140 线性代数重点难点30讲 第24讲矩阵运算方法与技巧(3) 矩阵秩的计算通常是通过矩阵的初等变换化为矩阵最简型,再讨论;或利用分块矩阵 乘法,结合齐次方程组进行分析.下面例1至例8给出了有关矩阵秩的重要公式.望读者 学习其解题方法的过程中,也能记住这些结论 例1试证:若A≠O,则R(A)≥1(证明留给读者) 例2试证:若A可逆,则R(AB)=R(B)(同理可证:若B可逆,则R(AB)= R(A))(参考第27讲例14).即用可逆方阵乘矩阵后,矩阵的秩不变 例3试证:R(A)=R(A)=R(AA)(参考第27讲例14) 例4试证:R(A,B)≤R(A)+R(B)(其中(A,B)表示A与B按同行合并后的 阵) 分析因为矩阵的行秩等于列秩,并统称为矩阵的秩,所以只需证明矩阵(A,B)、A和 B的列秩满足上述不等式,也就是矩阵(A,B)列向量组的秩不大于矩阵A和B列向量组的 秩的和那就只需证明矩阵(A,B)列向量组可由矩阵A,B列向量组线性表出即可 证设R(A)=p,R(B)=q,R(A,B)=m,又不妨设a1,…,为A中列向量的枥 大线性无关组,B1,…,月为B中列向量的极大线性无关组,U1,…,Un为(A,B)中列向量的 极大线性无关组,则U2,D2,…,Dn可由a1,;…a2,B1,…,B,线性表示,故有m≤p+q.即 R(A,B)≤R(A)+R(B) 例5试证:R(A+B)≤R(A)+R(B). 证注意,利用例4的结论 A +B O R(A+B)=R A+BB A+B-B B A B ≤R(A)+R(B) O 0 O 注:由例5可知,若A+B=kE(k≠0),则R(A)+R(B)≥n 例6试证:R(AB)≤minR(A),R(B) 证注意,利用例2的结论设A=(a4),B=(b),R(A)=p,R(B)=q 存在m阶可逆阵P1及s阶可逆阵Q1使 P:= 同理,存在s阶可逆阵P2及n阶可逆阵Q2,使 P,BC
第24讲矩阵运算方法与技巧(3 141 于是P1ABQ2=P1AQ1(Q:P2)P2BQ2,令C=Q1}P2=(cn),则 0…0 0 0 0 R(AB)=R(P, ABQ,)=R S min(p, q)= min(R(A),R(B)) 例7设A,B均为n阶方阵,若AB=O,则R(A)+R(B)≤n 证设矩阵B的列向量为B,阝2,…,B,则由分块矩阵的乘法有 AB=A(阝1,B2,…,B)=(AB1,AB2,…,ABn)=(0 即有 A=0(j=1,2,…,n) 可见B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解 设R(A)=r,则此方程组的基础解系所含的向量的个数为n-r个,于是向量组阝1, 阝2,…,Bn的秩≤n-r,即R(B)≤n-r R(A)+R(B)≤n 证设R(A)=,R(B)=s则有可逆方阵P1,,P2,2食 例8设A、B均为n阶方阵,试证R(AB)≥R(A)+R(B) E. O E. O P1AQI P2 AQ2= 于是 P, ABQ2= Pr AQ,(0: P2)P2 BO2 令 则P1ABQ2 E, 01c21 c22 0 C 00 0LO O 0…00…0 00 0
142 线性代数重点难点30讲 由此,有R(AB)=R(C.) 又易知任一矩阵每减少一行(或列)其秩减少不超过1,即 0 由于R(C)=n,所以R(C.)≥n-(n-r)-(n-s)=r+s-n R(AB)≥R(A)+R(B)-n 注意上述8个例题的证明方法是关于矩阵秩的命题证明的基本方法.8个例题的结 常被用来证明其他的命题.如下例 例9设A、B均为n阶方阵,ABA=B1,E为n阶单位矩阵,试证 R(E-AB)+ R(E+ AB)=n 证由ABA=B1,得ABAB=E,即E2-(AB)2=O,即(E-AB)(E+AB) O,从而由例7知 R(E-AB)+R(E+AB)≤n 另一方面(E-AB)+(E+AB)=2E,又由例5知 R(E-AB)+R(E+AB)≥n 综上,得 R(E- AB)+R(E + AB)= 例10设A‘是n(≥2)阶方阵A的伴随矩阵,证明 (1)R(A2)={1,R(A)=n-1;(2)1A1=1A"1 (A)<n-1 证(1)①已知R(A)=n,只要证明A‘是可逆矩阵,即R(A)=n,事实上, R(A)=n时,A可逆,1A1≠0,由AA=1AIE,知AA可逆,所以R(A)=n ②已知R(A)=n-1,要证R(A)=1 因为R(A)=n-1,有1A|=0,AA=1A1E=O,根据例7知,R(A)+R(A ≤n,从面R(A)≤n-R(A)=1;又R(A)=n-1,即矩阵A至少有一个n-1阶子 式不等于零,那么矩阵A‘中至少有一个元素非零即A≠O,根据例1知R(A)≥1 此推知R(A·)=1. ③已知R(A)<n-1时,证明R(A)=0. 