西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第十一章 欧几里得空间

习题11.1解答 1设Ⅴ是一个欧几里得空间,{a,2,…,an}是Ⅴ的一个基.证明:如果β∈V,(a,β= 证将β表示为 阝=ka+k2a2+.+knn 则(B,β=(k1+k2a2+…+knan,B)=(ka1,)+(k2a2,B)+.+( kan,B)=0 所以β=0 5-1 2在R2中,规定内积(a,B)=βBa,其中B 13)则R关于此内积是一个欧几里得 空间.设ξ ①求(,n),|l叫以及.②写出(2,n)n的 Schwarz不 2 等式的具体形式 解①(,n)=Bn=(12) 63 lnl=√(7,n)g= l|lV,5)2 = arccos (s ma=arccos ②根据(;m)2≤√5,5)√m,n),(,n)的 Schwarz不等式的具体形式为 ,2 人2 13人-1 3证明:2(a,B)=1|a+B|2-||2-|la|1(这说明,如果两个内积所定义的长度相同,则这 两个内积相等) 证右边=|a+B|12|112-a|1=(a+B,a+B)-(B.B)-(a,a) (a,a)+(β,B)+2(a,)-(β.B)-(,a)=2(a,B)=左边 4.证明:(1)(极化公式)4(a,B)=|la+|1-1|a-B (2)(平行四边形公式)||a+p2+|lB|1=2|l2+2|||12 证(1)右边=(a+B,a+B)-(aB,a-B =(a,a)+(B,B)+2(a,)-(a,a)-(B,B)+2(a,) 4(aβ)=左边

习题 11.1 解答 1.设 V 是一个欧几里得空间，{α1，α2，...，αn}是 V 的一个基．证明：如果β∈V，(αj, β)=0， j=1,2,...,n，则β=0． 证 将β表示为 β=k1α1+k2α2+...+knαn 则(β, β)=(k1α1+k2α2+...+knαn, β)=(k1α1, β)+ (k2α2, β)+...+(knαn, β)=0 所以β=0． 2.在 R 2中，规定内积 (α, β)= β TBα，其中 B=        1 3 5 1 ，则 R 2关于此内积是一个欧几里得 空间．设ξ=       2 1 ，η=      1 4 ．①求(ξ，η)B，||η||以及．②写出(ξ，η)B的 Schwarz 不 等式的具体形式． 解 ①(ξ，η)B=ξ TBη= 1 2        1 3 5 1      1 4 = 3 5      1 4 =7 ||η||=                  1 4 1 3 5 1 ( , ) 4 1   B = 91 ||ξ||=                 2 1 1 3 5 1 ( , ) 1,2   B = 13 13 91 7 arccos ( , )  ,  arccos        B ②根据  B B B ,  (, ) (,) ， (ξ，η)B的 Schwarz 不等式的具体形式为 1 2        1 3 5 1      1 4 ≤              2 1 1 3 5 1 (1,2)               1 4 1 3 5 1 (4, 1) 3.证明：2(α, β)=||α+β|| 2-||β|| 2-||α|| 2（这说明，如果两个内积所定义的长度相同，则这 两个内积相等）． 证 右边=||α+β|| 2-||β|| 2-||α|| 2=(α+β, α+β)-(β,β)-(α, α) =(α, α)+(β, β)+2(α,β)-(β,β)-(α, α)= 2(α,β)=左边 4.证明：(1)(极化公式) 4(α, β)=||α+β|| 2-||α-β|| 2 （2）（平行四边形公式）||α+β|| 2+||α-β|| 2=2||α|| 2+2||β|| 2 证 （1）右边=(α+β, α+β)-(α-β, α-β) =(α, α)+(β, β)+2(α,β)-(α, α)-(β,β)+2(α,β) = 4(α,β)=左边

