线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
第四讲行列式的性质 行列式的性质 小结
第四讲 行列式的性质 • 行列式的性质 • 小结
行列式的性质 记 1a12 in 2 12 2 n2 D D n2 nn n nn 行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等
一 、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 T D nn a a a 22 11
证明记D=det(n)转置行列式 12 21 D 22 2n 1 n2 即b23=aG,j=1,2,…,m,按定义 D=∑(-1ybnb2n…bm=∑(-1)an1an2…an 又因为行列式D可表示为 D=2(-1)yan1n2…an
证明 记 D detaij的转置行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D b a i, j 1,2, ,n, 即 ij ij 按定义 1 1 . 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 1 . 1 2 1 2 p p p n t n D a a a
故D=D 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证明设行列式 b, 2 21 n n2 nn 是由行列式D=detn)变换i两行得到的
故 . T D D 证毕 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 变换 两行得到的, ij D det a i, j
即当k≠i时,b=如当k=i,时, = 于是D1=∑(-1)bn…b =∑(-1)an…an…am1…am =∑(-1)an…a 其中1…i…j…n为自然排列 t为排列p1…P Pn的逆序数 设排列p1…p;…p1…Pn的逆序数为t,则有
于是 i j n n p ip jp p t D b b b b 1 1 1 1 i j n n p ip jp p t a a a a 1 1 1 1 , 1 1 j i n n p ip jp p t a a a a 其中 1i jn 为自然排列 , . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当k i j 时, , ; kp kp b a 当 k i, j 时, , , ip jp jp ip b a b a
(-1)=-(-1y, 故D1=∑(-1)an…am…am…m,=-D证毕 例如 75175175715 662=-58 662=-662. 358662 358538 性质3如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D, D=0
例如 性质3 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D 0. D D, 1 1 , 1 t t 故 1 . 1 1 D1 a1 a a a D j i n n p ip jp p t 证毕 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8
性质4行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 11 12 In 2 n kai kai2…kam=kana i2 in n2 nn n n2 n 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面
行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质5行列式中如果有某行(列)元素都为零, 则此行列式为零 性质6行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 证明 12 n n i2 i2 0. k k 1 2 l1 2 n 2 nn n n2 nn
性质6 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 0. 性质5 行列式中如果有某行（列）元素都为零， 则此行列式为零．
性质7若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和 12 n 例如D=212 t a2i 2n n2 :+a nn 则D等于下列两个行列式之和: In 1 In D 21 2i 2n 21 a2n n nn n nn
性质7 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1 21 2 2 11 1 1 1 21 2 2 11 1 1 例如