由R(A)<n-1,A的所有n-1阶子式全为零.A=0(i,j=1,2,…,n).故A O,所以R(A)=0 (2)考虑A可逆与不可逆两种情形,①当A可逆时,1A1≠0,由AA=|A|E得 1A1A·1=11A|E|=1A1”,所以1A‘1=1A|"1,②A不可递时,由(1)知R(A ≤n-1,R(A)≤1.故1A1=0,即1A1=1A1”恒成立
笫24讲矩阵运算方法与技巧(3) 143 102 例11设A是4×3矩阵,且R(A)=2,面B=020,则R(AB)= 解由例2的结论知:对于m×n矩阵A,有 R(PAQ)= P(PA)=R(AQ)=R(A) 其中P为m阶可逆矩阵,Q为n阶可逆矩阵 因|B|=10≠0,故B为三阶可逆方阵,从而 R(AB=R(A=2 故填2 例12设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则() (A)当m>n时,必有1AB1≠0;(B)当m>n时,必有1AB|=0; (C)当n>m时,必有|AB|≠0;(D)当n>m时,必有|ABl=0 解这里,关键是利用例6的结论:R(AB)≤min{R(A),R(B) AB是m阶方阵,所以总有R(AB)≤m,若R(AB)=m,则AB|≠0;若R(AB)n时,AB不满秩,故|AB|=0,选(B) 下面利用例6的结论判别向量组的线性相关性 例13已知n维向量a1,a2,…,an线性无关,试判别向量组 ax1+gx2,ax2+a3,…,C,-1 anan+a1的线性相关性 解以向量组a1+a2,a2+a3,…,axn1+an,n+a1为行向量构成矩阵B: a+a 110 001a a,+a 00|a B CA 00 因为向量组a1,a2,…,an线性无关,R(A)=n 0,n为偶数; CI=1+(-1)= 2,n为奇数 当n为偶数时,|C=0,R(C)<n,于是 R(B)= R(CA)< R(C), R(A)<n, 向量组a1+a2,a2+a3,…,a-1+an,an+a1线性相关; 当n为奇数时,1C|≠0,R(C)=n,C为n阶可逆矩阵,从而 R(B)= R(CA)=R(A)=n 向量组∝1+a2,a2+a3,…,an1+an,an+a1线性无关
144 线性代数重点难点30讲 第25讲线性相关性概念的 进一步讨论(1) 在第9讲中,我们讨论了判断向量组是否线性相关的基本方法线性相关与线性无关 概念既是整个线性代数课程中的重点,更由于其抽象性而成为课程的难点之一下面结合 型例题就线性相关性概念进行较为全面的讨论 向量组的线性相关性的定义是:设向量组a1,a2,…,a1(s≥1),如果存在一组不全为 的数k1,k2,…,k,使得 k1a1+k2x2+…+ka1=0 则称向量组是线性相关的;否则称向量组线性无关,即只有当k1=k2=…=k,=0时, 能使k11+k22+…+ka1=0,或者说,任意一组不全为0的数k1,k2…k,都不能使k1a +k22+…+k1=0成立 该定义是讨论向量组的线性相关性的最根本的依据 例1设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中,n<m,E是n阶单位矩阵,若A =E,试证:B的列向量组线性无关 证设B=(B1,B2,…,B.),其中(=1,2,…,n)是B的第i个列向量.一定有 组数x1,x2,…,xn,使 B1+x2B2+ (B1,B,…p.).=Bx=0.其中x=(x1,x2…,x,) 上式两边左乘A,则得ABx=0,即Ex=0.即 x=(x1,x2,…,xn)=0, 1=x2=…=xn=0,所以由定义知B1,B2,…,B线性无关,即B的列向量组线 性无关 注意本例将向量组B,B2,…,B的线性相关性间题转化为齐次线性方程组Bx=0有 无非零解来讨论,这是一种常用的方法 由此定义,易推出如下的命题: 命题1单个非零向量线性无关
