西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（试题与答案）高代（2）试卷1答案

本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分)在F中,求由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵,并且求 7=51-a2+a3在基(Ⅱ)下的坐标 (I):{a1=0a2=1a3=0 (Ⅱ1):{B1=2B2=4B3=0 0 解:由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 A=240n在基(Ⅱ)下的坐标为 356 0Y5 240 /21/40-1 356 1/12-5/241/61 1/24 、(12分)设V=Span(a1,a2),V2=Span(B,B2),求dm(V1+V2)与dm(V1∩v2) a1=(1,1,0,0),a2=(1,00,1) β1=(0,0,1,1),β2=(0,1,1,0) 解:因为 10010-1010-101 0110)(0011)(0000 所以dim(V1+V2)=3 显然a1,a2线性无关,B1,B2线性无关,所以dm(V)=2,dim(V2)=2,根据维数 定理知dmV1nv2)=2+2-3=1 第1页共5页

第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分）在 F 3中，求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，并且求 1 2 3   5   在基（Ⅱ）下的坐标． （Ⅰ）：                                0 0 1 , 0 1 0 , 1 0 0 1  2  3 （Ⅱ）：                                0 0 6 , 0 4 5 , 1 2 3 1  2  3 解：由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为        3 5 6 2 4 0 1 0 0 A η在基（Ⅱ）下的坐标为                                     1/ 24 11/ 4 5 1 1 5 1/12 5 / 24 1/ 6 1/ 2 1/ 4 0 1 0 0 1 1 5 3 5 6 2 4 0 1 0 0 1 二、（12 分）设 V1=Span(α1,α2)，V2=Span(β1,β2)，求 dim(V1+V2)与 dim(V1∩V2) α1=(1,1,0,0) , α2 =(1,0,0,1) β1=(0,0,1,1) , β2=(0,1,1,0) 解：因为                     0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 ~ 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 ~ 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 所以 dim(V1+V2)=3 显然α1,α2 线性无关，β1,β2 线性无关，所以 dim(V1)=2，dim(V2)=2，根据维数 定理知 dim(V1∩V2)=2+2-3=1

(10分)设0和τ都是3维线性空间V的线性变换,设(I):{B1,B2,B3} 是V的一个基,0和τ在(I)下的矩阵分别是 A=1-22,B=020 41-1 求复合变换τσ在(I)下的矩阵,并求τo(2βr-B2+5B3)在(I)下的坐标 解:复合变换τo在(I)下的矩阵为 200 002 44 4 1)(82-2 T0(2B1-B2+5B3)在(I)下的坐标为 41-15 四、(8分)设Ⅴ是一个实数域上的3维线性空间,τ是V上的线性变换.证明: τ一定有实特征值. 证:设{β1,β2,β3}是Ⅴ的一个基,则τ在该基下的矩阵是3阶方阵,τ的特 征多项|AE-A|是3次多项式,因为多项式的非实数根是成对出现的(共轭复根), 而3次多项式恰好有3个根,所以必有一个是实根,即τ一定有实特征值 五、(10分)设r是正整数,σ是线性空间上的线性变换,证明:如果ker(o- λoidy)≠{0},则λo是o的一个特征值. 证:设a∈ker(0-Aoid),且a≠0 则(0-xoid(a)=0,(0-loid)(a)=a≠0 设设s是使(0-oid)5(a)≠0的最小的自然数,记B=(0-koid)(a) 则(0-oid)(B)=(0-oid)+(a)=0 即(B)=A0B所以λo是σ的一个特征值 六、(12分)求矩阵A的若尔当标准形 A=3-16 第2页共5页

第 2 页 共 5 页 三、（10 分）设σ和τ都是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅰ)：{β1，β2，β3} 是 V 的一个基，σ和τ在(Ⅰ)下的矩阵分别是           4 1 1 1 2 2 0 3 1 A ，        0 0 2 0 2 0 2 0 0 B 求复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵，并求τσ(2β1-β2+5β3)在(Ⅰ)下的坐标． 解：复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵为                          8 2 2 2 4 4 0 6 2 4 1 1 1 2 2 0 3 1 0 0 2 0 2 0 2 0 0 τσ(2β1-β2+5β3)在(Ⅰ)下的坐标为                       4 28 16 5 1 2 4 1 1 1 2 2 0 3 1 2 四、（8 分）设 V 是一个实数域上的 3 维线性空间，τ是 V 上的线性变换．证明： τ一定有实特征值． 证：设{β1，β2，β3}是 V 的一个基，则τ在该基下的矩阵是 3 阶方阵，τ的特 征多项 |λE-A| 是 3 次多项式，因为多项式的非实数根是成对出现的（共轭复根）， 而 3 次多项式恰好有 3 个根，所以必有一个是实根，即τ一定有实特征值． 五、（10 分）设 r 是正整数，σ是线性空间 V 上的线性变换，证明：如果 ker((σ- λ0id) r )≠{0}，则λ0是σ的一个特征值． 证：设α∈ker((σ-λ0id) r )，且α≠0， 则 (σ-λ0id) r (α) =0，(σ-λ0id) 0 (α) =α≠0 设 设 s 是使(σ-λ0id) s (α) ≠0 的最小的自然数，记β=(σ-λ0id) s (α) 则 (σ-λ0id) (β) =(σ-λ0id) s+1 (α) =0 即 σ(β) =λ0β 所以λ0是σ的一个特征值． 六、（12 分）求矩阵 A 的若尔当标准形．          2 0 5 3 1 6 3 0 8 A

