第2讲n阶行列式的性质和计算 第2讲n阶行列式的性质和计算 计算行列式的值是行列式理论的核心问题,其基本方法有两种:一是直接按行列式定 义计算,但它只适用于二、三阶行列式及特殊行列式,如上、下三角行列式,对角行列式;二是 由行列式性质或由行列式性质与行列式按行(列)展开法联合使用的计算方法 、利用行列式的定义计算 例1利用对角线法则计算三阶行列式abc b be2+ca2+ab2-a2b-b'c-ca bc(c-b)+a(c-b)+a(b2 (a-b)(b-c)(c-a) 注意对角线法则只适用于二阶、三阶行列式的计算;含字母的二、三阶行列式计算结 果应化简 10 例2设f(x)= 求f(x)中x2的系数 1043 1 解按照行列式的定义,f(x)的各项均取自不同行不同列的四个元素的乘积.因此, 含x2的项由四项构成: a1a4422a3-a1a4a23a3+ana243a43 a24a42a=16x2 故f(x)中x2的系数为16 例3计算n阶行列式 其中主对角线上元素都是a(≠0),a1n=an1=1,其余位置均为零 解由n阶行列式定义知,D,中只有两项非零,即 a1na22""(n-1Xur-1)ant = a-2
线性代数重点难点30讲 r(12…n)+r(12…n)=0,r(12…n)+r(n2…(n-1)1)=2n-3, 故 =a+(-1)2m-3a2 二、利用行列式性质计算 2 例4计算四阶行列式D=/7 913 3-1 解D 互换第1,2行 13 r2+2n0-13 -9137 r3+2r 0 13 0 13 -170-13 00168=(-13)16·2=32.m 此题解法是计算行列式的一般解法,特别是数字行列式,只要能使行列式变成上三角行 列式,就可以写出行列式的值.但整个计算过程都必须耐心细致,因为“一着不慎,全盘皆 输”(一个数字计算出错,将导致错误的结果).因此,初学者要想迅速准确地计算出行列式 的值,必须在掌握行列式性质的基础上进行大量的解题训练.此外,我们将看到:此项训练 越扎实,该课程以后各章节(如矩阵变换,解方程组等)及后续课程(如线性规划等)的学习 便越顺利 例5计算行列式 b-c 2 2
第2讲n阶行列式的性质和计算 解因行列式各行元素之和相同,故 a+b+c a+b+c a+b+c =(a +b+c)26 b-c-a 2 2c c-a-b (a+b+c)0-(a+b+c) =(a+b+c)3 -(a+b+c) 例6计算4阶行列式: ab bb h b b 解行列式各行(列)的元素之和是相同的,于是与例5方法相同.这里把各列都加到第 1列上,再提取公因式a+3b,并消元化简为上三角行列式: 3+c4 a+36 h b (a+3b) a+3b b a b a+36 bb a 1 a r2-F1 1 b (a+3b) 0a-b0 =(a+3b)(a-b)3 00 例7计算下列行列式 1 20 1-2
线性代数重点难点30讲 解根据行列式构造上的特点,使第1列上除元素a1外的其他元素化为零,行列式便 转化为三角行列式 026 003 000 、利用行列式性质及按行(列)展开法计算 412 202 例8计算行列式D4= 10520 解利用行列式性质,把D中第4行除aa=1外的其余元素消为0后,再按第4行展 开,从而把D4降为3阶行列式,再继续降阶计算 10 202 1 (-1) 10 3 17 例9计算行列式D4= a0a 0 解行列式中每列四个元素之和均为2a+b,应将第2,3,4列加到第1列对应元素上 来,提出公因式后,使该列尽可能多的元素化为零,再按此列展开.并可继续实施上述过程 逐次降阶 C1+c:+c3+c4 a0a b I b 0
第2讲n阶行列式的性质和计算 b b =(2a+b)0 b 0 =(2a+b)(-b) b-a-b(62-4a2) 例10计算行列式 a 其中对角线上元素均为a,其余未写出的元素都是0 解应用行列式展开定理,依次按第1列和第一行两次展开将其转化为一个(n-1)阶 和一个(n-2)阶对角行列式之和,即 00 (-1)1(-1) 阶