(2)左边=(+B,a+B)+(a-B,a-B)=(a,a)+(B,B)+2(a,B)+(a,a)+(B,B)-2(a,B) 2|la|2+2||p|12 设A∈ Mat(R).证明:①齐次线性方程组AAX=0与AX=0同解.②rank(AA)=rank(A) 证①若X是AX=0的解,代入AAX=0中显然成立;反之,若X是AAX=0的解,两边左 乘X得 XAAX=O 即(AX,AX)=(AX)(AX)=0 所以AX=0 ②齐次线性方程组AAX=0与AX=0同解,解空间的维数相同,所以系数矩阵的秩相同, 即rank(AA)=rank(A) 8.设V是一个欧几里得空间,(Ⅱ):{a,a2,…,an},(Ⅲ:{1,β2,…,βn}是V的两个 基.设V的内积(,)在基(Ⅱ)、(Ⅲ下的度量矩阵分别是B,H,由基(I)到基(Ⅲ)的过渡矩 阵是C.证明:H=CBC 提示:利用分块矩阵.设C的第j列为C,则CBC的第i行第j列是CBC3,而G3是在基(Ⅱ 下的坐标 证由已知有(B1,B2,…,m)=(a,a2,…,au)C,设C的第j列为C,则C3是β在基(Ⅲ) 下的坐标 (B,)=(a,a2,…,am)C,(a1,a2,…,an)C3)=CBC1 BC的第i行第j列是CBC,所以H=CBC 9.设V是一个欧几里得空间.证明:存在V的一个基(Ⅲ),使得V的内积(,)在(Ⅲ)下 的度量矩阵是En(提示:任意取V的一个基(Ⅱ):{a1,a2,…,an},设在基(Ⅱ)下的度 量矩阵是B,B是正定的.利用第六章6.5.2’的结论,证明存在可逆矩阵C,使得B=CC.再 令(β,β,…,n)=(a1,a2,…,an)C,取(Ⅲ):1B1,B2,…,β}) 证任意取V的一个基(Ⅲ):{a1,a2,…,an},设在基(Ⅱ)下的度量矩阵是B,B是 正定的.利用第六章6.5.2’的结论知存在可逆矩阵C,使得B=CC.从而 (C )BC=E 再令(B,B2,…,Bn)=(a,a2,…,a)C,则(B1,B2,…,Bn}是V的一个基,取基(Ⅲ):{B1, β2,…,βn},设(,)在基(Ⅲ)下的度量矩阵为H,则根据第8题得 习题11.2解答 1.设1= 2122 4}设ws四mp,p,B,求 解记矩阵A(21-2-2,则W是齐次线性方程组AX=0的解空间 1-1-4-3

