习题7.1 1.设V是实数域R上所有的无穷数列所组成的集合,即 V={(a,a2,a3,)|a1∈R,i=1,2,3,…} 在V中定义加法和数量乘积如下 (a,a2,a3,)+(b,b2,b,.)=(a+b,a2+b2,a3+b3 k(a,a2,a3,)=(ka1,ka2ka,…) 证明:V是R上的一个线性空间 证1)根据定义,显然有(a,a2a3,)+(b,b2,b3,)=(b,b2,ba,…)+(a,a2,a3,) 2)[(a1,a,a3,)+(b,b2,b3,)]+(c,c2,c3)=(a1,a2a3,)+[(b1,b2,b,.)+ (c1,c2c3,)] 3)(0,0,0,)+(a1,a2a3,)=(a,a2a3,) )+(-a1,-a2,-a,.)=(0,0,0,,) 5)1(a,a2,a,)=(a1,a2,an) 6)对于任意实数kl,a=(a,a2,a3,),有(kl)a=k(la=ka) 7)k[a,a,a3,)+(b,b2,b,)]=[k(a,a2a3,)+k(b,b2,b,)] 8)(k+1)(a1,a2,a,)=k(a1,a2,a3,)+l(a1,a2,a3,.) 所以V是R上的一个线性空间 2.设V是全体定义域为实数域的实函数所组成的集合.证明:关于函数的加法和数量乘积, V作成R上的线性空间 注:设S是一个集合,F是数域,V是定义域为S,值在F中的函数所构成的集合,则关于 函数的加法和数量乘积,V作成R上的线性空间 证设fx)g(x)h(x)是任意3个定义域为实数域的实函数,k是任意实数 显然f(x)+g(x),kfx)均是定义域为实数域的实函数; f(x),g(x)h(x)关于加法满足交换律和结合律; 存在0函数,使0+f(x)=f(x) 对于f(x),存在-f(x),使f(x)+[-f(x)=0 (k1)f(x)=k[I f(x)]=l[k f(x)I (k+l)f(x)=k f(x+I f(x) kf(x)+g(x)=k f(x)+kg(x) 所以,V作成R上的线性空间 3.设V是全体实数的二元数列所构成的集合.证明:V对于下面定义的运算: (a, b)e(c, d(atc, b+d+ac) kO(a, b )(ka, kb+k(k-Da) 是实数域上的一个线性空间 注:为了与通常的加法与数量乘积区别,我们分别用“⊕”与⊙来代表特别定义的加法与数 量乘积,下同 证1)按照定义显然(a,b)(c,d=(c,dH(ab) 2)((a, b)e(c, d)e(e, f=(a+c, b+d+ac)e(e, fF(a+c+e, b+d+ac+fta+ce) (a1b)[(cd)(e,) 3)(0,0)是零向量,(0,0)(a.b)=(a,b) 4)对于(a,b),(-a,a2b)是它的负元,(a,b)/(-a,a2b)=(0,0) 5)1O(a, b(la, 1b+0(a, b)
习题 7.1 1.设 V 是实数域 R 上所有的无穷数列所组成的集合，即 V={(a1,a2,a3,...)| ai∈Ri,i=1,2,3,…} 在 V 中定义加法和数量乘积如下： (a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,...) k(a1,a2,a3,...)=(ka1,ka2,ka3,…) 证明：V 是 R 上的一个线性空间． 证 1）根据定义，显然有(a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)=(b1,b2,b3,...)+(a1,a2,a3,...) 2)[(a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)]+(c1,c2,c3,...)=(a1,a2,a3,...)+[(b1,b2,b3,...)+ (c1,c2,c3,...)] 3) (0,0,0,...)+(a1,a2,a3,...)=(a1,a2,a3,...) 4) (a1,a2,a3,...)+(-a1,-a2,-a3,...)=(0,0,0,...) 5)1(a1,a2,a3,...)=(a1,a2,a3,...) 6)对于任意实数 k,l,α=(a1,a2,a3,...)，有(kl)α=k(lα)=l(kα) 7) k[(a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)]=[k(a1,a2,a3,...)+k(b1,b2,b3,...)] 8)(k+l)(a1,a2,a3,...)