线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十六讲向量组的秩 等价向量组 最大线性无关组 向量组的秩 等价向量组的秩 求最大线性无关组的初等变换法
第十六讲 向量组的秩 • 等价向量组 • 最大线性无关组 • 向量组的秩 • 等价向量组的秩 • 求最大线性无关组的初等变换法 • 小结
、等价向量组 如果向量组B,B2…B中每一个向量 都可由向量组a1,a2…,c线性表示,即有一组表示式: B1=p1(1+p21O2+…+p3Qs B2=P121+p2Q2+…+p B1=p1Q1+p2C2+…+p3 向量组B,B2…B可由向量组a12aa2a线性表示 也可以写成矩阵形式: Pu p pI B1B2…B=x1a2 p21 p p2r ps1 ps2 p AB1B2…B=[a1 p
一、等价向量组 都可由向量组 线性表示，即有一组表 示式： 如果向量组 中每一个向量 1 2 s 1 2 r , , , , , , , r 1r 1 2r 2 sr s 2 12 1 22 2 s2 s 1 11 1 21 2 s1 s p p p p p p p p p 也可以写成矩阵形式： 向量组1 , 2 ,, r可由向量组 1 , 2 ,, s线性表示。 P , p p p p p p p p p 1 2 r 1 2 s s1 s2 sr 21 22 2r 11 12 1r 1 2 r 1 2 s
定义34如果向量组a,a2,…,a与向量组β,B2,…,B 可以相互线性表示, 则称向量组α1,a2…,a、与向量组,B2,…,β等价,记为 [a,a2…,a3~[B,B2,…,B] 向量组的等价关系有如下基本性质: (1)自反性αx,a2…,a、]~[a,a2…,a (2)对称性:若α,a2,…,a3]~[,B,…,B 则B,B2…,B~[α,a2…,asl (3)传递性:若[a;,a2…,α、]~[A,月2,…,B 且[B,B2,…,B~[y,y2…,y
[ ] ~ [ ] 3.4 1 2 s 1 2 r 1 2 s 1 2 r 1 2 s 1 2 r ， ， ， ， ， ， 则称向量组 ， ， ， 与向量组 ， ， ， 等价，记为 可以相互线性表示， 定义 如果向量组 ， ， ， 与向量组 ， ， ， (1)自反性[1， 2，，s ] ~ [1， 2，，s ]； 向量组的等价关系有如下基本性质： 则 ， ， ， ， ， ， ； 对称性：若 ， ， ， ， ， ， ， [ ] ~ [ ] (2) [ ] ~ [ ] 1 2 r 1 2 s 1 2 s 1 2 r [ ] ~ [ ]. [ ] ~ [ ], (3) [ ] ~ [ ] 1 2 s 1 2 t 1 2 r 1 2 t 1 2 s 1 2 r 则 ， ， ， ， ， ， 且 ， ， ， ， ， ， 传递性：若 ， ， ， ， ， ， ，
例37设向量组a1,a2,a3线性相关,a2,a3,a1线性无关,问 (1)a能否由a2,a3线性表示? (2)a能否由a1,a2,ax线性表示? 解()因为∝2,a3,a4线性无关, 所以其部分组a,a3定线性无关, 但是给αx,∝3添加a后线性相关, 由定理32知,a必能由a2,3线性表示 (2)于a能由a2,a3线性表示,所以{a,a2,a3}~{a2,a3} 假设a』能由a1,a2,a线性表示, 则由传递性可推出a能由a2,a3线性表示, 这与a2,ax,a线性无关矛盾, 故a不能由a,a2,a3线性表示
能否由 ， ， 线性表示？ 能否由 ， 线性表示？ 例 设向量组 ， ， 线性相关， ， ， 线性无关，问 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 (2) (1) 3.7 所以其部分组 ， 一定线性无关， 解 因为 ， ， 线性无关， 2 3 2 3 4 (1) 由定理 知， 必能由 ， 线性表示。 但是给 ， 添加 后线性相关， 1 2 3 2 3 1 3.2 (2) { } ~ { }. 由于1能由 2，3线性表示，所以 1， 2，3 2，3 则由传递性可推出 能由 ， 线性表示， 假设 能由 ， ， 线性表示， 4 2 3 4 1 2 3 故 不能由 ， ， 线性表示。 这与 ， ， 线性无关矛盾， 4 1 2 3 2 3 4
最大线性无关组 定义1设有向量组A,如果在A中能选出个向量 1902 满足 1)向量组4:ax1,a2,…,a,线性无关; (2)向量组4中任意r+1个向量(如果A中有 r+1个向量的话)都线性相关, 则称向量组A是向量组A的一个最大线性无关组, 可简称为最大无关组。 定理34向量组与其最大无关组等价。 定理35向量组的任意两个最大无关组等价
