判断题、选择题、填空题练习(多项式部分) 填空 (1)f(x)=x3-10x+5,则f(x)在有理数域上(可约,不可约)f(x)在实 数域上有 个根 (2)已知x3+px2+qx+r=0的三个根是x1,x2,x3,求一个三次方程使其根为 r2,n2,n2 (3)f(x)=x4-x3-4x2+4x+1,g(x)=x2-x-1,则存在u(xr) d(a)=-, i d(r)=f(a)u(a)+g(a)u(r) (3)当整数 时,多项式 x2+ax-2有有理根 (4)多项式x4-4x3+2x2+20x+3有一根3+2,则其余根 (5)以√2+√3为根的有理系数不可约多项式 (6)已知f( 4x3+10x2+12x+9有重根,则(f(x),f(x) 的所有根是 7)f(x)=x4+p(x)+q,则f(x)的判别式 8)设∫(x)=a3x3+a2x2+a1x+ao,则f(x)被x-c除所得的商式为 余式为 (9)当l与m满足时,x2+mx+1x3+lx2+5x+2 (10)将f(x)=2x5+5x4-2x3+2x2-4x-3表示成x-3的方幂的和 (1)求一个2次多项式,使它在x=0,号,Ⅱ处与函数sinx有相同的值 (12)多项式x3+px+q有重根的条件 (13)f(x)=2x5+5x4-2x3+2x2-4x-3,在实数域上的标准分解_在复 数域的标准分解 (14)设g(x)=x2-4x+a,且存在唯一一个首一的3次多项式f(x),使得 g(x)f(x),且f(x)|g2(x),则a f(x)= (15)若多项式x3+52-2x+1三根a1,a2,a3,则a1+a2+a3 (16)用初等多项式表示对称多项式(x1+x2)(x1+r3)(x2+x3) (17)四元对称多项式1+m2+3+m4表为初等对称多项式a1,02,03的多项 式为
✁✂✄☎✆✂✄✝✞✂✟✠ (✡☛☞✌✍) ✎✏✝✞✏ (1)f(x) = x 3 − 10x + 5, ✑ f(x) ✒✓✔✕✖✗ (✘✙✚✛ ✘✙),f(x) ✒✜ ✕✖✗✓ ✢✣✏ (2) ✤ ✥ x 3 + px2 + qx + r = 0 ✦✧✢✣★ x1, x2, x3, ✩✎✢✧✪✫✬✭✮✣✯ x 2 1 , x2 2 , x2 3 . (3)f(x) = x 4−x 3−4x 2+4x+1, g(x) = x 2−x−1, ✑✰✒ u(x) = ,v(x)= , d(x) = , ✭ d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x). (3) ✱✲✕ a = ✳✚✡☛☞ x 3 − 1 2 x 2 + ax − 2 ✓✓✔✣✏ (4) ✡☛☞ x 4 − 4x 3 + 2x 2 + 20x + 3 ✓✎✣ 3 + 2i, ✑✮✴✣ . (5) ✵ √ 2 + √ 3 ✯✣✦✓✔✶✕✛ ✘✙✡☛☞ . (6) ✤ ✥ f(x) = x 4 + 4x 3 + 10x 2 + 12x+ 9 ✓✷✣✚✑ (f(x), f0 (x)) = , f(x) ✦✸✓✣★ . (7)f(x) = x 4 + p(x) + q, ✑ f(x) ✦ ✹☞ . (8) ✺ f(x) = a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0, ✑ f(x) ✻ x − c ✼✸✽✦✾☞✯ , ✴☞✯ . (9) ✱ l ✿ m ❀❁ ✳✚ x 2 + mx + 1|x 3 + lx2 + 5x + 2. (10) ❂ f(x) = 2x 5 + 5x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 