（2）左边=(α+β, α+β)+(α-β, α-β)=(α, α)+(β, β)+2(α,β)+(α, α)+(β,β)-2(α,β) =2||α|| 2+2||β|| 2 5.设 A∈Matn×n(R)．证明：①齐次线性方程组 A TAX=0 与 AX=0 同解．②rank(A TA)=rank(A)． 证 ①若 X 是 AX=0 的解，代入 A TAX=0 中显然成立；反之，若 X 是 A TAX=0 的解，两边左 乘 X T得 X TA TAX=0 即 (AX,AX)=(AX) T(AX)=0 所以 AX=0 ②齐次线性方程组 A TAX=0 与 AX=0 同解，解空间的维数相同，所以系数矩阵的秩相同， 即 rank(A TA)=rank(A)． 8.设 V 是一个欧几里得空间，(Ⅱ):{α1，α2，...，αn}，(Ⅲ)：{β1，β2，...，βn}是 V 的两个 基．设 V 的内积(,)在基(Ⅱ)、(Ⅲ)下的度量矩阵分别是 B，H，由基(Ⅱ)到基(Ⅲ)的过渡矩 阵是 C．证明：H=C TBC． 提示：利用分块矩阵．设 C 的第 j 列为 Cj,则 C TBC 的第 i 行第 j 列是 Ci TBCj，而 Cj是βj在基(Ⅱ) 下的坐标． 证 由已知有(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C, 设 C 的第 j 列为 Cj,则 Cj是βj在基(Ⅱ) 下的坐标． (βi,βj)=((α1，α2，...，αn)Ci ,(α1，α2，...，αn)Cj)=Ci TBCj C TBC 的第 i 行第 j 列是 Ci TBCj，所以 H=C TBC． 9. 设 V 是一个欧几里得空间．证明：存在 V 的一个基（Ⅲ），使得 V 的内积(,)在（Ⅲ）下 的度量矩阵是 En（提示：任意取 V 的一个基（Ⅱ）：{α1，α2，...，αn}，设在基（Ⅱ）下的度 量矩阵是 B，B 是正定的．利用第六章 6.5.2’的结论，证明存在可逆矩阵 C，使得 B=C TC．再 令(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C,取（Ⅲ）：{β1，β2，...，βn}）． 证 任意取 V 的一个基（Ⅱ）：{α1，α2，...，αn}，设在基（Ⅱ）下的度量矩阵是 B，B 是 正定的．利用第六章 6.5.2’的结论知存在可逆矩阵 C，使得 B=C TC．从而 (C -1) TBC -1=E 再令(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C -1,则{β1，β2，...，βn}是 V 的一个基，取基（Ⅲ）：{β1， β2，...，βn}，设（，）在基（Ⅲ）下的度量矩阵为 H，则根据第 8 题得 H=(C -1) TBC -1=E 习题 11.2 解答 1.设β1=       1 2 2 1 ，β2=        2 2 1 2 ，β3=          3 4 1 1 ，设 W=Span(β1，β2，β3)．求 W ┴． 解 记矩阵 A=            1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 ,则 W ┴是齐次线性方程组 AX=0 的解空间．

1221)(1221 因为A=2 1-1-4-3)0-3-6-4)0000 AX=0的一个基础解系为= 所以W=Span(2,2 2.在C[0,2π]中,证明:对任意正整数n,集合 Icos(jx), sin (jx)Ij=1, 2, .. n 是一个正交向量组 证定义C[0,2x]中的内积为在[0,2]上的积分,则有 cos(mx)cos(nx)dr='rI cos(mx+nx)+cos(mx-nx)fx 0(m≠n) 广sn(mmt1m+m)mg-m)p 0(m≠n) 丌(m=n) sin(mx)cos(nx dx=l [sin( mx+mx)+sin(mx-nux)bx=0 所以集合 Icos(jx), sin(jx)Ij=1, 2, .. nh 是一个正交向量组 3用施密特正交化的方法,将B=1 3标准正交化 解正交化得a=B=11 (B2,a1) 1:6 -(Ba)a71、2 0 (a1,a1)(a2,a2)

因为 A=            1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 →             0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 →          0 0 0 0 0 3 6 4 1 2 2 1 AX=0 的一个基础解系为ξ1=       0 1 2 2 ，ξ2=       3 0 4 5 所以 W ┴=Span(ξ1, ξ2)． 2.在 C 0[0,2π]中，证明：对任意正整数 n，集合 {cos(jx),sin(jx)|j=1,2,...,n} 是一个正交向量组． 证 定义 C 0[0,2π]中的内积为在[0,2π]上的积分，则有               ( ) 0 ( ) cos( ) cos( ) 2 1 cos( ) cos( ) 2 0 2 0 m n m n mx nx dx mx nx mx nx dx                   ( ) 0 ( ) cos( ) cos( ) 2 1 sin( )sin( ) 2 0 2 0 m n m n mx nx dx mx nx mx nx dx    sin( ) sin( ) 0 2 1 sin( ) cos( ) 2 0 2 0        mx nx dx mx nx mx nx dx   所以集合 {cos(jx),sin(jx)|j=1,2,...,n} 是一个正交向量组． 3.用施密特正交化的方法，将β1=       1 1 1 ，β2=       3 2 1 ，β3=       9 3 1 标准正交化． 解 正交化得 α1= β1=       1 1 1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       3 2 1        1 1 1 3 6 =       1 0 1 α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =       9 3 1        1 1 1 3 13        1 0 1 2 8 =         2 4 22 3 1