= k(a1,a2,a3,...)+l(a1,a2,a3,...) 所以 V 是 R 上的一个线性空间． 2.设 V 是全体定义域为实数域的实函数所组成的集合．证明：关于函数的加法和数量乘积， V 作成 R 上的线性空间． 注：设 S 是一个集合，F 是数域，V 是定义域为 S，值在 F 中的函数所构成的集合，则关于 函数的加法和数量乘积，V 作成 R 上的线性空间． 证 设 f(x),g(x),h(x)是任意 3 个定义域为实数域的实函数,k,l 是任意实数． 显然 f(x)+g(x)， kf(x)均是定义域为实数域的实函数； f(x),g(x),h(x)关于加法满足交换律和结合律； 存在 0 函数，使 0+ f(x)= f(x)； 对于 f(x)，存在[-f(x)]，使 f(x)+[- f(x)]=0 (kl)f(x)=k[l f(x)]=l[k f(x)]; (k+l) f(x)=k f(x)+l f(x); K[f(x)+g(x)]=k f(x)+kg(x)． 所以，V 作成 R 上的线性空间． 3.设 V 是全体实数的二元数列所构成的集合．证明：V 对于下面定义的运算： (a,b)(c,d)=(a+c,b+d+ac) k⊙(a,b)=(ka,kb+ 2 ( 1) 2 1 k k a ) 是实数域上的一个线性空间． 注：为了与通常的加法与数量乘积区别，我们分别用“”与⊙来代表特别定义的加法与数 量乘积，下同． 证 1) 按照定义显然(a,b)(c,d)= (c,d)(a,b); 2) [(a,b)(c,d)](e,f)= (a+c,b+d+ac)(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce) = (a,b)[(c,d)(e,f)]； 3) (0,0)是零向量，(0,0)(a,b)=(a,b)； 4) 对于(a,b)，(-a,a 2-b)是它的负元, (a,b)(-a,a 2-b)=(0,0)； 5)1⊙(a,b)=(1a,1b+0)=(a,b)
6)(kl)O(a, b)-(kla, klb+-kI(kI-1)a2) k⊙⊙ab)}=k⊙(alb+1(1-1)a2)=(kakb+kl-1)a2+k(k-1)2a2) =(kla, klb--kla+=k1a (kla, klb+kl(kI-1)a lo(kO(a, b) 7)kO[(a, b)e(c, d )]=kO(a+c, b+d+ac (k(atc ), k(b+d+ac)+k(k-l(a+c) =(ka+kc, kb+kd+kac+k(k-D(a+c)-) [kO(a, b)]o(kO(c, d)]=(ka, kb+k(k-1)a- )e(kc, kd+=k(k-1)c) =(ka+kc, kb+=k(k-D)a+ kd+=k(k-1)c+kac =(ka+kc, kb+kd+kac+k(k-l(a+c))kol(a, b)e(c, d ) 8)(k+1)⊙(a,b)=(k+)a(k+1)b+(k+)(k+l-1)a2) [kO(a, b)]e[lO(a, b)l=( ka, kb+k(k-1)a )e(la, Ib+-1(l-1a) =(k+1a(k+1b+k(k-1a2+l(l-1)a2+ka2)=(k+1)⊙(ab) 所以V是实数域上的一个线性空间 4设VⅤ是全体正实数所构成的集合.证明:V对于下面定义的运算 aeb=ab 是实数域上的一个线性空间 证1)显然Ⅴ关于定义的⊕运算满足ab=ba 3)对于正实数1,相当于零向量,因为al=a=a 4)对于任意正实数a,记b=-,则b也是正实数,且ab=ab=1 5)1⊙a=a=a 6)(A⊙a=akk(a)=k⊙a=ak=lk⊙a) 7)(k+D⊙a=aka=akal=(k⊙a)e(⊙a) 8)k⊙aeb)=k⊙(ab)=(ab}=abk=k⊙a)(k⊙b) 所以V是实数域上的一个线性空间 5设V={a,b)ab∈F},现在取加法为通常的加法,而数量乘积定义为 证明:V关于加法和数量乘积,不是F上的线性空间(提示:考虑公理⑦) 证因为(k+)⊙ab)=(a(k+1)b),而k⊙(ab)+o(a,b)=(2a,kb+b)≠(k+)⊙(ab) 所以V关于加法和数量乘积,不是F上的线性空间
