西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第15讲 向量的线性相关性

线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

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第十五讲向量的线性相关性 线性组合与线性表示 线性相关与线性无关 线性相关与线性表示 线性相关性的矩阵判定法 小结

第十五讲 向量的线性相关性 • 线性组合与线性表示 • 线性相关与线性无关 • 线性相关与线性表示 • 线性相关性的矩阵判定法 • 小结

线性组合与线性表示 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(ai)有n个m维列向量 nxn u12 n 11 12 In 21a22 a2j a2n amlam2 n 向量组a,2,…,an称为矩阵A的列向量组

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A  (aij) mn 有n个m维列向量        a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组. 一 、线性组合与线性表示 a1 a2 a j an

类似地,矩阵A=(4i)又有m个m维行向量 nxn 11u12 1 21u22 2n a2 lil (i2 Lin ali T 人am1am2 向量组a1,a2,,am称为矩阵A的行向量组 ●

类似地,矩阵A  (aij ) mn 又有m个n维行向量        a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…,an, 构成一个m×n矩阵 A=( 1929 T m个n维行向量所组成 的向量组B1,B2,…B 9 B=/2 构成一个m×n矩阵

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量 组 m n m n m  , , , ,  1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2         T m T T B     2 1 ( , , , ) A   1  2   m

线性方程组的向量表示 a11x1+a12x2+…+|a1n划n=b1, 21x1a22X2+…+la2nh=b2 am1+am2x2+…+am+n=bm l1十a2X2 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应

a1 x1  a2 x2    an xn  b 线性方程组的向量表示                 . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n     方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

例三元线性方程组可以也可以用行向量表示 2x-x2+3x3=1,=(2,-131) 5x+x2+2x3=4→02=(524) X1-4x2+7x3=-1.a3=(,-4,7,1) 不难看出:第一个方程的三倍,减去第二个方程,就 是第三个方程。这种关系也可以用向量来表示: 3c1-C,=a 即:a3=3C1-02

例 三元线性方程组可以也可以用行向量表示                      (1, 4,7, 1) (5,1,2,4) (2, 1,3,1) x 4x 7x 1. 5x x 2x 4, 2x x 3x 1, 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3    不难看出：第一个方程的三倍，减去第二个方程，就 是第三个方程。这种关系也可以用向量来表示： 1 2 3 3   3 1 2 即：  3 

定义3.2给定向量组A:ax1,a2,…,an,对于任何 组实数k,k2…,kn,向量 k201+k2O2+…+knm 称为向量组的一个线性组合,k1,k2…,k称为这 个线性组合的系数

组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义3.2     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ，k ，k ， km称为这 向量 1 1 2 2 m m k   k   k  线性组合

给定向量组A:a1,a2,…,an和向量b,如果存在 一组数礼,2…,λn,使 b=A1a1+2a2+ n 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能 由向量组A线性表示 即线性方程组 x1C1+x2,+…+xnCn=b 有解 ●

m m b  1 1  2 2    一组数 ， ， ，使 给定向量组 和向量 如果存在 m m A b       , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x x x b      m m  则 向 量 b是 向 量 组 A 的 线 性 组 合 ， 这 时 称 向量 能 由向量组 线性表示． b A

例1设向量a=(100),cx2=(1y,=(31-1),B=(53}, 试问向量能否由向量组a1,a2,a3线性表示, 并求出一个这样的线性表示。 解设有一组数k,k2,k3使k;1+k2O2+k3a3=B 即:k0+k1+k1|=3 k1+k2 k,+3k ,亦即k2+k3=3 k,+k。一k,=1

(1,0, 1) , (1,1,1) , (3,1, 1) , (5,3,1) , T T 3 T 2 T 例3.1设向量1         试问向量能否由向量组1 , 2 ,3线性表示， 并求出一个这样的线性表示。 解 设有一组数k1 ,k2 ,k3使 k1 1  k 2 2  k 3 3                              1 3 5 1 1 3 k 1 1 1 k 1 0 1 即：k1 2 3              - k k k 1 k k 3 k k 3k 5 , 1 2 3 2 3 1 2 3 亦即：