(U1+U2)=q-1(U1)+q-l(U2)(4)q-l(U1∩U2)=q-(U1)∩q-l(U2) (A)(1)(3) (B)(1)(4) (C)(2)(3) (D)(2)4) 5.设φ是有限维线性空间V的线性变换若q是单射,则以下命题是错误的D (A)q是满射 B)φ的核空间是零 (C)q将v的基变为V的基 (D)φ在v的某基下的矩阵是单位矩阵 6.设V和U都是数域F上有限维线性空间.下列叙述中,错误的是 (A)若φ是V的线性变换,则q在V的任意不同基下的矩阵必相抵 (B)若q是V的线性变换,则q在V的任意不同基下的矩阵必相似 (C)若q是V到U的线性映射,则φ在V和U的任意不同基下的矩阵必相抵 (D)若φ是v到U的线性映射,则φ在V和U的任意不同基下的矩阵必相似 分数阅卷人 (12分)已知V={A=(a1)3×3∈F3×3a11+2a2+3a33=0} (1)证明:V是F3×3的子空间 (2)求V的一个基和维数,并证明 证明(1)按定义验证 (2)dimV=8,-2E11+E2,-3E11+E3,E1,1≤i≠j≤3是V的一个基.一方面,对任 2a22-3a33a12a13 意的A∈v,A= a22a23=a2(-2E1+E2)-a3(-3E1+E3)+ ∑1/s3aE另一方面,若a2(-2E+E2)-a3(-3E1+E3)+∑1s/s3aiEj=0, 即 -2a22-3a33a12a13 21 0,故a2=a33=aj=0,对所有1≤i≤j≤3 常见错误1未指出V非空 常见错误2审题不严.只给出基和维数,没有证明为什么是基 常见错误3只证明向量组线性无关,没有证明V中任意向量可由其线性表出 第3页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú 4 .ϕ¥Ç5òmVÇ5òmUÇ5N, V1,V2¥Vfòm, U1,U2¥Ufò m. ½¬ϕ(V1) = {ϕ(α)|α ∈ V1}, ϕ −1 (U1) = {α ∈ V|ϕ(α) ∈ U1}. K±e ™§· ¥ . B (1) ϕ(V1 +V2) = ϕ(V1) +ϕ(V2) (2) ϕ(V1 T V2) = ϕ(V1) T ϕ(V2) (3) ϕ −1 (U1 +U2) = ϕ −1 (U1) +ϕ −1 (U2) (4) ϕ −1 (U1 T U2) = ϕ −1 (U1) T ϕ −1 (U2) (A) (1)(3) (B) (1)(4) (C) (2)(3) (D) (2)(4) 5 .ϕ¥kÅëÇ5òmVÇ5CÜ. eϕ¥¸, K±e·K ¥Üÿ. D (A) ϕ¥˜ (B) ϕÿòm¥" (C) ϕÚVƒCèVƒ (D) ϕ3V,ƒe› ¥¸†› 6 .V⁄U—¥ÍçF˛kÅëÇ5òm. eQ„•, Üÿ¥ . D (A) eϕ ¥V Ç5CÜ, Kϕ 3V ?øÿ”ƒe› 7É- (B) eϕ ¥V Ç5CÜ, Kϕ 3V ?øÿ”ƒe› 7Éq (C) eϕ ¥V U Ç5N, Kϕ 3V ⁄U ?øÿ”ƒe› 7É- (D) eϕ ¥V U Ç5N, Kϕ 3V ⁄U ?øÿ”ƒe› 7Éq n! 分数 阅卷人 (12©) ÆV = {A = (ai j)3×3 ∈ F 3×3 |a11+2a22+3a33 = 0}. (1) y²: V¥F 3×3fòm; (2) ¶Vòáƒ⁄ëÍ, øy². y² (1) U½¬y (2) dimV = 8, −2E11 + E22, −3E11 + E33,Ei j,1 ≤ i 6= j ≤ 3¥Vòáƒ. òê°, È? øA ∈ V, A = −2a22 −3a33 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a22(−2E11 + E22) − a33(−3E11 + E33) + ∑1≤ i≤j≤3 ai jEi j. ,òê°, ea22(−2E11 +E22)−a33(−3E11 +E33) +∑1≤ i≤j≤3 ai jEi j = 0, = −2a22 −3a33 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = 0, a22 = a33 = ai j = 0, ȧk1 ≤ i ≤ j ≤ 3. ~ÑÜÿ1 ôç—Vöò. ~ÑÜÿ2 "KÿÓ. êâ—ƒ⁄ëÍ, vky²èüo¥ƒ. ~ÑÜÿ3 êy²ï˛|Ç5Ã', vky²V•?øï˛ådŸÇ5L—. 13ê, 7ê