6)(kl)⊙(a,b)=(kla,klb+ 2 ( 1) 2 1 kl kl a ) k⊙[l⊙(a,b)]= k⊙(la,lb+ 2 ( 1) 2 1 l l a )=(kla,klb+ 2 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1 kl l a k k l a ) =(kla,klb 2 2 2 2 2 1 2 1 kla k l a )=(kla,klb 2 ( 1) 2 1 kl kl a )= l⊙[k⊙(a,b)] 7) k⊙[(a,b)(c,d)]= k⊙(a+c,b+d+ac)=(k(a+c),k(b+d+ac)+ 2 ( 1)( ) 2 1 k k a c ) =(ka+kc,kb+kd+kac+ 2 ( 1)( ) 2 1 k k a c ) [k⊙(a,b)][k⊙(c,d)]= (ka,kb+ 2 ( 1) 2 1 k k a ) (kc,kd+ 2 ( 1) 2 1 k k c ) =(ka+kc, kb+ 2 ( 1) 2 1 k k a + kd+ 2 ( 1) 2 1 k k c +k 2ac) =(ka+kc, kb+kd+kac+ 2 ( 1)( ) 2 1 k k a c )= k⊙[(a,b) (c,d)] 8) (k+l)⊙(a,b)= ((k+l)a,(k+l)b+ 2 ( )( 1) 2 1 k l k l a ) [k⊙(a,b)][l⊙(a,b)]= (ka,kb+ 2 ( 1) 2 1 k k a )(la,lb+ 2 ( 1) 2 1 l l a ) =((k+l)a,(k+l)b+ 2 ( 1) 2 1 k k a + 2 ( 1) 2 1 l l a + kla 2)= (k+l)⊙(a,b) 所以 V 是实数域上的一个线性空间． 4.设 V 是全体正实数所构成的集合．证明：V 对于下面定义的运算： ab=ab k⊙a=a k 是实数域上的一个线性空间． 证 1）显然 V 关于定义的运算满足 ab= ba 2) (ab)c= a(bc) 3)对于正实数 1，相当于零向量，因为 a1=1a=a 4)对于任意正实数 a,记 b= a 1 ，则 b 也是正实数，且 ab=ab=1 5) 1⊙a=a 1=a 6) (kl)⊙a= a kl,k(l⊙a)=k⊙a l= a kl l=l(k⊙a) 7) (k+l)⊙a= a (k+l) a= a k a l =(k⊙a) (l⊙a) 8) k⊙(ab)= k⊙(ab)=(ab) k=a kb k=(k⊙a)( k⊙b) 所以 V 是实数域上的一个线性空间． 5.设 V={(a,b)|a,b∈F}，现在取加法为通常的加法，而数量乘积定义为 k⊙(a,b)=(a,kb) 证明：V 关于加法和数量乘积，不是 F 上的线性空间（提示：考虑公理⑦）． 证 因为(k+l)⊙(a,b)=(a,(k+l)b),而[k⊙(a,b)]+[l⊙(a,b)]=(2a,kb+lb)≠(k+l)⊙(a,b) 所以 V 关于加法和数量乘积，不是 F 上的线性空间．
6①{(a,ba+bab∈F}是不是F3的子空间?为什么? ②(1,a,3aa∈F}是不是F3的子空间?为什么? ③设l是平面上的一条不经过原点的直线.始点在原点、终点在l上的平面向量全体所构成 的集合是不是平面的子空间?为什么? ④全体F上的n×n上三角形矩阵所构成的集合,是不是 Matnxn(F)的子空间?为什么? ⑤全体F上的主对角线元素之和为零的n×n矩阵全体所构成的集合,是不是 Matix(F)的子 空间?为什么? ⑥{(3)=0(x)∈F[xl}是不是Fx]n的子空间?为什么? ⑦设a∈F,{AaA∈ Matn(F}是不是F的子空间?为什么? ⑧设ab∈R,并且a<b,全体在区间[ab]连续实函数所构成的集合,关于函数的加法和数量 乘积是不是在第2题的注中,取S=[ab],F=R时的V的一个子空间?为什么?(注:把“连 续”改成“可积”结论是一样的.) ⑨{A=0A∈ Matix(F)是不是 Manx(F)的子空间?为什么? 证①记S={A=OA∈ Matnxn(F} (ab,a+b)+(c,d,c+d)=(ac,b+d,a+b+c+d)仍属于所给集合S k(aba+b)=( ka kb. ka+kb)也属于所给集合S 所以S是 Matnxnl(F)的子空间 ②记S={(a3a)a∈F},则 (1,a,3a)+(1,b,3b=(2,a+b,3a+3b)不属于所给集合S,所以S不是F3的子空间 ③因为l是平面上的一条不经过原点的直线,根据向量加法,始点在原点、终点在l上的任 意两个不相等的向量之和已不再是始点在原点、终点在l上的向量,所以所给集合不是平面 的子空间 ④设有任意n×n上三角形矩阵AB可写成 bu bu2 0b2 ,B= 00 00 0a2+b2…a2n+b A+B= 仍是上三角形矩阵 b 也是上三角形矩阵 所以全体n×n上三角形矩阵是 Ataxi(F)的子空间 ⑤是子空间.因为任意两个主对角线元素之和为零的n×n矩阵之和其主对角线元素之 和仍为零:F中的任意数k乘一个主对角线元素之和为零的n×n矩阵,得到的n×n矩阵主 对角线元素之和也为零 ⑥记S={f3)=0f(x)∈FKx]},则对于S中任意两个多项式f(x),g(x,有f3)=0,g(3)=0
