矩阵的初等变换与初等矩阵 第7讲矩阵的初等变换 与初等矩阵 首先讨论矩阵的初等变换与初等矩阵的性质,然后讨论其两个重要应用 、初等变换与初等矩阵 1.初等变换:对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换 (1)交换矩阵的两行(列)(称为矩阵的第一种初等变换); (2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)(称为矩阵的第二种初等变换); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上(称为矩阵的第三种初等变换). 2.初等矩阵.对单位矩阵E施行第一种、第二种或第三种初等变换一次后得到的矩阵 分别叫第一种(记E(i,j))、第二种(记E(i(k))第三种(记E(i,j(k))初等矩阵 3.初等矩阵是可逆矩阵,且逆矩阵仍是初等矩阵: E(i,j)=E(i,j), E(i(k))-= E(i(k - )) E(i (k) =E(i,(-k)). 4.初等变换与初等矩阵的关系:对矩阵A左乘第一、二、三种初等矩阵,就相当于对A 的行进行一次同种的初等变换;对矩阵A右乘第一、二、三种初等矩阵,就相当于对A的列 进行一次同种的初等变换 例1设矩阵 123 A=456,P=010,Q=001 789 010 求PAQ 解因为P=E(1,3),Q=E(2,3)均为初等矩阵,而初等矩阵左乘矩阵A,相当于对 矩阵A施行初等行变换,右乘矩阵A,相当于对矩阵A施行初等列变换.所以,P=E(1,3) 左乘矩阵A相当于把A的第1,3行交换,P左乘A即相当于A的第1,3行交换20次,其 结果仍为A同理可知,Q2右乘A即把A的第2,3列交换21次,其结果为A的2,3列交换 置 1001「123 132 故 PAQ=0101456001 001789010798 例2设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆,(2)求AB 证(1)因为将A的第i行和第j行交换位置相当于A左乘n阶初等矩阵E(i,j),所以 E(i,j)A=B 而1B|=|E(i,j)A|=1E(i,j)1A1=-1A1≠0.故B可逆
线性代数重点难点30讲 (2)由E(i,j)A=B,得E(i,j)AB=E 因此 E 例3设矩阵 a1a1 a13 B 的ta+auan+aua3+a1 01已要 P2=010 101 则必有( (A)APIP2=B; (B)APPI=B: (C)P,P,A-B (D)P2PIA=B 解据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,因为P1=E(1,2),P2=E(3,1(1) 都是初等方阵,该选择题的四种结论右端都是矩阵B,而B是由矩阵A依次经初等行变换r +r1,r1→r2,即是对A左乘P2,然后再左乘P1所得,故应选择(C).若用矩阵乘法一 证,然后作出选择是费时费力的方法 例4设矩阵 a2 (3 b2 b3 A=b1 b2 b3 B=a1+3 Ca2+3c2a3+3c3 P 001 则有( (A)P2PIA= B (B)P,AP2=B (C)P,AP,=B (D)AP, P2= B 解因为P1=E(1,2),P2=E(2,3(3),而矩阵B是由矩阵A依次经初等行变换 r:“r2和r2+3r3,即先用初等方阵P1左乘A,然后再用初等方阵P2左乘所得.故应选 例5设n阶方阵A经过若干次初等变换后变为B,若A可逆,则( (A)|A=|B (B)|B|≠0; (C)|A||B1>0; (D)IB1可取任意值 解根据题意设B=PAQ,其中P、Q皆为n阶初等方阵 因为A可逆,初等方阵P、Q皆可逆,故A1≠0,P1≠0,1Q1≠0.只能推得: B1=P1A11Q1≠0,故应选(B)
第7讲矩阵的初等变换与初等矩阵 例6设A=ana2a2,B=a21+2ana2+2anax+2a12, P1=001,P2=210,则有( 010 001 (A)P,AP2=B (B)AP,P2=B (C)P2PIA=B (D)P,AP,=B 解易知P1=E(2,3),P2=E(2,1(2).而矩阵B是由矩阵A依次进行初等列变 换c2C3和初等行变换r2+2r1,即用初等方阵P1右乘A,再用初等方阵P2左乘A所得 故应选(D) 例7把下列非奇异矩阵分解为初等矩阵的乘积: 113 20 解对A进行如下初等变换 31 103 31 100 03 013 010 00 写出每一次变换所对应的初等矩阵,行变换所对应的初等矩阵用P(i=1,2,3)表示,列变 换所对应的初等矩阵用Q,(i=1,2,3)表示,并同时写出它们的逆矩阵 1-20 120 10, 001 001 P 001 P 1 I 001 00 010,P2=010
性代数重点难点30 Q2=001,Q2=00 010 010 01 100 Q3=01-3,Q3=013 0 010 0010 8 于是A=P1P2PQ3Q2Q1 1001「100110011001 10010 001L301」00-8L001」010001 下面讨论初等变换的两个重要应用 二、利用初等变换把矩阵化为行最简形 例8把下列矩阵化为最简形矩阵 102-1 (1)2031 (2)03-43|, 304-3 4 231-3-7 120-2 403 解利用矩阵的初等行变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,是求矩阵 的秩和解线性方程组过程中一种很重要的运算, (1)203100-13+2 r3÷2 304-3 r1+r2 000 0001/:7 0010 00-10 0010 000 (2)03 01-12
第7讲矩阵的初等变换与初等矩阵 01051 3/+32/0 00-3-9 0-1111 r-272 120-2-4-32120-2-4 (3) 3-2830n-20-88912 10 1000 2100 0100 01-1-1-1 01-103 0001 三、用初等变换求逆矩阵 方阵A非奇异的充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积,欲求A的逆 矩阵时,首先由A与E作出一个n×2n矩阵,即 (AE), 其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用初等行变换),将它的左半部的矩阵A化为单位 矩阵,那么原右半部的单位矩阵就同时化为A-1 (A:\行初等变换 (EA1) 例9利用初等变换,求下列方阵的逆矩阵 02 (1)A=315|, (2)A= 232 解(1)依据初等变换求逆矩阵的方法,得 (A:E)= 333 212 153 100 01 002:-101 0-1011-2 010:-1 2
34 线性代数重点难点30讲 123 100 10 12 0 3-20-11000 2 0100 (2)(AE)= 1-2-3-200102… 21:000 2-3-20010 010:0012 rI 0121:0001 049510-304-22001110-3-4 100-1-10 010-1:-20 4.6 r+23001110-3-4 000121-6-10 n2+n010001 0010 036 例10设三阶矩阵A满足A=(1=1,2,3),其中列向量a1=(12)2 a2=(2,-2,1)2, a2=(-2,-1,2),试求矩阵A 解由A1=a1,Ax2=2a2,3=3a3,得 A(ax1,a2,a3)=(a1,2a2,3a3), 记P=(a1,a2,3),B=(a1,2a2,3a3),上式可写为AP=B 因为
第7讲矩阵的初等变换与初等矩阵 35 221 27≠0, 故P可逆由此可得A=BP1.下面用初等变换法求P 2-2 0-6 21 100 0-3 212263 23.6229 122 01000 2 2 l2-2:1 120 9 010 010 92929 92919 9 100 22 010 192929 122 21 12 所以 226」-2-12 702 26
