西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第3讲 行列式的展开

线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

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第三讲行列式的展开 行列式的余子式和代数余子式 行列式按行(按列)展开

第三讲 行列式的展开 • 行列式的余子式和代数余子式 • 行列式按行（按列）展开 • 小结

余子式与代数余子式 例如 13 1222+a12+12 132132 1 23032 12u2133 1 3022u31 31 32 33 (a2a3-a2a2)+a12(a2a31-a21a3) 13 2132 22031 23 12 +araI a 23 32 33 31 33

11 23 32 12 21 33 13 22 31, 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如   11 22 33 23 32  a a a  a a   12 23 31 21 33  a a a  a a   13 21 32 22 31  a a a  a a 31 33 21 23 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a  a   一、余子式与代数余子式

在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素an 的余子式,记作M 记4=(-1)+M叫做元素an的代数余子式 例如 13 14 12 14 2M23=a3a32a34 31 32 34 42 43 2+3 23 = 23 3

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n ij a i j n  1 ij a M . ij 记   ij， i j Aij M    1 叫做元素 a ij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D  41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M    23 2 3 23 A 1 M    .  M23

春。 12…13……4 21 23 24 D 21 22 12 31 33 34 31 32 33 34 44 啥1 42 43 1+2 12 12 12 12 3 4+4 44 21 2 35 M 44 44 31 32 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 个代数余子式

, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D  , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M    12 1 2 12 A 1 M    .  M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M   1 . 44 44 4 4 A44   M  M  个代数余子式 . 行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一

二、行列式按行(列)展开法则 d= a m a 12 M12+a13M1 d=aata 12 a+aa 13 阶行列式等于第一行的每个元素与其代数余子式乘积 之和,不仅如此,我们还可以按同样的方法推出: 三阶行列式等于任一行的每个元素与其代数余子式乘积 之和。这一结论可以推广到更一般的情况

11 11 12 12 13 M 13 D  a M  a M  a 11 11 12 12 13 A 13 D  a A  a A  a 二、行列式按行（列）展开法则 三阶行列式等于第一行的每个元素与其代数余子式乘积 之和，不仅如此，我们还可以按同样的方法推出： 三阶行列式等于任一行的每个元素与其代数余子式乘积 之和。这一结论可以推广到更一般的情况

定理1.2行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和,即 D=an1A41+a12A412+…+ a.A(i=1,2,…,n) ∑aA6=D k=1 ∑ak4Ak=D k=1

定理1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即 i i i i inAin D  a A  a A   a 1 1 2 2 i  1,2,,n a A D n k  k kj  1 j a A D n k  ik ik  1

例1 31 12 513 D 201 53-3 51 c1+(-2)l3-1113 4 0……0-……1…0 5-530

例1 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2       D  5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1        1 2 3 c   c 4 3 c  c

511 =(-1)3+3-111-1 5-50 5…1…1 n2+f1 620 5-50 =(-1)43-62 82 5-50 5

5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 3 3        5 5 0 6 2 0 5 1 1    5 5 6 2 ( 1) 1 3       0 5 8 2    40. 2 1 r  r

三、小结 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式 的计算化为低阶行列式计算的重要工具 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和, kj*kyj D k=1 ∑ak4Ak=D k=1

行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式 的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和， 三、小结 a A D n k  k kj  1 j a A D n k  ik ik  1