6.①{(a,b,a+b)|a,b∈F}是不是 F 3的子空间？为什么？ ②{(1,a,3a)|a∈F}是不是 F 3的子空间？为什么？ ③设 l 是平面上的一条不经过原点的直线．始点在原点、终点在 l 上的平面向量全体所构成 的集合是不是平面的子空间？为什么？ ④全体 F 上的 n×n 上三角形矩阵所构成的集合，是不是 Matn×n(F)的子空间？为什么？ ⑤全体 F 上的主对角线元素之和为零的 n×n 矩阵全体所构成的集合，是不是 Matn×n(F)的子 空间？为什么？ ⑥{f(3)=0|f(x)∈F[x]n}是不是 F[x]n的子空间？为什么？ ⑦设α∈F n，{Aα|A∈Matn×n(F)}是不是 F n的子空间？为什么？ ⑧设 a,b∈R，并且 a<b，全体在区间[a,b]连续实函数所构成的集合，关于函数的加法和数量 乘积是不是在第 2 题的注中，取 S=[a,b]，F=R 时的 V 的一个子空间？为什么？（注：把“连 续”改成“可积”结论是一样的．） ⑨{|A|=0|A∈Matn×n(F)}是不是 Matn×n(F)的子空间？为什么？ 证 ①记 S={|A|=0|A∈Matn×n(F)}，则 (a,b,a+b)+(c,d,c+d)= (a+c,b+d,a+b+c+d)仍属于所给集合 S； k(a,b,a+b)= (ka,kb,ka+kb)也属于所给集合 S． 所以 S 是 Matn×n(F)的子空间． ②记 S={(1,a,3a)|a∈F}，则 (1,a,3a)+(1,b,3b)= (2,a+b,3a+3b)不属于所给集合 S，所以 S 不是 F 3的子空间． ③因为 l 是平面上的一条不经过原点的直线，根据向量加法，始点在原点、终点在 l 上的任 意两个不相等的向量之和已不再是始点在原点、终点在 l 上的向量，所以所给集合不是平面 的子空间． ④设有任意 n×n 上三角形矩阵 A,B 可写成 A= nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 ，B= nn n n b b b b b b 0 0 0 22 2 11 12 1 A+B= nn nn n n n n a b a b a b a b a b a b 0 0 0 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 仍是上三角形矩阵； kA= nn n n ka ka ka ka ka ka 0 0 0 22 2 11 12 1 也是上三角形矩阵． 所以全体 n×n 上三角形矩阵是 Matn×n(F)的子空间． ⑤是子空间．因为任意两个主对角线元素之和为零的 n×n 矩阵之和其主对角线元素之 和仍为零；F 中的任意数 k 乘一个主对角线元素之和为零的 n×n 矩阵，得到的 n×n 矩阵主 对角线元素之和也为零． ⑥记 S={f(3)=0|f(x)∈F[x]n}，则对于 S 中任意两个多项式 f(x),g(x),有 f(3)=0，g(3)=0
从而f(3)+g(3=0,说明x)+g(x)∈S;设k是F中任一数,则kf(3)=0,所以kf(x)也属于S.故 S是F[x的子空间 ⑦记S={AaA∈ Manx n(F},对于任意Aa1,Aa2∈S,有Aa+Aa2=A(a1+a2)∈S k(Aa)=A(kan)∈S,所以S是F的子空间 ⑧任意两个ab]上连续的实函数之和仍为ab]上连续的实函数,一个实数乘一个ab]上 连续的实函数也是ab]上连续的实函数,所以ab]上连续的实函数的全体是V的一个子空 0 ⑨不是.例如 的行列式为零,但 0)(00 的行列式不为零 7证明:线性空间的两个子空间之交是子空间 例71.2①和②中的W1和W2之并是不是 Maton(F)的子空间?为什么? 证设V1和V2是线性空间V的两个子空间,则 对于任意aB∈v1∩V2,有 a+B∈v1,ka∈V, a+B∈V2,ka∈V2, 从而a+β∈vnV2, kaEVInV2 所以V1∩V2也是V的子空间 又例71.①和②中的W1和W2之并不是Mtxa(F)的子空例如当n=2时,A= 对称矩阵,y10是反对称矩阵,但AB既不是对称矩阵,也不是反对称矩阵,w1 UW2满足加法封闭性. 00 00 8设E1= E2 El 证明:{E1,E12E2E12}线性 无关 证设有数k,k2,k,k4,使ka1+k2a2+ka3+k4a4=0 kk2)_(0 即有k=k2=k=k4=0,所以{E1,E12E21,E2}线性无关 9设A1= 证明:任何2×2实对称矩阵都能由{A1,A2, A3}线性表出. 证对于任一实对称矩阵A 显然A=a
