西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第6讲 克拉默法则

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第六讲克拉默法则 克拉默法则 重要定理

第六讲 克拉默法则 • 克拉默法则 • 重要定理 • 小结

非齐次与齐次线性方程组的概念 1x1+a12x2+…+a1nxn= 21X1+2X+…+a 设线性方程组 2 ann ar+ax 2~2 +∴+x.=b nn n 若常数项b1,b2,…,bn不全为零,则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b1,b2,…,bn全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组

                n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项 b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

克拉默法则 如果线性方程组 aux,+anx2+.+ainxn=b a21+a22x2 +.+a2nxm=b, anx1+anx,+…+nx,= n nn n 12 的系数行列式不等于零,即D /2a, 22 2n 0 2

一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1                 n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1   0

那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解 可以表为 D D D D D 2 D D D 其中D是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 1,j+1 In D.= b a n,j+1 nn

. D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1      那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 1

证明 用D中第例列元素的代数余子式 J 依次乘方程组(1)的n个方程,得 x1+a1,x,+…+a,x.)A,=b n a.x, t y+∴+a、x 2n n x,+a.,x,+…+a.x.)A=b.A n2 mn 在把M个方程依次相加,得

证明                       n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组  的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

∑ k141+…+ ∑ j 十∴ ∑ =1 k: ∑b4 k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)的系数均为0;又等式右端为D 于是Dx1=D/G=1,2,…,n) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D D D 2-2 D D D

, 1 1 1 1 1 1                                n k k kj n n k j kn kj n k kj kj n k k kj b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D  j 1,2, ,n. j  j   . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x i j的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 2 当D  0 时,方程组2 有唯一的一个解

由于方程组(2)与方程组(1)等价,故 也是方程组的()解

由于方程组2 与方程组 1 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  2 3 2 2 1 1 也是方程组的 1 解

二、重要定理 定理1如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0 则(1)一定有解,且解是唯一的 定理2如果线性方程组()无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . 1 1 D  0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 1

齐次线性方程组的相关定理 ,x,+a X,+∴+a 0 12~2 Inn ny,+a1x1+∴+a,x=0 n (2) a,x,+,x,++ax.=0 n nn 定理如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)没有非零解

齐次线性方程组的相关定理 2 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1                 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 没有非零解. 2 2