单位化得n=ma1 0 4.在C[-1,1中,求Span(,x2)的一个标准正交基 解记(1,β2,β3}={ 正交化得a1=β Lxx 2 0=x 3 (a,a)a/4中、人,[xh (B3,a1)(B3,a2) Lxx 单位化得n:=1 2V2 5.设a1=--2,求一个3×3正交矩阵P,使P的第1列是a1

单位化得 η1= 1 1 1   =       1 1 1 3 1 η2= 2 2 1   =       1 0 1 2 1 η3= 3 3 1   =         1 2 11 3 14 1 4. 在 C 0[-1,1]中，求 Span(1,x,x 2)的一个标准正交基． 解 记{β1，β2，β3}={1,x,x 2} 正交化得 α1= β1=1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =x x x dx xdx         1 0 1 1 1 1 1 1 α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =x 2 1 1 1 1 1 1 1 2      dx x dx x x dx x dx      1 1 2 1 1 3 1 = x 2 1 1 1 1 1 1 1 2      dx x dx -0= 3 2 1 x  单位化得η1= 1 1 1   = 2 1 η2= 2 2 1   = x 2 3 η3= 3 3 1   =        3 1 8 45 2 x = 2 5 2 1 2 5 2 3 2 x  5.设α1=       2 2 1 3 1 ，求一个 3×3 正交矩阵 P，使 P 的第 1 列是α1．

解方程组(-22)x2 得B2=0,B=1 a2=p2 2/ (B3,a2) 阝3 0 1)(4/5 a2= 令P=(a,n2,n3) 则P是正交矩阵,且α1作为其第一列. 6.求Span(β1,B2,β)的一个标准正交基,其中 0 0 解a== B2,a1) 02- 0 2

解方程组                0 0 0 1 2 2 3 2 1 x x x 得        1 0 2  2 ，        0 1 2  3 ， α2= β2 α3= β3 2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =               1 0 2 5 4 0 1 2 =       4 / 5 1 2 / 5 η2= 2 2 1   =       1 0 2 5 1 η3= 3 3 1   =       4 5 2 3 5 1 令 P=(α1, η2, η3) 则 P 是正交矩阵，且α1作为其第一列． 6.求 Span(β1，β2，β3) 的一个标准正交基，其中 β1=       1 1 0 1 ，β2=       1 0 1 1 ，β3=       0 1 1 1 解α1= β1=       1 1 0 1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       1 0 1 1        1 1 0 1 3 2        1 2 3 1 3 1

(B3,a1)(B3,a2) 2|0 3-1152 0 7.求习题1.3的第3题②的解空间的一个标准正交基 习题13的第3题②的解空间的一个基为 β 0 0 0 0 (a1,a1) 0 0

α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =       0 1 1 1         1 1 0 1 3 2          1 2 3 1 15 2 η1= 1 1 1   =       1 1 0 1 3 1 η2= 2 2 1   =       1 2 3 1 15 1 η3= 3 3 1   =       4 3 3 1 35 1 7．求习题 1.3 的第 3 题②的解空间的一个标准正交基． 习题 1.3 的第 3 题②的解空间的一个基为 β1 =       0 0 1 2 ，β2 =       1 0 0 1 α1=β1=       0 0 1 2 α2=β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       1 0 0 1         0 0 1 2 5 2 =       5 0 2 1 5 1 η1= 1 1 1   =       0 0 1 2 5 1