2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(D》期末考试卷 四、「分数 阅卷人 (10分)设U是n(>1)维线性空间v的非平凡子空间.求证: 存在V的子空间W,使得V=U⊕W 证明:因为U是V的非平凡子空间,因此可设1,52,…,5 是U的一个基,其中0≤r≤n.将51,2,…,5扩为V的基51,52,…,5,+1,5+2,…,5n, 令W=(5+1,5+2,…,5n),则V=UW 常见错误1设51,52,…,是V的基,则令U=(51,52,…,5),W=(5+1,5+2…,5)U为 已给定的子空间,未必恰由V的r个基向量张成 常见错误2循环证明.先承认补子空间W存在.W为未知的子空间,证明中应告知W是如 何获得的 五 分数阅卷人 (12分)设q是数域F上n维线性空间v的线性变换,α是V 中一个向量,且满足q"-1(a)≠0,qp(a)=0 (1)证明:aα,p(a),…,p-1(a)是V的一个基; (2)求φ在这个基下的矩阵. 证明:(1)因dimV=n,所以只要证明α,p(aα),…,qn-l(a)线性无关即可.事实上, 设a0+a19(a)+…+an-1gn-1(a)=0,将q-1同时作用于上式两边,结合p"=0, 有a0qpn-1≠0.因为qn-1(a)≠0,所以ao=0.从而a1p(a)+…+an-1q-1(a)=0,将q-同 时作用于上式两边,结合q=0,有a1qn-1≠0.因为q-1(a)≠0,所以a1=0.以此类推, 可得a0=a1 0. (2)q在α,q(ax),…,qp"-1(a)下的矩阵是 000 000 01 000 00 010 常见错误1只证明a,9(a),…,qn-1(a)线性无关,未指出由于dimV=n就推断a,p(a) ,q-1(a)是V的基.一个向量组要成为V的基,需验证以下三条中的两条:(1)向量组线 性无关;(2)V中任意向量可由该向量组线性表出;(3)向量组所含向量的个数恰为v的维 数 常见错误2设a0ax+a19(a)+…+an-1q-1(a)=0.等式两边同时乘以q(ax).概念不 清导致画蛇添足,应该是“将φn-1作用于等式两边”,此处不能出现a. 第4页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú o! 分数 阅卷人 (10©) U¥n(> 1)ëÇ5òmVö²Öfòm. ¶y: 3VfòmW, ¶V = U LW. y²: œèU¥Vö²Öfòm, œdåξ1,ξ2,··· ,ξr ¥Uòáƒ, Ÿ•0 ≤ r ≤ n. Úξ1,ξ2,··· ,ξr*èVƒξ1,ξ2,··· ,ξr ,ξr+1,ξr+2,··· ,ξn, -W = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni, KV = U LW. ~ÑÜÿ1 ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vƒ, K-U = hξ1,ξ2,··· ,ξri, W = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni. Uè Æâ½fòm, ô7TdVráƒï˛‹§. ~ÑÜÿ2 ÃÇy². k´@÷fòmW3. Wèôfòm, y²•AwW¥X ¤º. ! 分数 阅卷人 (12©) ϕ ¥ÍçF ˛n ëÇ5òmV Ç5CÜ, α ¥V •òáï˛, Ö˜vϕ n−1 (α) 6= 0, ϕ n (α) = 0. (1) y²: α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) ¥Vòáƒ; (2) ¶ϕ 3˘áƒe› . y²: (1) œdimV = n, §±êáy²α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) Ç5Ã'=å. Ø¢˛, a0α + a1ϕ(α) + ··· + an−1ϕ n−1 (α) = 0, Úϕ n−1”ûä^u˛™¸>, (‹ϕ n = 0, ka0ϕ n−1 6= 0. œèϕ n−1 (α) 6= 0, §±a0 = 0. l a1ϕ(α)+···+an−1ϕ n−1 (α) = 0, Úϕ n−2” ûä^u˛™¸>, (‹ϕ n = 0, ka1ϕ n−1 6= 0. œèϕ n−1 (α) 6= 0, §±a1 = 0. ±daÌ, åa0 = a1 = ··· = an−1 = 0. (2) ϕ 3α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α)e› ¥ 0 0 ··· 0 0 0 1 0 ··· 0 0 0 0 1 ··· 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 1 0 0 0 0 ··· 0 1 0 . ~ÑÜÿ1 êy²α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) Ç5Ã', ôç—dudimV = n“̉α,ϕ(α), ···, ϕ n−1 (α)¥Vƒ. òáï˛|á§èVƒ, Iy±en^•¸^: (1) ï˛|Ç 5Ã'; (2) V•?øï˛ådTï˛|Ç5L—; (3) ï˛|§¹ï˛áÍTèVë Í. ~ÑÜÿ2 a0α +a1ϕ(α)+···+an−1ϕ n−1 (α) = 0, ™¸>”û¶±ϕ n−1 (α). Vgÿ òóxVv, AT¥/Úϕ n−1ä^u ™¸>0, d?ÿU—yα. 14ê, 7ê
2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 「分数阅卷人12分)设是m维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 且m<n.证明:φ是单线性映射的充分必要条件是存 在U到V的满线性映射v,使得vq=idv,即vφ是V上的恒 等变换 证明必要性(法一)设51,2,…,5m是V的一个基,因为q是单的,所以p(51),(52), q(5m)线性无关.记n=q(5),i=1,2,…,m.因m<n,将n1,eta2,…,Tm扩为U的 基 n定义U到V的线性映射,使得 即vp=idv.对任意a∈V,a=∑=1a5,令B=E21an∈U,则v(B)=a.是 v(∑m1ain)=∑=115,则对任意a=∑=1a5∈V,wp(∑m115)=v(∑m1ain)=∑=1 (法二)设51,52,…,m和m,n2,…,n分别是V和U的基q(51,2,…,5m)=(m,n2,…,mn) 其中A是m×n矩阵.因为φ是单射,所以r(A)=n,存在m阶可逆矩阵P,和n阶可逆矩阵Q 使得A=P(/En Q.令B=Q-1(Em,0)P1,则B是nxm矩阵,r(B)=m.令U到V的线性映 0 射v,使得v(n,n2,…,mn)=(51,2,…,m)B,则由同构得,vp=idv,且v是满的线性映 射 充分性(法一)设q(a1)=9(∞2),将v同时作用于两边,利用已知条件vp=idv,即 得a1=a2,故q是单射 (法二)(19级蔡伽炫,李沛雨,潘欣雨,涂细安,吴文琦,邹新驰;18转专业李昌昊等) 设p(a)=0.因为vq=idv,v是线性映射,所以a=v(a)=y(0)=0,故是单射 (法三)(19级林子凌,孟昭芮;19国统施忆清等)反证法,若φ不是单射,则存在α≠0,使 得p(a)=0.又因为vp=id,w是线性映射,所以a=vq(a)=v(0)=0,矛盾 (法四)(19级陈滟柠,胡雅楠,于笑洋,赵康馨;18转专业王笛合等)设φ在V的基ξ1,与2,…,5m 和U的基n1,n2,…,mn下的矩阵是A.v在U的基n1,m2,…,mn和V的基51,2,…,5m下的 矩阵是B.因vq=idv,由同构有BA=Em,若φ非单,则由同构知r(4)<m,故存在非零向 量X,使得AX=0.故0≠X=BAX=0,矛盾 常见错误1定义U到V的线性映射v,使得v(n)=5,i=1,2,…,m.v定义不完整.还应 定义y(n),i=m+1,m+2,…,n的值 常见错误2定义U到V的线性映射v,使得φ(α)→α.y定义不完整.应对U中任意元素 定义像,而不仅仅对φ(a)定义像 常见错误3设51,52,…,5m是V的一个基,令n=9(5),i=1,2,…,m,扩为U的一个基.应 指明由于q是单射,所以η;i=1,2,…,m线性无关 第5页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú 8! 分数 阅卷人 (12©) ϕ¥mëÇ5òmVnëÇ5òmUÇ5N, Öm , |^Æ^áψϕ = idV , = α1 = α2, ϕ¥¸. ({) (19?