4x − 3 ❃❄❅ x − 3 ✦✫❆✦❇ . (11) ✩✎✢ 2 ✪✡☛☞✚✭❈✒ x = 0, Π 2 , Π ❉✿❊✕ sin x ✓❋●✦❍ . (12) ✡☛☞ x 3 + px + q ✓✷✣✦■❏ . (13)f(x) = 2x 5 + 5x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 4x − 3, ✒✜✕✖✗✦❑▲✍▼ ; ✒◆ ✕✖✦❑▲✍▼ . (14) ✺ g(x) = x 2 − 4x + a, ❖✰✒P✎✎✢◗✎✦ 3 ✪✡☛☞ f(x), ✭✽ g(x)|f(x), ❖ f(x)|g 2 (x), ✑ a = , f(x) = . (15) ❘✡☛☞ x 3 + 5x 2 − 2x + 1 ✧✣ α1, α2, α3, ✑ α 3 1 + α 3 2 + α 3 3 = . (16) ❙❚❯✡☛☞❃❄❱❲✡☛☞ (x1 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3) = . (17) ❳ ❨ ❱❲✡☛☞ x 3 1 + x 3 2 + x 2 3 + x 3 4 ❃✯❚❯❱❲✡☛☞ σ1, σ2, σ3 ✦✡☛ ☞✯ . 1
为(8)x5+x4-3+2n2-x-2的有理根是在有理数域上的标准分解式 (19)设∫(x) 1,g(x) 2x+1,则存在u(x)= ,(x)= 使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x) 20)中国剩余定理:设{f(x)1≤i≤m}是 的多项式,a1,a2,……,am 是m个数,则存在多项式f(x),使得 (21)以√2+i为根的次数最小的有理系数多项式是 22)已知实系数多项式x3+px+q有一个虚根3+2i,则其余两个根是 23)关于整系数多项式不可约性的 Eisenstein判别法是 选择 (1)下列命题中正确的有个 ()p(x),f(x)∈K[Ⅺ],p(x)是不可约多项式,则p(x)|f(x)←→p(x)与f(x)在 C上有公共根 (ID)(∫(x),g(x)=1←→∫(x),g(x)无公共根 (II)f(x)是三次有理多项式,则f(x)在有理数域上不可约 (IV)如果(/(x),f"(x)=1,则∫(x)的重因式是2重因式 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)下列命题中错误的有 个 (D)若f(x)=af(x)+bg(x),f2(x)=cf(x)+d(x),则(f(x),g(x)=(f1(x),91(x) (I)若f(x)≠0,9(x)≠0,f(x)p(x)+g(x)q(x)=(f(x),9(x),则(p(x),q(x) (II)若(f(x)9(x),h(x)=1,则(f(x),h(x)=1,(g(x),h(x)=1 (IV)若f(x)!g(x)h(x)且f(x)|g(x),则(f(x),h(x)=1 A.1 B.2 C.3 D.4 (3)如果实系数多项式f(x)=a0mn+a1xn-1+…+an-1x+a0系数满足 aoa10 D.<0 (4)已知a是f(x)与f(x)(-1)的根,但不是f(x))的根,则a A.是f(x)的k重根.B.是f(x)的单根.C.不是f(x)根 未