8A∈ Matron(F).证明:如果A是可逆矩阵,则存在一个上三角形矩阵B与一个正交矩阵P 使得A=BP(这个结论对任何实矩阵都成立,A分解成上三角矩阵与正交矩阵的积,叫做A 的QR分解,QR分解的应用很广泛.) 提示:利用定理11.2.6的推论后的注 证记A=(a1,a2…,a),其中④是A的第j列,如果A是可逆的,则{a1,a2y,an}线性 无关从{a1,a2,,a}出发,利用施密特正交化方法得到F的标准正交基β1,B2,Bn},注意 首先利用an,求出B,然后利用n,anl,求出β1,.,最后利用an,an,a,求出β1,根 据施密特正交化方法的过程知{a1,a2,,an}可表示成 k1:0 0) 0 (al, a2,, an)=(B1, B2,.Bn) kn(B 上式两边转置得A= knoB 即A=BR,其中B是一个上三角形矩阵,P是一个正交矩阵 9.设W,W2是欧几里得空间V的子空间.证明: ①(W+W2)=W∩W ②(W1∩W2)=W+W2 证①对任意a∈(W+W2) 对任意B1∈W,有(β1+0)∈W+W2, 所以a⊥(1+0),即a⊥B1, 由B1的任意性知a⊥W1,即a∈W 同理可证a∈W2 故α∈W∩W2=右边 反之,对任意a∈W∩W2,即a∈W,a∈W, 对任意β=1+2∈W+W,其中B1∈W,B2∈W2 有a⊥(β+B2) 所以a∈(W1+W)=右边 ②将W看作①中的W,将W看作①中的W,两边取正交补得② 10.设(Ⅱ):{n,n2…,nn}是欧几里得空间的一个标准正交基,又B∈V.证明: ①B=∑(B,n,m ②(B,5)=∑(B,)0,5)

η2= 2 2 1   =       5 0 2 1 30 1 8.A∈Matn×n(F)．证明：如果 A 是可逆矩阵，则存在一个上三角形矩阵 B 与一个正交矩阵 P， 使得 A=BP（这个结论对任何实矩阵都成立，A 分解成上三角矩阵与正交矩阵的积，叫做 A 的 QR 分解，QR 分解的应用很广泛．）． 提示：利用定理 11.2.6 的推论后的注 证 记 A T=(α1, α2,..., αn)，其中αj 是 A T的第 j 列，如果 A 是可逆的，则{α1, α2,..., αn}线性 无关．从{α1, α2,..., αn}出发，利用施密特正交化方法得到 F n的标准正交基{β1,β2,...,βn}，注意 首先利用αn，求出βn，然后利用αn，αn-1，求出βn-1，...，最后利用αn，αn-1，α1，求出β1，根 据施密特正交化方法的过程知{α1, α2,..., αn}可表示成 (α1, α2,..., αn)=(β1,β2,...,βn)       n n nn k k k k k k       1 2 21 22 11 0 0 0 上式两边转置得 A=       T nT T     2 1 =       nn n n k k k k k k       0 0 0 22 2 11 21 1       T nT T     2 1 即 AT=BR，其中 B 是一个上三角形矩阵，P 是一个正交矩阵． 9.设 W1，W2是欧几里得空间 V 的子空间．证明： ① (W1+W2) T= W1 T∩W2 T ② (W1∩W2) T= W1 T+ W2 T 证 ①对任意α∈(W1+W2) T， 对任意β1∈W1，有(β1+0)∈W1+W2, 所以α⊥(β1+0)，即α⊥β1， 由β1的任意性知α⊥W1，即α∈W1 T． 同理可证α∈W2 T． 故α∈W1 T∩W2 T =右边 反之，对任意α∈W1 T∩W2 T，即α∈W1 T，α∈W2 T， 对任意β=β1+β2∈W1+W2，其中β1∈W1，β2∈W2， 有α⊥(β1+β2) 所以α∈(W1+W2) T =右边． ② 将 W1 T看作①中的 W1，将 W2 T看作①中的 W2，两边取正交补得②． 10.设（Ⅱ）：{η1, η2,..., ηn}是欧几里得空间 V 的一个标准正交基，又β,ξ∈V．证明： ① j n j     j    1 ( , ) ②( , ) ( , )( , ) 1      j  n j  j  

