线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十一讲矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 矩阵的等价
第十一讲 矩阵的初等变换 • 矩阵的初等变换 • 矩阵的等价 • 小结
、消元法解线性方程组 分析:用消元法解下列方程组的过程 引例求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2, x1+x2-2x3+x4=4, 4x1-6x2+2x3-2x4=4 3x1+6x,-9x2+7xA=9,④
引例 (1) 求解线性方程组 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程． 2
解 +共22x3+总4=4,① ①>② 2. +xA=2 (B1) ③÷2 2x,-3x 2 +x2-xA=2 3x1+6x2-9x2+7x4=9, x+x2-2x3+x4=4,① ③-2① 222x3+2x4=0, (B2) ④-3① 5x2+5x3-3x4=-6, 3x,-3x2+4x1=-3 4
解 ( ) (1) B1 ( ) B2 2 13 2 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1342 2 1 2 3 34 3 1 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1342
x1+x2-2x3+x4=4,① 2 a,-xatx ③+52 (B3) 2x,=-6. ④-32 C,=-3 「x1+x2-2x3+x=4 3分④」x2-x3+x4=0,②(B1) ④-2③ -3 用“回代”的方法求出解:
( ) B3 ( ) B4 3, 2 6, 0, 2 4, 44 2 3 4 1 2 3 4 xx x x x x x x x 1342 5 2 21 34 3 22 0 0,3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 134 3 2 4 2 43 用“回代”的方法求出解：
1=x3+4 于是解得{x2=x3+3其中x为任意取值 4 3 或令x3=c,方程组的解可记作 c+4 x=/-2 c+3 即x= 430 (2) 3 C 3 3 其中c为任意常数
于是解得 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x x 其中c为任意常数. 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c （2）
小结: 1.上述解方程组的方法称为消元 法·始终把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换 (1)交换方程次序; (⑦与⑦相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程; (以⑦×k替换⑦) (3)一个方程加上另一个方程的k倍 (以⑦+k⑦替换⑦)
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元 法2．．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i k 替换 i ） （以 i k j 替换 i ）
3.上述三种变换都是可逆的 ①<)i 若(4)(B),则(B) ①<)① (A); 若(A) ①×k (B),则(B)“(4); 若(4)(B),则(B) ①-k④ 由于三种变换都是可逆的,所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换
3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). i k j
因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算,未知量并未参与运 算 若记 2 B=(b= 1166 1229 127 3 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组(1)的增广矩阵)的变换
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (Ab) 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
二、矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行(对调两行记作4); (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素; (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上 记作r+ry)
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 1 对调两行（对调 i, j两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k,记作 ri k） . 3 记作 ） 对应的元素上去（第 行的 倍加到第 行上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i j r kr j k i k