从而 f(3)+g(3)=0，说明 f(x)+g(x)∈S；设 k 是 F 中任一数，则 kf(3)=0，所以 kf(x)也属于 S．故 S 是 F[x]n的子空间． ⑦记 S={Aα|A∈Matn × n(F)}，对于任意 Aα1，Aα2∈S，有 Aα1+Aα2=A(α1+α2)∈S， k(Aα1)=A(kα1)∈S，所以 S 是 F n的子空间． ⑧任意两个[a,b]上连续的实函数之和仍为[a,b]上连续的实函数，一个实数乘一个[a,b]上 连续的实函数也是[a,b]上连续的实函数，所以[a,b]上连续的实函数的全体是 V 的一个子空 间． ⑨不是．例如 0 0 1 0 和 0 0 1 0 的行列式为零，但 0 0 1 0 + 0 0 1 0 = 0 1 1 0 的行列式不为零． 7.证明：线性空间的两个子空间之交是子空间． 例 7.1.2①和②中的 W1和 W2之并是不是 Matn×n(F)的子空间？为什么？ 证 设 V1和 V2是线性空间 V 的两个子空间，则 对于任意α,β∈V1∩V2，有 α+β∈V1，kα∈V1， α+β∈V2，kα∈V2， 从而α+β∈V1∩V2，kα∈V1∩V2， 所以 V1∩V2也是 V 的子空间． 又例 7.1.2①和②中的 W1和 W2之并不是 Matn×n(F)的子空．例如当 n=2 时，A= 0 0 1 0 是 对称矩阵，B= 1 0 0 1 是反对称矩阵，但 A+B 既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵，W1 ∪W2满足加法封闭性． 8.设 E11= 0 0 1 0 ，E12= 0 0 0 1 ，E21= 1 0 0 0 ，E12= 0 1 0 0 ．证明：{E11,E12,E21,E12}线性 无关． 证 设有数 k1, k2, k3, k4,使 k1α 1+k2α2+k3α3+k4α4=0 得 3 4 1 2 k k k k = 0 0 0 0 即有 k1=k2=k3=k4=0，所以{E11,E12,E21,E12}线性无关． 9.设 A1= 0 0 1 0 ，A2= 1 0 0 1 ，A3= 0 1 0 0 ，证明：任何 2×2 实对称矩阵都能由{A1，A2， A3}线性表出． 证 对于任一实对称矩阵 A= b c a b ，显然 A=a 0 0 1 0 +b 1 0 0 1 +c 0 1 0 0
所以任何2×2实对称矩阵能由{A1,A2,A3}线性表出 10证明:任何4个2×2对称矩阵必定线性相关(提示:利用上题 证数域F上的所有2×2对称矩阵构成Mat2×(F)的子空间,设该子空间为S,则 是S的一个基,说明dim(S)=3,所以任意4个2 00 0 2对称矩阵必定线性相关 1l在第2题的V中,证明:sn(x)cos(x)e,ex线性无关 提示:设ksin(x)+kcos(x)+kex+kex=0,其中0是零函数,在这个式子中,依次令x=0,x= π,x=2I.来推出k2=k=k=0 证设ksin(x)+kcos(x)+kex+kex=0,其中0是零函数,在这个式子中,依次令x=0,x=m, X=2, k3+k4=0 k2+ke"+ke =0 解上述线性方程组得k=k=k=0 从而ksin(x)+kcos(x)+kex+kex=0就是ksin(x=0 再取x=m/2,得k=0 总之得sin(x),cosx)e,ex线性无关 12设W都是Ⅴ的子空间,并且Wo={0},W1cW1.设a∈W-W1,j=1,2,s.证明:{u1, a2…,a}线性无关 证设有ka1+ka2+.+kas=0 移项得kas=-k1a1-k2a2-.-ksas 上式右端每一项都属于Ws1,所以kas属于Wsl 若k≠0,则a属于Ws1,矛盾 故k=0 从而ka1+k2a2+.+ka3=0就是ka1+k2a2+.+ks1as1=0 类似的,可以证明ks1=0,k2=0.,k1=0 所以{a1,2,,a3}线性无关 习题72 1求g(x)=x2-3x+1在基{(x-2)2x+2,3}下的坐标 解设g(xx23x+1在基1(x2)(x+2)3下的坐标为k2,即有 x2-3x+1=k(x-2)2+k2(x+2)+3k3 将右边整理,并比较x的同次幂的系数得
所以任何 2×2 实对称矩阵能由{A1，A2，A3}线性表出． 10.证明：任何 4 个 2×2 对称矩阵必定线性相关（提示：利用上题）． 证 数域 F 上的所有 2×2 对称矩阵构成 Mat2×2(F)的子空间，设该子空间为 S，则 A1= 0 0 1 0 ，A2= 1 0 0 1 ，A3= 0 1 0 0 是 S 的一个基，说明 dim(S)=3，所以任意 4 个 2× 2 对称矩阵必定线性相关． 11.在第 2 题的 V 中，证明：sin(x),cos(x),e x , e -x线性无关． 提示：设 k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3e x +k4e -x =0,其中 0 是零函数，在这个式子中，依次令 x=0,x= π，x=2π．来推出 k2= k3= k4=0 证 设 k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3e x +k4e -x =0,其中 0 是零函数，在这个式子中，依次令 x=0,x=π， x=2π，得 0 0 0 2 4 2 2 3 2 3 4 3 4 k k e k e k k e k e k k 解上述线性方程组得 k2= k3= k4=0， 从而 k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3e x +k4e -x =0 就是 k1sin(x)=0 再取 x=π/2,得 k1=0． 总之得 sin(x),cos(x),e x , e -x 线性无关． 12.设 Wj都是 V 的子空间，并且 W0={0}，Wj-1Wj．设αj∈Wj- Wj-1，j=1,2,…,s．证明：{α1, α2,…, αs}线性无关． 证 设有 k1α1+ k2α2+…+ksαs=0, 移项得 ksαs= -k1α1- k2α2-…-ksαs, 上式右端每一项都属于 Ws-1，所以 ksαs属于 Ws-1， 若 ks≠0，则αs属于 Ws-1，矛盾． 故 ks=0． 从而 k1α1+ k2α2+…+ksαs=0 就是 k1α1+ k2α2+…+ks-1αs-1=0 类似的，可以证明 ks-1=0，ks-2=0．…，k1=0． 所以{α1, α2,…, αs}线性无关． 习题 7.2 1.求 g(x)=x 2-3x+1 在基{(x-2) 2 ,(x+2),3}下的坐标． 解 设 g(x)=x 2-3x+1 在基{(x-2) 2 ,(x+2),3}下的坐标为 3 2 1 k k k ，即有 x 2-3x+1=k1(x-2) 2+ k2(x+2)+3k3 将右边整理，并比较 x 的同次幂的系数得
k1 4k1+2k2+k3=1 解线性方程组得k1=1,k1=1,k=5 所以k 2求矩阵A 在基 下的坐标 00)(00 10 解因为 02 00 0)(10)(01 所以A在给定基下的坐标为 2 2求维数是3的线性空间上由基{a,a2,a3}到基{a1,5a2,a3}的过渡矩阵 解因为(u,50203)(aa203)050,所以{a,.a2a3}到基{au,50aa}的过渡矩阵为 050 4在F3中,求由基(Ⅲ)到基()的过渡矩阵,并且求n=5a1-x2+2a3在(Ⅱ)下的坐标 o(mD:1a1=1,a2=1a ():{B1=4B2=563=-8 -8 ②m:{a1=-1a2=-1a3=2 3
4 2 1 4 3 1 1 2 3 1 2 1 k k k k k k 解线性方程组得 k1=1，k1=1，k3=-5， 所以 3 2 1 k k k = 5 1 1 2.求矩阵 A= 0 2 3 5 在基 0 0 1 0 ， 0 0 0 1 ， 1 0 0 0 ， 0 1 0 0 下的坐标． 解 因为 0 2 3 5 =3 0 0 1 0 -5 0 0 0 1 +0 1 0 0 0 +2 0 1 0 0 所以 A 在给定基下的坐标为 2 0 5 3 ． 2.求维数是 3 的线性空间上由基{α1, α2,α3}到基{α1, 5α2,α3}的过渡矩阵． 解 因为(α1, 5α2,α3)=(α1,α2,α3) 0 0 1 0 5 0 1 0 0 ,所以{α1, α2,α3}到基{α1, 5α2,α3}的过渡矩阵为 0 0 1 0 5 0 1 0 0 4.在 F 3中，求由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵，并且求η=5α1-α2+2α3在(Ⅱ)下的坐标． ①(Ⅲ)： 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 (Ⅱ)： 8 8 3 , 3 5 1 , 3 4 1 1 2 3 ②Ⅲ)： 4 2 0 , 3 1 2 , 3 1 1 1 2 3