式子中的{(B,n)|=12,,n}称为β关于(Ⅱ)的傅立叶( fourier)系数 证①将β用标准正交基{n1,n2…,nn}线性表示为 β=kn+k2n2+.+knl 上式两端分别与n做内积,j=1,2,,n,得 (B.n)=k(,n)=k 所以B=∑(B,mm ②利用①,根据内积的线性性质得(B,5)=∑(,,)25) 11.设(Ⅲ):{n,n2,,nm}是欧几里得空间V的一个标准正交基,又∈V.证明:贝塞尔Bese 不等式 ∑(5,n,)2≤k 其中等号成立的充要条件是∈Span(n,n2,,np) 解将ξ用基{η,n2…,n}表示成 kIn1+k2 n2+... +knnn 则∑(5,n)2=∑(k+k型2+…+knn,)=∑欧,)=∑k =(kn+kn2+…+kn,kn+kn2+…+kn,)=∑[k(1,)=∑k 所以∑(5,m1)2≤H 只有当∈Span(n,n2,n3)时 O,)=∑k 即等号成立 习题11.3解答 1.设V是一个欧几里得空间,设(Ⅱ):{n,n2,,nn}是V的一个标准正交基,设o是V的 个线性变换,证明:如果σ在(Ⅱ)下的矩阵是实对称矩阵,则σ是V的一个对称变换 证设o(m,n2…,n)=(n,n2,,nm)A 其中A是对称矩阵,对任意a,β∈V,用基表示成为 a=(n1,n2…,n B=(n1, n2,,nn)L d(a(n1, n2,, nn)AK G(B)=(n1,n2…,n)AL

式子中的{(β,ηj) |j=1,2,...,n}称为β关于（Ⅱ）的傅立叶（fourier）系数． 证 ①将β用标准正交基{η1, η2,..., ηn}线性表示为 β=k1η1+ k2η2+...+ knηn 上式两端分别与ηj做内积，j=1,2,...,n，得 (β,ηj)= kj(ηj, ηj)= kj (j=1,2,...,n) 所以 j n j     j    1 ( , ) ②利用①，根据内积的线性性质得( , ) ( , )( , ) 1      j  n j  j   11.设（Ⅱ）：{η1, η2,..., ηn}是欧几里得空间 V 的一个标准正交基，又,ξ∈V．证明：贝塞尔(Bessel) 不等式： 2 1 2 (, )    s j j 其中等号成立的充要条件是ξ∈Span(η1, η2,..., ηs)． 解 将ξ用基{η1, η2,..., ηn}表示成 ξ=k1η1+k2 η2+...+knηn 则               s j j s j j j j s j n n j s j j k k k k k 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 (, ) (   ...  , ) [ ( , )]                n j j n j n n n n j j j k k k k k k k k 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2    ...  ,   ...  [ ( , )] 所以 2 1 2 (, )    s j j 只有当ξ∈Span(η1, η2,..., ηs)时       s j j s j j j j k k 1 2 1 2 2  [ ( , )] 即等号成立． 习题 11.3 解答 1. 设 V 是一个欧几里得空间，设（Ⅱ）：{η1, η2,..., ηn}是 V 的一个标准正交基，设σ是 V 的 一个线性变换，证明：如果σ在（Ⅱ）下的矩阵是实对称矩阵，则σ是 V 的一个对称变换． 证 设σ(η1, η2,..., ηn)= (η1, η2,..., ηn)A 其中 A 是对称矩阵，对任意α，β∈V，用基表示成为 α= (η1, η2,..., ηn)K β= (η1, η2,..., ηn)L σ(α)= (η1, η2,..., ηn)AK σ(β)= (η1, η2,..., ηn)AL