A-30-8 解:|E-A-32+1-6--32+1 0+5 00 0 0+1 0+1 3-2 (λ+1)~0A+10 A的初等因子组为{(x+1),(A+1)2},A的若尔当标准形为 七、(14分)设矩阵A为 122 A=212 试求正交矩阵P,将其化为对角形 解: 1E-4=-22 (+1)2(A-5) 2-2A A的全部特征值为λ1=5,2=-1 解齐次线性方程组(AE-A)X=0,得到它的一个基础解系n1= 进行单位化得月 第3页共5页

第 3 页 共 5 页 解：                            2 0 0 2 3 2 3 3 1 2 1 2 1 3 0 ~ 2 0 5 3 1 6 3 0 8 | | 2         E A                              2 2 2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0 ~ 0 0 2 1 ( 1) 2 3 0 1 1 0 0 ~ 2 0 0 2 3 2 3 0 1 2 1 2 1 0 0 ~           A 的初等因子组为{（λ+1），（λ+1）2}，A 的若尔当标准形为          0 1 1 0 1 0 1 0 0 七、（14 分）设矩阵 A 为        2 2 1 2 1 2 1 2 2 A 试求正交矩阵 P，将其化为对角形． 解： ( 1) ( 5) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2                    E A A 的全部特征值为λ1=5，λ2=-1 解齐次线性方程组（λ1E-A）X=0，得到它的一个基础解系        1 1 1 1 进行单位化得        1 1 1 3 1 1

解齐次线性方程组(AEA)X=0,得到它的一个基础解系{n2=0n3= 进行正交化得a2=n2a3=73 (73,a2) 2|,单位化得B2 (a2,a2) B 令P=(B1,B2,B3) √6 P"AP=diag (5, -1, -1) 八、(8分)设V是一个欧几里得空间,{β1,B2,,Bn}是V的一个基,证明 如果a∈V,(β;,a)=0j=1,2,,n,则a=0 证:因为{β1,B2,,Bn}是V的一个基,设q=k1B1+k2B2+..+knBn Wl (a, a)=(kI Bi+ k2 B2+.+kn Bn, a) k1(B1,a)+k2(B2,a)+..+kn(Bn,a) 所以a=0 九、(8分)设A是n×n实对称矩阵,证明:A22A+8E是正定的 证:因为A22A+8E=(AE)2+7E,对于任意X∈R,且X≠0,有 X(A-2A+8E)X=X(A-E)X+ 7X EX=X(A-E)(A-E)X+7X'EX [(A-E)X[(A-E)X]+7XX>0 所以A2-2A+8E是正定的. 十、(6分)设V是一个欧几里得空间,σ是V的一个正交变换,证明:如果μo 是σ的一个实特征值,则μo等于1或-1 证:因为μ0是σ的一个实特征值,设ξ是σ的属于μo的特征向量,则有 第4页共5页

第 4 页 共 5 页 解齐次线性方程组（λ2E-A）X=0，得到它的一个基础解系{               0 1 1 , 1 0 1  2 3 } 进行正交化得            1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) , 2 2 2 3 2 2 2 3 3          ，单位化得 2 2 2 1    3 3 6 2    令            6 1 2 1 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 ( , , ) P 1  2  3 则 P -1AP=diag(5,-1,-1) 八、（8 分）设 V 是一个欧几里得空间，{β1, β2,…, βn}是 V 的一个基，证明： 如果α∈V，(βj, α)=0,j=1,2,…,n，则α=0． 证：因为{β1, β2,…, βn}是 V 的一个基，设α=k1β1+ k2β2+…+knβn 则 （α，α）=（k1β1+ k2β2+…+knβn , α） = k1（β1, α）+ k2（β2, α）+…+kn（βn , α） =0+0+…+0=0 所以 α=0． 九、（8 分）设 A 是 n×n 实对称矩阵，证明：A2-2A+8E 是正定的． 证：因为 A2-2A+8E=（A-E）2+7E，对于任意 X∈Rn，且 X≠0，有 XT（A2-2A+8E）X= XT (A-E) 2X+ 7XTEX=XT (A-E)T (A-E)X+ 7XTEX = [(A-E) X]T [ (A-E)X]+ 7XTX＞0 所以 A2-2A+8E 是正定的． 十、（6 分）设 V 是一个欧几里得空间，σ是 V 的一个正交变换，证明：如果μ0 是σ的一个实特征值，则μ0等于 1 或-1． 证：因为μ0是σ的一个实特征值，设ξ是σ的属于μ0的特征向量，则有

(0(5),0()=(uo5,uo5)=u02(5,5) 又由于σ是V的一个正交变换,所以 σ(),0(ξ)=(5,) 比较知:μ2=1,即μo=1或-1 第5页共5页

第 5 页 共 5 页 (σ(ξ),σ(ξ))=(μ0ξ, μ0ξ)= μ0 2(ξ,ξ) 又由于σ是 V 的一个正交变换，所以 (σ(ξ),σ(ξ))=(ξ,ξ) 比较知：μ0 2=1，即μ0=1 或-1