ȳÓ, o Ö, !Ö, Ê[S, «©l, q#¶; 18=;íoh ) ϕ(α) = 0. œèψϕ = idV , ψ¥Ç5N, §±α = ψϕ(α) = ψ(0) = 0, ϕ¥¸. ({n) (19?f', äË; 19I⁄ñ£ò ) áy{, eϕÿ¥¸, K3α 6= 0, ¶ ϕ(α) = 0. qœèψϕ = idV , ψ¥Ç5N, §±α = ψϕ(α) = ψ(0) = 0, gÒ. ({o) (19?ùt, ‰ô, u, Îx˘; 18=;í (‹ ) ϕ3Vƒξ1,ξ2,··· ,ξm ⁄Uƒη1,η2,··· ,ηne› ¥A. ψ3Uƒη1,η2, ···, ηn ⁄Vƒξ1,ξ2, ···, ξme › ¥B. œψϕ = idV , d”kBA = Em. eϕö¸, Kd”r(A) < m, 3ö"ï ˛X, ¶AX = 0. 0 6= X = BAX = 0, gÒ. ~ÑÜÿ1 ½¬UVÇ5Nψ, ¶ψ(ηi) = ξi , i = 1,2,··· ,m. ψ½¬ÿ. ÑA ½¬ψ(ηi), i = m+1,m+2,··· ,nä. ~ÑÜÿ2 ½¬UVÇ5Nψ, ¶ϕ(α) 7→ α. ψ½¬ÿ. AÈU•?øÉ ½¬î, ÿ==Èϕ(α)½¬î. ~ÑÜÿ3 ξ1,ξ2,··· ,ξm¥Vòáƒ, -ηi = ϕ(ξi), i = 1,2,··· ,m, *èUòáƒ. A ç²duϕ¥¸, §±ηi , i = 1,2,··· ,mÇ5Ã'. 15ê, 7ê
2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 常见错误4A=p(E,0 00/Q,令B=0=1(E0 P-1,则BA=E.只能得到BA Er 0 七「分数阅卷人 (10分)设φ,y是线性空间V的线性变换,且φ=φv.证明: V=Kerq⊕Imv的充分必要条件是 dimIn= dimly 证明必要性因为dimV= dimKero e dimIng.又因为V= Kerq⊕Imv,所以dimV= dimErφ⊕ dimly.故dmmp=dmmy 充分性(法一)(19级邓贤兵,郭佩文,纪睿泽,李子辉,母唯盟,邱润楠,王赛,吴和 苑;19国统袁晨曦,朱忆萌等)对任意a∈V,a=(α-v(a)+v(∞).由已知q=v, 所以p(-v(a)=q(a)-q(v(a)=(a)-g(a)=0,说明a-v(a)∈Kerq,又显 然v(a)∈Imy,故V=Kerq+Imy.又因为dmmg= dimLy,所以dmV= dimKerop+ dimImop= dimKerop+ dimly.综上,即得V=Kerq⊕my. (法二)(19级鲍赞羽,甘李祎帆,胡嵩涛,鞠雨含,孟昭芮,吴雪婷等)因为dimρ= dimly,所以dimV= dimErφ+ dimIng= dinEro+ dimly,且 dinEro= dimKery 由已知q=φv,φ是线性映射,故对任意a∈Kerv,(ax)=q(v(ax)=q(0)=0,即 Kery C dinEro.而 dimKerop= dimKery,所以Kerv=Kerq.对任意v(a)∈Kerφ∩Imv,因p= qv,所以p(a)=(v(a)=0.,a∈Ker=Kerv,所以v(a)=0.综上,即得V= Kero Imy (法三)(19国统王可心)由 dimMed=dmmy可知,n=dimV= dumMy+ dimKerop.对任 意a∈Kerv,因φ=qv,所以φ(a)=q(v(a)=(a)=0,故 Kery C Kero.又由dmmp= dimLy,n=dimV= dimly+ dimEr可知, dimKery= dimKerop,所以Kery=Kerp 设a1,α2…,x1是Kerφ的基,故也是Kerv的基,将其扩为v的基α1,a2,…,xn,则v(ax+1) v(ax1+2),…,v(an)是Imy的基,g(ax+1),p(ax+2),…,q(ax)是Imφ的基.现证a1,a2,…,ax v(ax+1),v(ax+2),…,v(axn)线性无关,从而命题得证事实上,设k11+k22+…+kax+ kr+1v(ax+1)+kr+2v(ax+2)+…+knv(an)=0.将φ作用于上式两边得,k+19v(ar+1)+ kr+2qv(ax+2)+…+knv(cxn)=0.