78 线性代数重点难点30讲 第15讲矩阵的对角化 若n阶矩阵A与对角矩阵A相似则称A可以相似对角化.不是任意一个方阵都能对 角化 1.矩阵对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.由于不同特征值所 对应的特征向量线性无关,因此若A有n个互不相等的特征值A1,A2,…,A,则A必与对角 矩阵相似 2.矩阵对角化的步骤 ①求A的特征值;②对于每个特征值A,求齐次方程组(A-AE)x=0的基础解系, 若每个λ,的重数k1等于基础解系解向量的个数n=R(A-AE),即k,=n-R(A-AE), 则A可以对角化;③以A的n个线性无关的特征向量a1,a2,…,n为列,构造可逆矩阵 2 n).则有 A(a1,a2,…,an)=(Aax1,Aa2,…,Aan) 入 即有 P-lAP 3.实对称矩阵的对角化 由于实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量,所以实对称矩阵A一定能对角 化,且存在正交矩阵P,使 P AP 又由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的,所以当A有n个不同特征 值入,入2,…,入。时,只需将对应的特征向量a,a2…an单位化得B1=Ta1Ⅱ,B2=
第15讲矩阵的对角化 a2T,",B.=Tan令P=(B,B,…B),即为所求正交矩阵;当A的特征值有重 根λ,时,则需先将重根对应的特征向量正交化(施密特正交化方法),再将所得正交向量组单 位化,并以此作为矩阵P的列向量,则P即为所求正交矩阵 例1矩阵 211 能否对角化?理由是什么?若能对角化写出对角矩阵 2-A1 I A-AE I= 0=-(+1)(A-2) 求得特征值A1=-1,A2=A3=2 λ=-1时,解方程组(A+E)x=0,由系数矩阵 030 414nx3L-444 000 解得基础解系p1=(1,0,1) A2=A3=2时,解方程组(A-2E)x=0,由系数矩阵 A-2E=000-2000 411 得出同解方程组 求出基础解系为p2=(0,1,-1)2,p3=(1,0,4) P1,P2,P3),P 010=3≠0, 故p1,P2,p3线性无关,所以矩阵A能对角化(根据A能对角化的充要条件) 由P可逆,故对角矩阵为PAP=A 例2矩阵
线性代数重点难点30讲 5-33 0-2 能否与对角矩阵相似,并说明理由 IA-E I= 5 解得特征值A1=A2=k3=-1(是三重特征值),又因 3-12 A+E=5-23 0 r2+5r 0-1 000 ryr2 010 故R(A+E)=2 因而方程组(A+E)x=0的基础解系所含的解向量的个数仅有一个,即属于特征值λ =-1的特征向量仅有一个线性无关的特征向量根据n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量可知,所给三阶方阵A不能对角化 注意当A有重特征值时,A可能相似于对角矩阵,也可能不相似于对角矩阵,这时要 研究A能否相似于对角矩阵的问题,仅由特征值是不能确定的,还需研究特征向量A能否 相似于对角矩阵,取决于属于A的每个重特征值的线性无关向量个数是否等于该特征值的 重数 例3试判断下列矩阵是否相似 200 100 001 010 解法1根据相似矩阵的定义,只要能找到可逆矩阵P,使B=PAP,则A与B相似 由A的特征方程1A-AE|=0,即 2-A00 0-1=2(2-)-(2-)=(x+1)(x-1)(2-)=0 解出A1=-1,2=1,A3=2,以及求出属于这些特征值的特征向量依次为 P1=(0,-1,1)2,P2=(0,1,1)2,p3=(1,0,0) 由此得出可递矩阵P1=(P1,P2,P),即
第15讲矩阵的对角化 81 001 P 而P1= 111,则PAP1 同理,解B的特征方程,可得A1=-1,A2=1,A3=2,及求出属于这些特征值对应的特 征向量依次为p1=(0,1,1)2,p2=(1,0,0),p3=(0,0,1).