6 ():1B=|4B2=-1B3=5 9 解①β=4=11+3110 3 3|1-51+0|0 8 (I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵A=34-5 1-20 设n=5a-0x+2a3在(Ⅱ)下的坐标为K在(Ⅲ)下的坐标为L,则 H n=(B1, B2, B3)K=(a1, 02, 3)AK 所以L=AK k2 2 0八(k k 左右同时做行的初等变换得-16=014k2 5)(11-3(k 继续行的初等变换得-16-014k2 k 10(k 进一步有20=0101k2
(Ⅱ)： 5 5 3 , 23 1 6 , 9 4 7 1 2 3 解 ① β1= 3 4 1 =1 1 1 1 +3 1 1 0 -1 1 0 0 β2= 3 5 1 =1 1 1 1 +4 1 1 0 -2 1 0 0 β3= 8 8 3 =-3 1 1 1 -5 1 1 0 +0 1 0 0 (Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵 A= 1 2 0 3 4 5 1 1 3 设η=5α1-α2+2α3在(Ⅱ)下的坐标为 K,在(Ⅲ)下的坐标为 L，则 L= 2 1 5 由 η= (β1, β2, β3)K=(α1,α2,α3)AK 所以 L= AK 即 2 1 5 = 1 2 0 3 4 5 1 1 3 3 2 1 k k k 左右同时做行的初等变换得 7 16 5 = 0 1 3 0 1 4 1 1 3 3 2 1 k k k 继续行的初等变换得 9 16 5 = 0 0 1 0 1 4 1 1 3 3 2 1 k k k 进一步有 9 20 22 = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 3 2 1 k k k
继续得20=010k2 即n=5a-2+20在()下的坐标为K=20 ②设基(到基(Ⅱ)的过渡矩阵为A,则有 (B1,B2,B3)=(a1,2a3)A 46-3)(120 9235)(334八(a 两边做行的初等变换得 46-3120 46-3120 7-15-1-12 3-52012 9235334)(215140-34 46-3120 30-10200010)(3-12001 由此得A=-3-3-2 为求坐标n=5a1-a2+2a在(Ⅱ)下的坐标为K,解方程 3-12八k八(2 增广矩阵B=-3-3-2-11-0-21-1/213/2 2-121 0-42 00-15/2 0 0-1/4)(00-15/2 12015/2)(2009/2 010-1/4-010-1/4-010-1/4
继续得 9 20 42 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 1 k k k 即η=5α1-α2+2α3在(Ⅱ)下的坐标为 K= 9 20 42 ． ②设基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 A，则有 (β1, β2, β3)=(α1,α2,α3)A 即 9 23 5 7 1 5 4 6 3 = 3 3 4 1 1 2 1 2 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 两边做行的初等变换得 9 23 5 3 3 4 7 1 5 1 1 2 4 6 3 1 2 0 → 21 5 14 0 3 4 3 5 2 0 1 2 4 6 3 1 2 0 → 30 10 20 0 0 10 3 5 2 0 1 2 4 6 3 1 2 0 → 3 1 2 0 0 1 3 3 2 0 1 0 2 12 1 1 0 0 由此得 A= 3 1 2 3 3 2 2 12 1 为求坐标η=5α1-α2+2α3在(Ⅱ)下的坐标为 K，解方程 3 1 2 3 3 2 2 12 1 3 2 1 k k k = 2 1 5 增广矩阵 B= 3 1 2 2 3 3 2 1 2 12 1 5 → 0 4 0 1 0 21 1/ 2 13/ 2 2 12 1 5 → 0 1 0 1/ 4 0 42 1 13 2 12 1 5 → 0 1 0 1/ 4 0 0 1 5/ 2 2 12 1 5 → 0 0 1 5/ 2 0 1 0 1/ 4 2 12 1 5 0 0 1 5/ 2 0 1 0 1/ 4 2 12 0 15/ 2 → 0 0 1 5/ 2 0 1 0 1/ 4 2 0 0 9/ 2 → 0 0 1 5/ 2 0 1 0 1/ 4 1 0 0 9 / 4