又因为q=φv,所以kr+19(ax+1)+k+29(0x+2)+ +kng(ax)=0.注意到q(ax1+1),(ax+2),…,q(an)是Imp的基,所以k+1=k+2=…= kn=0,进而k1x1+k202+…+k,x1=0.而α1,a2,…,Gx是Kerφ的基,必线性无关,所 k1=k2=…=kr=0.这就证明了ax1,ax2…,xr,v(ax1+1),v(ax+2),…,v(axn)线性无关, 其个数恰为V的维数,因此是V的一个基.故V= Kero eImy 常见错误设a∈Kerg∩Imv,则q(a)=0且存在B∈V,使得a=v(B),则qv(B)=0 因为q=9y,所以(B)=0=a.最后一个等号不对.只能得到β∈Kerq.还应 证Kery=Kerg,那么β∈Kerq=Kerv,进而a=v(B)=0 第6页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú ~ÑÜÿ4 A = P Er 0 0 0 ! Q, -B = Q −1 Er 0 0 0 ! P −1 , KBA = Er . êUBA = Er 0 0 0 ! . ‘! 分数 阅卷人 (10©) ϕ, ψ¥Ç5òmVÇ5CÜ, Öϕ = ϕψ. y²: V = Kerϕ LImψø©7á^á¥dimImϕ = dimImψ. y² 7á5 œèdimV = dimKerϕ LdimImϕ. qœèV = Kerϕ LImψ, §±dimV = dimKerϕ LdimImψ. dimImϕ = dimImψ. ø©5 ({ò) (19?"pW, H ©, VHL, ofü, 1çÜ, §dô, m, «⁄ ; 19I⁄öÖ, ££É ) È?øα ∈ V, α = (α − ψ(α)) + ψ(α). dÆϕ = ϕψ, §±ϕ(α − ψ(α)) = ϕ(α) − ϕ(ψ(α)) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0, `²α − ψ(α) ∈ Kerϕ, qw ,ψ(α) ∈ Imψ, V = Kerϕ + Imψ. qœèdimImϕ = dimImψ, §±dimV = dimKerϕ + dimImϕ = dimKerϕ +dimImψ. n˛, =V = Kerϕ LImψ. ({) (19? 7ã, [oÃ~, ”7, ‘Ö¹, äË, «»x ) œèdimImϕ = dimImψ, §±dimV = dimKerϕ + dimImϕ = dimKerϕ + dimImψ, ÖdimKerϕ = dimKerψ. dÆϕ = ϕψ, ϕ¥Ç5N, È?øα ∈ Kerψ, ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = ϕ(0) = 0, =Kerψ ⊆ dimKerϕ. dimKerϕ = dimKerψ, §±Kerψ = Kerϕ. È?øψ(α) ∈ Kerϕ T Imψ, œϕ = ϕψ, §±ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = 0, α ∈ Kerϕ = Kerψ, §±ψ(α) = 0. n˛, =V = Kerϕ LImψ. ({n) (19I⁄ å%) ddimImϕ = dimImψå, n = dimV = dimImψ +dimKerϕ. È? øα ∈ Kerψ, œϕ = ϕψ, §±ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = ϕ(α) = 0, Kerψ ⊆ Kerϕ. qddimImϕ = dimImψ, n = dimV = dimImψ +dimKerϕå, dimKerψ = dimKerϕ, §±Kerψ = Kerϕ. α1,α2,··· ,αr¥Kerϕƒ, è¥Kerψƒ, ÚŸ*èVƒα1,α2,··· ,αn. Kψ(αr+1), ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)¥Imψƒ, ϕ(αr+1), ϕ(αr+2),··· ,ϕ(αn)¥Imϕƒ. yyα1,α2,··· ,αr , ψ(αr+1),ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)Ç5Ã', l ·Ky. Ø¢˛, k1α1+k2α2+···+krαr+ kr+1ψ(αr+1) +kr+2ψ(αr+2) +···+knψ(αn) = 0. Úϕä^u˛™¸>, kr+1ϕψ(αr+1) + kr+2ϕψ(αr+2) + ··· + knϕψ(αn) = 0. qœèϕ = ϕψ, §±kr+1ϕ(αr+1) + kr+2ϕ(αr+2) + ···+knϕ(αn) = 0. 