西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第5讲 行列式的计算举例

线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

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第五讲行列式的计算举例 逐次降阶计算低阶行列式 化成三角形行列式计算 利用递推公式或数学归纳法计算 利用范德蒙行列式公式计算 小结

第五讲 行列式的计算举例 • 逐次降阶计算低阶行列式 • 化成三角形行列式计算 • 利用递推公式或数学归纳法计算 • 利用范德蒙行列式公式计算 • 小结

逐次降阶计算低阶行列式 利用性质8把行列式的某一行(列)尽可能多的 元素化为零,再按该行(列)展开为低的行列式 从而算得行列式的值 12 3 3 7 5 例1D= ctc 39 04 21 57 146 410-102

例１ 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1           D  一 、逐次降阶计算低阶行列式 利用性质8把行列式的某一行（列）尽可能多的 元素化为零，再按该行（列）展开为低的行列式。 从而算得行列式的值．  3 

观察哪行(列)有正负1,或有简单的比例关系, 数值较小,则化这一行(列)。 12 3 3 33-79 5 解法1D=204-21 3-57-146 4-410-102 12 31 00 10 2 r,+3r;204 21 3-57 146 4-410-102 再给第3列乘以负2加到第5列上

4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1           D   3  解法1 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 3 2 1          r  r 观察哪行（列）有正负1，或有简单的比例关系， 数值较小，则化这一行（列）。 再给第3列乘以负2加到第5列上

1-12-3-3 00-100 c3+(2)204-2-7按第2行展开 3-57-14-8 4-410-10-18 =(-1(1220-2-7 3-5-148 4-10-18 再把第1列加到第2列上

4 4 10 10 18 3 5 7 14 8 2 0 4 2 7 0 0 1 0 0 1 1 2 3 3 c ( 2)c 5 3               按第2行展开 4 4 10 18 3 5 14 8 2 0 2 7 1 1 3 3 ( 1)( 1) 2 3                再把第1列加到第2列上

0 22 32 再把第2行加到第3行上 3-2-14-8 40-10-18 0-3-3 22-2-7 50-16-1 按第2列展开 40-10-18

4 0 10 18 3 2 14 8 2 2 2 7 1 0 3 3           再把第2行加到第3行上 4 0 10 18 5 0 16 15 2 2 2 7 1 0 3 3          按第2列展开

2(-1) 2+2 154 16-15 10-18 给第1列乘以3加到第3列 30 =25-160按第3列展开 4-10-6

4 10 18 5 16 15 1 3 3 2( 1) 2 2          给第1列乘以3加到第3列 4 10 6 5 16 0 1 3 0 2      按第3列展开

=2(-6-13y 5-16 2阶行列式按对角线法则计算 =-12(-16+15)=12

5 16 1 3 2( 6)( 1) 3 3       2阶行列式按对角线法则计算 = -12(-16+15) = 12

评注本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后 按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数 可降低1阶,如此继续进行,直到行列式能直接 计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用

评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

二、化成三角形行列式计算:行列式也可以利用 性质化成三角形行列式来计算 12 3 3 33-79 5 解法2D=20 21 3-57-146 4-410-102 12 31 00 10 2 r,+3r1204 21 3-57 146 4-410-102

4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1           D   3  解法2 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 3 2 1          r  r 二、化成三角形行列式计算：行列式也可以利用 性质化成三角形行列式来计算