第13讲特征值与特征向量 第13讲特征值与特征向量 关于特征值与特征向量,首先应清楚地回答如下三个问题: (1)方阵A的属于特征值λa的特征向量是有限个还是无穷多个?A的属于特征值λ的 线性无关的特征向量有多少个? (2)属于不同的特征值的特征向量间存在怎样的关系? (3)如何求出方阵A的特征值和特征向量? 下面依次对上述三个问题作以回答: (1)A的属于特征值A。的特征向量是齐次线性方程组(A0E-A)x=0的非零解(由于 AE-A1=0,知方程组(λBE-A)x=0的确有非零解),由齐次线性方程组的解的性质 知,方程组(AE-A)x=0有无穷多个非零解,即A的属于A的特征向量有无穷多个.因 此,方程组(AE-A)x=0的一个基础解系就是属于λa的特征向量全体所成向量集合的 个最大线性无关组从而知n阶方阵A的属于特征值λ的线性无关特征向量的最大个数 等于n-秩(AE-A) (2)n阶方阵A的全部特征值有n个(重特征值按重数算).属于不同特征值的特征向量 是线性无关的,方阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值,不可能属于A的两个不 同的特征值 (3)计算A的特征值和特征向量是重点也是难点,但有规律可循.计算特征值与特征向 量的步骤如下 ①计算|AE-A1(或|A-AE1); ②求1AE-A1=0(或1A-AE1=0)的全部根,即为A的全部特征值; ③对于每一个特征值A,求出(A0E-A)x=0的一个基础解系η1,η2,…,n,其中 r为矩阵AE-A的秩,则A的属于Aa的全部特征向量为k1n1+k22+…+kn-,nn-,其 中k1,k2,…,kn,是不同时为零的任意常数 例1求下列方阵的特征值与特征向量 32 (1)A=0-10 (2)B=202,(3)C=142 042 0 解(1)1A-AE=0-1-x0=(1-)(-1-)(2-x)=0 0 解出 A1=1,A2=-1,A3=2 对于A1=1,代入方程组(A-入1E)x=0.解此方程组
66 线性代数重点难点30讲 00 001 A-入1E 041 矩阵A-A1E的秩为2.则同解方程组为 令x1=1,得方程组的基础解系5=(1,0,0).则x=1对应的特征向量p1可取为5,即p =(1,0,0),A1=1对应的全部特征向量为k1p1(k1为任意非零实数) 1时,代人方程组(A-A2E)x=0, 101 A-E=0 0 由此得同解方程组{x2=-3x2,令x=-1,则可得x2=-1对应的特征向量n2=(1 1),A2=-1对应的全部特征向量为k2P2(k2为任意非零实数) 对于A3=2,代人方程组(A-k3E)x=0.解此方程组 102 102 λ3E () 040 000 由此得同解方程组 令x3=1,则可得λ3=2,对应的特征向量p3=(2,0 1),A3=2对应的全部特征向量为k3P(k3为任意非零实数) 4 (2)|B 23-入 1+A2 47-A
第13讲特征值与特征向量 67 (1+A)[-A(7-λ)-8] =-(1+A)[A2-7x-8]=-(1+A)[(A+1)(A-8) =-(A+1)2(-8)=0 解得A1 A1=A2=-1时,解方程组(B+E)x=0 424 000 r1-2r2 000 由此得同解方程组x1=-2x2-x3分别令x2=0,x3=1;x2=1,x3=0,可得A1= A2=-1对应的的特征向量p1=(-1,0,1),p2=(-,1,0).则A1=小2=-1(即A为 重根)对应的全部特征向量为k1P1+k2P2(k1,k2是不同时为零的实数) A3=8时,解方程组(B-8E)x=0 524 B-8E=2-82 1 r3+4r 018-9 000 00 由此得同解方程组1x2=1x,取x=2则可得x3=8对应的特征向量p=(21,2 则λ3=8对应的全部特征向量为k3p3(k3取非零实数) 1-A-1+A0 (3)|C-AE|= 0-1+0 2 21-A =(A-1)[(5-x)(1-A)+4] (A-1)[A2-6+9]=(4-1)(A-3)2=0