由于{n,n2,nm}是V的一个标准正交基,内积(,)在其下的度量矩阵是E,所以 (o(a), BF(AK)L=KAL=KAL (a, o(B)K(AL)(o(a), B) 即G是V的一个对称变换 2.设Ⅴ是一个欧几里得空间,τ是V的一个反对称变换.证明:如果λ是τ的一个实特征值, 则入是0. 证如果λ是τ的一个实特征值,则有特征向量η≠0,使 从而(n,n)=(ann)=o(n,n) (n,n)=(n,n)=o(n,n) 由τ是V的一个反对称变换,得 入0(n,n)=o(n,n) 所以入=0 3.求正交矩阵P,使得PAP是对角矩阵 ①A=03 013 A-400 解①|AEA=02-3-1=0-2)0-4)2 0 解方程组(2E-A)X=0 200Yx 0 得ξ=1 解方程组(4E-A)X=0 00 000 000 得-0,=1 以上特征向量已经两两正交,令

由于{η1, η2,..., ηn}是 V 的一个标准正交基，内积（，）在其下的度量矩阵是 E，所以 (σ(α), β)=(AK)TL=KTATL=KTAL (α, σ(β))=KT (AL)= (σ(α), β) 即σ是 V 的一个对称变换． 2. 设 V 是一个欧几里得空间，τ是 V 的一个反对称变换．证明：如果λ0是τ的一个实特征值， 则λ0是 0． 证 如果λ0是τ的一个实特征值，则有特征向量η≠0，使 τη=λ0η 从而 (τη,η)=(λ0η,η)=λ0(η,η) (η, τη)=(η, λ0η)=λ0(η,η) 由τ是 V 的一个反对称变换，得 λ0(η,η)=- λ0(η,η) 所以λ0=0． 3.求正交矩阵 P，使得 P -1AP 是对角矩阵． ① A=       0 1 3 0 3 1 4 0 0 ②          2 4 5 2 5 4 2 2 2 解 ① |λE-A|= 0 1 3 0 3 1 4 0 0         =(λ-2)(λ-4) 2 解方程组(2E-A)X=0 即                         0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1 x x x 得 ξ1=      1 1 0 解方程组(4E-A)X=0 即                      0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1 x x x 得 ξ2=       0 0 1 ，ξ3=       1 1 0 以上特征向量已经两两正交，令

100 则矩阵P=(P,P2P3),则 PAP=0 4 0 004 A-2-22 ②1EAF-22-54=0-10)(-1)2 特征值为入1=10,2=1, 解线性方程组(10E-A)X=0,即 25 245 000 解线性方程组(1E-A)X=0,即 2-44 24-4八 0 得=-1,5=1 将ξ2,E3正交化得 (0 ,n: n2= (72, 0 单位化得

P1=      1 1 0 2 1 ，P2=       0 0 1 ，P3=       1 1 0 2 1 则矩阵 P=(P1,P2,P3),则 P -1AP=       0 0 4 0 4 0 2 0 0 ② |λE-A|= 2 4 5 2 5 4 2 2 2        =(λ-10)( λ-1) 2 特征值为λ1=10，λ2=1， 解线性方程组 (10E-A)X=0，即        2 4 5 2 5 4 8 2 2       3 2 1 x x x =       0 0 0 得 ξ1=       2 2 1 ， 解线性方程组 (1E-A)X=0，即            2 4 4 2 4 4 1 2 2       3 2 1 x x x =       0 0 0 得 ξ2=       0 1 2 ，ξ3=       1 1 0 将ξ2，ξ3正交化得 η2=ξ2=       0 1 2 η3=ξ3 2 2 2 3 2 ( , ) ( , )      =       1 1 0         0 1 2 5 1 =       5 4 2 5 1 单位化得