5øϕ(αr+1), ϕ(αr+2),··· ,ϕ(αn)¥Imϕƒ, §±kr+1 = kr+2 = ··· = kn = 0, ? k1α1 + k2α2 + ··· + krαr = 0. α1,α2,··· ,αr¥Kerϕƒ, 7Ç5Ã', § ±k1 = k2 = ··· = kr = 0. ˘“y² α1,α2,··· ,αr ,ψ(αr+1),ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)Ç5Ã', ŸáÍTèVëÍ, œd¥Vòáƒ. V = Kerϕ LImψ. ~ÑÜÿ α ∈ Kerϕ T Imψ, Kϕ(α) = 0Ö3β ∈ V, ¶α = ψ(β), Kϕψ(β) = 0. œèϕ = ϕψ, §±ϕ(β) = 0 = α. Åòá “ÿÈ. êUβ ∈ Kerϕ. ÑA yKerψ = Kerϕ, @oβ ∈ Kerϕ = Kerψ, ? α = ψ(β) = 0. 16ê, 7ê
20192020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(①》期末考试卷 八匚分数阅卷人 (8分)设V是数域F上的线性空间,V和V2是v的子空间,且 成立V=V⊕V又设q,φ2分别是V1,V2的线性变换 定义V的线性变换q qp(x1+a2)=2q1(01)-32(a2),va1∈v,2 (1)定义detp为φ在v的任意基下的矩阵的行列式说明该定义的合理性 (2)dimI=nI, dimV2=n2, det(r=dI, det2=d2, ykdeto 证明(1)此定义是合理的.因为线性变换在不同基下的矩阵相似,而相似矩阵的行列式相 同 (2)(19级郭垚成,何彬豪,林秋子,王龙杰,杨陈曦,杨凌涵,杨文慧;19国统李乐,李雅茹,史 广平,张倬千;18转专业肖子衿等)因为V=吟⊕V2,所以可设5,52,…,5n1是V的一个基 5n1+1,5m1+2,…,5n是V的基q1(51,52,…,5n)=(5l,52,…,5m1)A1,(5n1+1,5n1+2,…,5n)= (5n1+1,5n1+2,…,5nA2,由已知q(a1+a2)=2q1(1)-3q2(a2),a∈V,2∈V2,可得在 基51,与2,…,5n下的矩阵为 #adeto=det(2A1 )det(-3A2)=2"(-3"2d1d2 -3A 常见错误 6d1d2.行列式算错,应为2m1(-3)d1dh2 3A 附加题(10分) 设f是F×n到F的线性映射.证明:若对任意A,B∈FnXn,f(AB)=f(BA),则存在λ∈F,使 得对任意A∈Fn×n,f(A)=λtrA,其中trA是矩阵A的迹,即A的所有对角元的和 证明法一(19级池奕,倪胤枫,魏先琪;19国统吴泽齐;18转专业邓展望,刘江灿,文俊) 因Ei,j=1,2,…,n是Fmx的一个基,是F×到F的线性映射,因此可设f(E;)=首先,对 任意j≠k,E;Ek=0,f线性,且已知f(AB)=f(BA),所以/;=f(Ek)=f(EkE)=f(E;Ek) f(0)=0.其次,对任意2≤i≤n,后=f(E1E1)=f(E1En)=f(E1)=f1,设1=λ.最 后因f线性,所以对任意A∈F,A=E=14;E,f(A)=f(】=1a1E)=∑=1anf(E) ∑=1aifi=λtrA 法二(19级常皓峻)E;表示基础矩阵,E(表示初等变换(互换变换).因为E(i,j)E=Ej E;E(;j)=Ei,f(AB)=f(BA),所以f(E)=f(E1).其余同法 法三(18转专业陈泳西)先取A=E1,B=E,1≤,j≤n,fAB)=f(BA),得f(Ei)=f(Ej), 所以设f(E)=.下证f(E)=0,i≠取A=E,B=E+2E,i≠j,则AB=E1,BA=2E 由f线性,得f(E)=0.其余同法 法四(18转专业梁逸潇)因为对j≠1,E1=E1(E1+E1),E1+E1=(E1+E1)E1,f线 性且f(AB)=f(BA),所以f(E1)=0.同理可得f(E)=0.其余同法 常见错误由f(A)=AtrA,得f(AB)=f(BA).因果倒置 第7页,共7页
