西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第18讲 线性方程组的可解性

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第十八讲线性方程组的可解性 线性方程组的概念 线性方程组的可解性 齐次线性方程组的非零解

第十八讲 线性方程组的可解性 • 线性方程组的概念 • 线性方程组的可解性 • 齐次线性方程组的非零解 • 小结

线性方程组的概念 由若干个线性方程联立而成的数学式子称为线性方程组, 其一般形式是 11 x1+a12x2+…+a1nx,=b +aax 222 ….+a2nX 2 n n x1+a, mlI x+…+a m242 b mn n 这里x12x2…xn表示未知量,a1(=1,2…m;j=12…n)称为 方程组的系数,b1,b2b称为方程组的常数项。 常数项全为零的方程组,称为齐次线性方程组。 否则称为非齐次线性方程组

一、线性方程组的概念                  1 1 2 2 m 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 b b b m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     由若干个线性方程联立而成的数学式子称为线性方程组， 其一般形式是 否则称为非齐次线性方程组。 常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。 方程组的系数， 称为方程组的常数项。 这里 表示未知量， 称为 1 2 m 1 2 n ij b , b , b x , x , , x a (i 1,2, ,m; j 1,2, , n)      

方程组也可以用矩阵和向量表示 12 22 b n 2 n ax=b a a A的n个列向量记为a1:j= a X11+x2a2…+xnn=b A称为系数矩阵,[Ab]称为增广矩阵。记A=[Ab]

方程组也可以用矩阵和向量表示 , a a a a a a a a a A m m mn n n               1 2 21 22 2 11 12 1        n x x x x  2 1 Ax  b.        n b b b b 2 1  x x x b. ( j 1,2, , n ) a a a A n 1 1 2 2 n n j 2 j 1 j j                      n  的 个列向量记为 A称为系数矩阵，[Ab]称为增广矩阵。记A  [Ab]

若x1=k1,x2=k2…xn=kn是方程组的解, 则称向量n=(k1k2,;kn)是方程组的解向量。 二、线性方程组的可解性 定理41线性方程组有解的充分必要条件是R(A)=R(A) 定理42线性方程组有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A=n

则称向量 （ 是方程组的解向量。 若 是方程组的解， T 1 2 n 1 1 2 2 n n k , k , , k ) x k , x k , , x k        二、线性方程组的可解性 定理4.1线性方程组有解的充分 必要条件是R(A)  R(A) R(A) R(A) n 4.2   定理 线性方程组有唯一解的 充分必要条件是

三、齐次线性方程组解的性质 解向量的概念 设有齐次线性方程组 aux,+aurx2+.+anxn=0 a21x1+a2)2+…+a2nxn=0 鲁鲁 an11+an,x,+…+anxn=0 nn n 若记

１．解向量的概念 设有齐次线性方程组                 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （1） 三、齐次线性方程组解的性质

2 n m2 n 则上述方程组(1)可写成向量方程 Ax=o 若x1=51,x2=41…,xn=En为方程Ax=0的 解,则

, a a a a a a a a a A m m mn n n               1 2 21 22 2 11 12 1        n x x x x  2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax  0. 1 11 2 21 n n1 若 x   , x   ,, x   为方程 Ax  0 的 解，则

三、齐次线性方程组解的性质 解向量的概念 设有齐次线性方程组 aux,+aurx2+.+anxn=0 a21x1+a2)2+…+a2nxn=0 鲁鲁 an11+an,x,+…+anxn=0 nn n 若记

１．解向量的概念 设有齐次线性方程组                 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （1） 三、齐次线性方程组解的性质

21 1 n 称为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程 (2)的解

        1 21 11 1 n x      称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．

2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=51,x=2为Ax=0的解,则 x=51+52 也是Ax=0的解 证明:A51=0,A2=0 A(1+42)=A51+A2=0 故x=+2也是4x=0的解

２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则   1   2 x , x Ax  0   1   2 x 也是 A x  0 的解. 证明   0  A  1   2  A 1  A 2  0 0  A 1  , A 2  故 x 也是Ax 0的解.   1   2 