由此得可逆阵P2=(P1,P2 P2,),即P2=100,而P≈/010 010 1 00,则P2B:= 由此可得 B= P2 1P2=P2(P1AP1)P2=(P2P1)A(P1P2) 2 即可求得可逆矩阵P=P1P2,使上式成立,故A与B相似 解法2因为矩阵A与B都有三个互不相等的特征值,故都能与对角阵相似,又因A与 B的特征值都相同,故它们都与同一个对角阵A= 相似即分别有可逆方阵 P,P,,E P: AP,= A, P: BP,=A. M B= P,AP:= P(P:AP,)P2 (P2P1)A(P1P2),故可求得可逆矩阵P=P1P2,使A与B相似 由解法2可以得出下述定理 若n阶方阵A与B有相同的特征值1,A2…,An(λ≠,i≠j,i,=1,2,…,n), 则A与B相似 例4设矩阵A与B相似,而 200 试求:(1)x与y的值;(2)可逆矩阵P,使PAP=B 解(1)解法1由相似矩阵的特征多项式相同,即由1A-AE|=|B-AE解出x 0 0 即 (2-A)(A2-x-1)=(2-A)(A2+(1-y)A-y), 由此得 解法2利用特征值的性质:设A与B的特征值为A1,A2,λ3,由A1·A2·λ3=1A A1·A2·A3=1B|=-2y,则y=1,又因A1+A2+A3=2+0+x=2+x,A1+A2+ λ3=1+y=2,则x=0(显然本题解法2简单)
2 线性代数重点难点30讲 (2)由(1)已知x=0,y=1,故相似矩阵为 200 A=001,B 则A的特征值λ1=2,A2=1,A3=-1解方程组(A-入,E)x=0,分别求得A的三个特征 值对应的三个特征向量依次为: D1=(1,0,0),P2=(0,1,1),p3=(0,-1,1)T 由此可得可逆矩阵P=01-1,则有PAP=A=B 例5设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的 二重特征值,试求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵 解因为入=2是A的二重根,且对应的两个特征向量线性无关.即方程组(A-2E)x =0的基础解系所含解向量个数为2.则矩阵(A-2E)的秩R(A-2E)=1. A-2E= J-3x-20y+2 3-3 0 由于R(A-2E)=1故A-2E经初等行变换后的第二行必全为零,因此必有 2=0 0.即 因矩阵A的二重特征值λ1=k2=2已知,不用解特征方程求λ3,只要利用特征多项式 根与系数的关系:A1+A2+A3=4+A3=1+4+5,可求得λ3=6 解方程组(A=AB)x=0.依次得A1=2=2对应的特征向量p=(-110,p2 =(1,0,1),3=6对应的特征向量P2=(1,-2,3).故所求可逆矩阵 2 P=10-2.并且PAP 2 013 例6设实对称矩阵A=111,试求一正交矩阵P,使PAP成为对角阵 1-A 入0 0 12-1 13-x1|=x2(A-3) 00
第15讲矩阵的对角化 83 由此得A的特征值A=k2=0,A3=3 A1=A2=0时,解方程组(A-0E)x=0,得出相应的特征向量p1=(0,1,-1)2,p2 (-2,1,1),恰好正交 3=3时解方程组(A-3E)x=0,得出相应的特征向量p3=(1,1,1).显然p1,P2, p3两两正交,故只需单位化 n=0., e2=Tn2T=(66 P3 I 则可得正交阵 0-21 6161= 13 P AP= P AP= 3 例7三阶实对称矩阵A的特征值为A1=1,A2=2,3=3,且A1=1,k2=2对 应的特征向量分别为a1=(-1,-1,1),a2=(1,-2,-1),试求矩阵A 解因实对称阵A的特征值互不相等,故a1,a2,a3应两两正交,a3应满足方程组 x 解此方程组,解得∝3=(1,0,1)1.由此可得可逆矩阵P 000111 而P 3-6,故由PAP 3-3 A P 121 1-612 131-612
线性代数重点难点30讲 5 361356 113 例8试求一正交矩阵P,将实对称矩阵 化为对角矩阵 解特征多项式 1A-AE|=-1-X1=-(A+2)(1-A 由此可求出A的特征值A1=-2,A2=A3=1. 1=-2时,解方程组(A+2E)x=0: A+2E= 033 2 112× 10 则同解方程组为{x1二,它的基础解系为5=(1+1 将5单位化,得p1=1(-1,-1,1) 1时,解方程组(A-E)x=0 00 A-E 则同解方程组x1=-x2+x3它的基础解系为: =(-1,1,0),53=(1,0,1) 但52与53不正交,必须先正交化,令η1=52,则 n2=E、「n5 1=(101 1,1,0) n1, n1 再将n,n2单位化可得 -(2是号)-(2)
第15讲矩阵的对角化 由此可得正交阵 是器 2 则 PAP= 101|-11 251 232√3√3 注意在上题求λ2=A3=1对应的特征向量时,若能在(A-E)x=0的同解方程中 取下列两组值11则所得到的持征向量2=01)=(,-1,1 恰好正交,则可以避免正交化过程