2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú l! 分数 阅卷人 (8©) V¥ÍçF˛Ç5òm, V1⁄V2¥Vfòm, Ö §·V = V1 LV2. qϕ1, ϕ2©O¥V1, V2Ç5CÜ. ½¬VÇ5CÜϕ: ϕ(α1 +α2) = 2ϕ1(α1)−3ϕ2(α2),∀α1 ∈ V1,α2 ∈ V2. (1) ½¬detϕèϕ3V?øƒe› 1™. `²T½¬‹n5. (2) edimV1 = n1, dimV2 = n2, detϕ1 = d1, detϕ2 = d2, ¶detϕ. y² (1) d½¬¥‹n. œèÇ5CÜ3ÿ”ƒe› Éq, Éq› 1™É ”. (2) (19?Hŧ, ¤QÕ, ¢f, 9#, ùÖ, 'º, ©¶; 19I⁄oW, o‰T, § 2², ‹ÕZ; 18=;íf• ) œèV = V1 LV2, §±åξ1,ξ2,··· ,ξn1¥V1òáƒ; ξn1+1,ξn1+2,··· ,ξn¥V2ƒ. ϕ1(ξ1,ξ2,··· ,ξn1 ) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn1 )A1, ϕ2(ξn1+1,ξn1+2,··· ,ξn) = (ξn1+1,ξn1+2,··· ,ξn)A2, dÆϕ(α1+α2) = 2ϕ1(α1)−3ϕ2(α2),∀α1 ∈V1,α2 ∈V2, åϕ3 ƒξ1,ξ2,··· ,ξne› è 2A1 −3A2 ! , detϕ = det(2A1)det(−3A2) = 2 n1 (−3) n2 d1d2. ~ÑÜÿ 2A1 −3A2 = −6d1d2. 1™éÜ, Aè2 n1 (−3) n2 d1d2. N\K (10©) f¥F n×nFÇ5N. y²: eÈ?øA,B ∈ F n×n , f(AB) = f(BA), K3λ ∈ F, ¶ È?øA ∈ F n×n , f(A) = λtrA, Ÿ•trA¥› A,, =A§kÈ⁄. y² {ò (19?³ç, X¶, ükj; 19I⁄«L‡; 18=;í"–", 4Ùð, ©d) œEi j,i, j = 1,2,··· ,n¥F n×nòáƒ, f¥F n×nFÇ5N, œdåf(Ei j) = fi j. ƒk, È ?øj 6= k, Ei jEki = 0, fÇ5, ÖÆf(AB) = f(BA), §±fk j = f(Ek j) = f(EkiEi j) = f(Ei jEki) = f(0) = 0. Ÿg, È?ø2 ≤ i ≤ n, fii = f(Ei1E1i) = f(E1iEi1) = f(E11) = f11, f11 = λ. Å , œfÇ5, §±È?øA ∈ F n×n , A = ∑ n i, j=1 ai jEi j, f(A) = f(∑ n i, j=1 ai jEi j) = ∑ n i, j=1 ai j f(Ei j) = ∑ n i=1 aii f11 = λtrA. { (19?~ ) Ei jL´ƒ:› , E(i, j)L´– CÜ(pÜCÜ). œèE(i, j)Ei j = Ej j, Ei jE(i, j) = Eii, f(AB) = f(BA), §±f(Eii) = f(Ej j). Ÿ{”{ò. {n (18=;íùY‹) kA = Ei j, B = Eji, 1 ≤ i, j ≤ n, f(AB) = f(BA), f(Eii) = f(Ej j), §±f(Eii) = λ. eyf(Ei j) = 0, i 6= j. A = Ei j, B = Ej j +2Eii, i 6= j, KAB = Ei j, BA = 2Ei j, dfÇ5, f(Ei j) = 0. Ÿ{”{ò. {o (18=;í˘º%) œèÈj 6= 1, E11 = E11(E11 +E1 j), E11 +E1 j = (E11 +E1 j)E11, fÇ 5Öf(AB) = f(BA), §±f(E1 j) = 0. ”nåf(Ei j) = 0. Ÿ{”{ò. ~ÑÜÿ df(A) = λtrA, f(AB) = f(BA). œJò. 17ê, 7ê