(18)x 5 + x 4 − x 3 + 2x 2 − x − 2 ✦✓✔✣★ , ✒✓✔✕✖✗✦❑▲✍▼☞ ✯ . (19) ✺ f(x) = x 4 − x 3 − x 2 + 2x − 1, g(x) = x 2 − 2x + 1, ✑✰✒ u(x) = ,v(x) = , ✭✽ u(x)f(x) + v(x)g(x) = (f(x), g(x)). (20) ❩❬❭ ✴❪✔❫✺ {fi(x)|1 ≤ i ≤ m} ★ ✦✡☛☞✚ a1, a2, · · · , am ★ m ✢✕✚✑✰✒✡☛☞ f(x), ✭✽ . (21) ✵ √ 2 + i ✯✣✦✪✕❴❵✦✓✔✶✕✡☛☞★ . (22) ✤ ✥ ✜✶✕✡☛☞ x 3 + px + q ✓✎✢❛✣ 3 + 2i, ✑✮✴❜✢✣★ . (23) ❝❞✲✶✕✡☛☞✛ ✘✙❡✦ Eisenstein ✹❢★ . ❣✏☎✆✏ (1) ❤✐❥✂ ❩ ❦❧✦✓ ✢✏ (I)p(x), f(x) ∈ K[X], p(x) ★ ✛ ✘✙✡☛☞✚✑ p(x)|f(x) ⇐⇒ p(x) ✿ f(x) ✒ C ✗✓♠♥✣✏ (II)(f(x), g(x)) = 1 ⇐⇒ f(x), g(x) ♦♠♥✣✏ (III)f(x) ★✧✪✓✔✡☛☞✚✑ f(x) ✒✓✔✕✖✗✛ ✘✙✏ (IV ) ♣q (f 0 (x), f00(x)) = 1, ✑ f(x) ✦✷r☞★ 2 ✷r☞✏ A.1 B.2 C.3 D.4 (2) ❤✐❥✂ ❩ st✦✓ ✢✏ (I) ❘ f1(x) = af(x)+bg(x), f2(x) = cf(x)+dg(x), ✑ (f(x), g(x)) = (f1(x), g1(x)). (II) ❘ f(x) 6= 0, g(x) 6= 0, f(x)p(x)+g(x)q(x) = (f(x), g(x)), ✑ (p(x), q(x)) = 1. (III) ❘ (f(x)g(x), h(x)) = 1, ✑ (f(x), h(x)) = 1,(g(x), h(x)) = 1. (IV ) ❘ f(x)|g(x)h(x) ❖ f(x)|g(x), ✑ (f(x), h(x)) = 1. A.1 B.2 C.3 D.4 (3) ♣q✜✶✕✡☛☞ f(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + a0 ✶✕❀❁ a0a1 0 B.> 0 C.= 0 D.≤ 0 (4) ✤ ✥ α ★ f(x) ✿ f(x) (k−1) ✦✣✚✉✛ ★ f(x) (k) ✦✣✚✑ α . A. ★ f(x) ✦ k ✷✣✏ B. ★ f(x) ✦✈✣✏ C. ✛ ★ f(x) ✣✏ D. ✇ 2
必是f(x)的k重根 三.判定题(若命题成立,给出证明;若命题不成立,给出反例)(24分,每题6 (1)设∫(x)g(x)h(x),则或∫(x)g(x),或f(x)h(x) (2)设∫(x)和g(x)是实数域上的多项式且∫(x)和g(x)在复数域上无公共根, 则(f(x),g(x)=1 (3)设∫(x)是有理数域上的多项式,则f(x)在有理数域上无重因式当且仅当 f9x)在复数域上无重根 (4)设不可约多项式p(x)是f(x)的因式,则p(x)是f(x)的重因式
① ★ f(x) ✦ k ✷✣✏ ✧✏ ❪ ✂ (❘❥✂ ❅②✚③④⑤⑥⑦❘❥✂✛ ❅②✚③④⑧⑨)(24 ✍✚⑩✂ 6 ✍). (1) ✺ f(x)|g(x)h(x), ✑❶ f(x)|g(x), ❶ f(x)|h(x). (2) ✺ f(x) ❇ g(x) ★✜✕✖✗✦✡☛☞❖ f(x) ❇ g(x) ✒◆✕✖✗♦♠♥✣✚ ✑ (f(x), g(x)) = 1. (3) ✺ f(x) ★✓✔✕✖✗✦✡☛☞✚✑ f(x) ✒✓✔✕✖✗♦✷r☞✱❖❷✱ f9x) ✒◆✕✖✗♦✷✣✏ (4) ✺ ✛ ✘✙✡☛☞ p(x) ★ f 0 (x) ✦r☞✚✑ p(x) ★ f(x) ✦✷r☞✏ 3