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r 1 , 2 ,, 定义１ （1）向量组A0 :1 , 2 ,, r线性无关； 个向量的话）都线性相关， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中有 1 2 1 r A r A 二、最大线性无关组 可简称为最大无关组。 则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组， 定理3.4 向量组与其最大无关组等价。 定理3.5 向量组的任意两个最大无关组等价
三、向量组的秩 定义36向量组a1,Q2,…n的最大无关组所包含的 向量的个数,称为该向量组的秩。记为: R(a1,α2,…an) 规定,仅含零向量的向量组的秩为零。 由向量组的秩的定义,易得如下结论: (l)向量组a1,a2…,∝线性无关<R(a1,a2,…,a、)=s; (2向量组α,a2…,α线性相关R(ar,a2…,a、)<s; (3)若R(a1,a2…,a)=r,则向量组a,a2,…,a、中, 任意r+1个向量必定线性相关; (4)若R(a,a2…,a)=r,则向量组a;,a2…,a中, 任意r个线性无关的向量,都可组成该向量组的一个 最大无关组;
三、向量组的秩 定义3.6 向量组α1，α2，…αn 的最大无关组所包含的 向量的个数，称为该向量组的秩。记为： R(α1，α2，…αn ) 规定，仅含零向量的向量组的秩为零。 由向量组的秩的定义，易得如下结论： (1) R( ) s; 向量组1， 2，，s线性无关 1， 2，，s (2) R( ) s; 向量组1， 2，，s线性相关 1， 2，，s 任意 个向量必定线性相关； 若 ， ， ， 则向量组 ， ， ， 中， r 1 (3) R( ) r, 1 2 s 1 2 s 最大无关组； 任意 个线性无关的向量，都可组成该向量组的一个 若 ， ， ， 则向量组 ， ， ， 中， r (4) R( ) r, 1 2 s 1 2 s
(5)R(ax,a2,…,a)≤R(a1,a2, B,B2,…,B1) 定理36矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩. 例8判定向量组a1=(136,2),a2=(2,1,2,-1),a3=(35,10,2), a4=(38.8,1)的线性相关性,并求其秩和最大无关组 解构造矩阵 1233 3158 A=[1,a2 62108 2-121
它的行向量组的秩 . 定理3.6 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 (5)R( ) R( , ). 1， 2， ，s 1， 2， ，s 1， 2， ， t 的线性相关性，并求其秩和最大无关组。 例 判定向量组 （ T 4 T 3 T 2 T 1 (3,8,8,1) 3.8 1,3,6,2) , (2,1,2, 1) , (3,5,10,2) , 解 构造矩阵 2 1 2 1 6 2 10 8 3 1 5 8 1 2 3 3 A [ , , , ] 1 2 3 4
1233 3158 由计算知detA= 0 62108 于是ax,a2,a,a4线性相关。 而A中的3阶子式D=318=40≠0 628 所以R(A)=3,a1a2,a4是向量组 C C a3,a4的一个最大无关组, R(a1, )=3
于是 ， ， ， 线性相关。 由计算知 1 2 3 4 0, 2 1 2 1 6 2 10 8 3 1 5 8 1 2 3 3 detA 40 0, 6 2 8 3 1 8 1 2 3 而 A中的 3阶子式 D R ( ) 3 . R (A ) 3, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 ， ， ， ， ， ， 的一个最大无关组， 所以 ， ， 是向量组
四、等价向量组的秩 定理37设向量组月,B2…B可由向量组a1,a2…a 线性表示,当r>s时,必有月,B2…,B线性相关。 证设向量组B1,B2月可由向量组a1,a2…;a 线性表示,即(B,B2…B)=(a1,a2…a、)Ksx R(B12B2…,B)=R[(a12a2、)Kx] ≤R(a1x2;…3)≤S<r所以B,B2…,月线性相关。 定理的等价命题(逆否命题)为: 设向量组,B2…B可由向量组a1,a2…a 线性表示,且B,月2;B线性无关,则必有r≤s
四、等价向量组的秩 线性表示，当 时，必有 线性相关。 定理 设向量组 可由向量组 1 2 r 1 2 r 1 2 s r s , , , 3.7 , , , , , , 证 1 2 r 1 2 s s r 1 2 r 1 2 s ( , , , ) ( , , , )K , , , , , , 线性表示，即 设向量组 可由向量组 R( , , , ) R[( , , , )K ] 1 2 r 1 2 s sr R( , , , ) 1 2 s s r所以1 , 2 ,, r线性相关。 定理的等价命题（逆否命题）为： 线性表示，且 线性无关，则必有 。 设向量组 可由向量组 , , , r s , , , , , , 1 2 r 1 2 r 1 2 s