线性代数重点难点30讲 解出 A1=1时,解方程组(C-A1E)x=0 2-132 132 C-d,E 14-12 132 30 06 031 0 000 000 000 由此得同解方程组 令x3=3,则可得A1=1对应的特征向量p1=(-3, 1,3),则A1=1对应的全部特征向量为k1p1(k1≠0,k1∈R) λ2=A3=3时,解方程组(C-3E)x=0, C-3E=1 00 01 由此得同解方程组 = 3 令x3=1,则可得特征值λ2=A3=3对应的特征向量p2 =(1,-1,1),A2=A3=3对应的全部特征向量为k2P2(k2≠0,k2∈R) 注意(1)由(1)、(2)、(3)题可见,方阵有“几重”特征值,不见得对应的线性无关的特 征向量也有“几个”例如(2)题A1=2=-1是方阵B的二重特征值,对应的线性无关的特 征向量有两个,而(3)题中,A2=A3=3是方阵C的二重特征值,但对应的特征向量只有 个 (2)解特征方程,求特征根是一个难点求1AE-A1=0的根时,需要分解因式,但三 次或三次以上的多项式没有一般因式分解方法,给计算带来困难.若能在计算过程中就把 因子分解出来,就可简化计算.一般可采用如下两种提取1AE-A1公因子的方法:①把 AE-A的各行(或各列)加起来,若相等,则把相等的部分提出来后,剩下部分是一个 次多项式,肯定可以分解因式;②把|AE-A1的某一行(或某一列)中不含λ的两个元素 之一化为零,往往会出现公因子,提取即可 例2设三阶方阵A有特征值A1=-1,A2=A3=1,对应的特征向量分别为p1=(1
第13讲特征值与特征向量 1,1),p2=(1,0,-1),p3=(1,2,-4),试求方阵A及A∞ 解这是已知A的特征值特征向量,反过来求方阵A.这类问题所给定的特征向量数 目等于A的阶数,则由特征值与特征向量的定义有 AP, =-P,, Ap2= P2, AP3 =P3. A(P1,P2,p3)=(Ap1,Ap2,Ap3)=(-p1,p2,p3) 令(p1,P2,P3)=P,则 AP=P1,由此A=P P-l 232 P=(p1,P2,p3)=-102|,P1=|-2-5-3 11 232 故 124 111 344001 676 676 474= 故 (A2)s0 例3设f(x)=anx”+am1xm1+…+a1x+a是关于x的多项式(a1,i=0,1 2,…,m为常数),A为方阵方阵B=f(A)=anA”+amAm1+…+a1A+anE是关 于方阵A的多项式证明:若是方阵A的一个特征值则f()是方阵B=f(A)的一个 持征值 证设p是A的对应于特征值λ的特征向量,则Ap=A 对上式两端都左乘A,则有 A p= A dp= AAp= xp 个特征值为2,类似证明可得 A'p=xp(k=1,2,…m) 由此得出 f(A)P=aA"p+am-1A"p+.+a Ap+ ao Ep and p+am-id p+.+ a,Ap++ ao p
70 线性代数重点难点30讲 则由特征值与特征向量的定义可知f(A)是方阵B=f(A)的一个特征值 例4设p1,p2是方阵A的对应于特征值λ1,A2(A1≠A2)的特征向量,试证:p1+P2 不是A的特征向量 证因A1≠λ2,故p1,P2线性无关,假设p1+p2是A的对应于特征值λ的特征向量, 则 A(P1+P2)=A(P1+p2) (13.1 又因Ap1=A1p1,Ap2=A2P2,所以 A(p1+p2)=A1p1+k2p2, (13.2) 由(13.1)式,(13.2)式可得λ1p1+A2p2=A(p1+p2)=λp1+Ap2,即 (A-A1)p+(A-A2)p2=0 因p1,P2线性无关,故只有-A1=k-2=0,由此推出A1=2,这与已知矛盾故P1+ p2不是A的特征向量 例5设矩阵A=5b3,其行列式1A|=-1,又A的伴随矩阵A 有一个特征值为A0,属于的一个特征向量为a=(-1,-1,1).试求:a,b,c及入0的值 解由题设条件知:Ag=λa.若由此来计算所求数值,则计算繁琐,为此对上式两 端同左乘A,得 AA a= doAa, 由于AA'=1A|E=-E(A|=-1),故有-a=AAa,即方程组 +1 λa(-5-b+3)=1, (13.4) λ(-1+c-a)=-1. (13.5) 解上述方程组:(13.3)式+(13.5)式得2A(c-a)=0,因A0≠0(由A|=-1≠0,若 A是A的特征值则≠0,A的一个特征值为A=≠0,故c-a=0.即a=c 代入(13.3)式得A0=1,把A0代入(13.4)式得b=-3,将a=c,b=-3代人|A1,即 A|= 1-a 0 10
第13讲特征值与特征向量 71 即 故所求a=2,b=-3,c=2,A0=1 例6已知向量 a211 (1,k,1)是矩阵A=121的逆矩阵A的特征向量求 常数k 解这里显然要求出A,可以利用公式A=4A,也可以用对矩阵(A:E) 初等行变换 (E:A1)求出A 解A的特征方程A-1-AE|=0,解出A1=k2=1,A3=4,而特征向量a=(1 k,1)应满足(A1-E)a=0,即 解出k=-2,或a应满足(A-E)a=0即由方程组 4 4-4z 解出k=1,即 或1