k1)(9/4 所以k2 1/4 5/2 5.设(Ⅱ)(Ⅲ,(Ⅵ)是线性空间V的三个基.如果从(Ⅱ)到(的过渡矩阵是A,从(Ⅲ)到(Ⅵ) 的过渡矩阵是B,求从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵 解设V的维数为n,三个基()(Ⅲ),(Ⅵ)分别为(Ⅱ):{a12,,a},(Ⅲ):{B1,B2,…,Bn}, (ⅢD):{1,y2…Yn},则有 (β1,B2,…Bn)=(a1,02,n)A (Y,y2,…2Yn)=(B1,P2,…,Bn)B=(a1,a2,,an)AB 所以从()到(Ⅵ)的过渡矩阵为AB 6证明定理722 定理的描述:设(Ⅵ):{a,0x2…,an}是线性空间V的一个基,(Ⅱ):{B1,B,…,Bn}是由n个向量 组成的V的向量组,并且 (a0g2,,n)A=(β1,B2,…Bn) 则(Ⅱ)是V的一个基的充分必要条件是A是可逆的,这时,A是从(Ⅵ)到(Ⅱ)的过渡矩阵 证先证必要性.若(Ⅱ):{B,P2,Bn}是V的一个基,从所给的表示式及过渡矩阵的定 义便知A是从(Ⅵ)到(Ⅱ)的过渡矩阵.记A的列向量组为{P,P2,Pn}则由 (a,2,,n)A=(1,B2,…,Bn) 知阝=(a1,a2,,.an)P1 用反证法,假设A不可逆,则{P1,P2,Pa线性相关,即存在不全为零的数k,k2,kn使 kIPI+k2 P2+.+knP=O 从而kB1+k2B2+.+knβn=(a1.2,,.an)kP1+kP2+…+knPn)=0 说明{B1,β2…Bn}线性相关,这与{B1,B,…n}是V的一个基相矛盾.所以A可逆 再证充分性.设A可逆,对(a1,02,an)A=(B1,B2,…Bn)两边左乘A的逆阵A,得 (2,an)(B,B2,)A 这说明(Ⅱ)可由(Ⅶ)线性表出,从而n≥rank(B1,B,…Bn)≥rank(a1.2,.n)=n 所以(Ⅲ),它也是V的一个基 7*设V是一个线性空间,切dm(V=4,取定V的一个基(ID)(所有的坐标都是关于这个基 下的坐标).注意到:一个向量(关于基(Ⅲ)的坐标是一个4维向量(即F的元素).证明: ①一个向量组的线性组合的坐标等于坐标的线性组合,并且组合的系数相同 ②一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相关 ③一个向量组是V的一个基的充分必要条件是它们的坐标是F的一个基 (上述结论对一般的有限维非零线性空间都成立.本题说明坐标很好的反映了向量的性质.) 证①设(Ⅱ):{B1,B2B3,B4}是V的一个基 向量a,a1,a2,,a3∈V,且有数kk2,k使
所以 3 2 1 k k k = 5/ 2 1/ 4 9/ 4 5. 设(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)是线性空间 V 的三个基．如果从(Ⅱ)到(Ⅲ)的过渡矩阵是 A，从(Ⅲ)到(Ⅵ) 的过渡矩阵是 B，求从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵． 解 设 V 的维数为 n，三个基(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)分别为(Ⅱ)：{α1,α2,...,αn}，(Ⅲ)：{β1, β2, ...,βn}， (Ⅲ):{γ1, γ2, ...,γn}，则有 (β1, β2, ...,βn)=(α1,α2,...,αn)A (γ1, γ2, ...,γn)=(β1, β2, ...,βn)B=( α1,α2,...,αn)AB 所以从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵为 AB． 6.证明定理 7.2.2． 定理的描述：设(Ⅵ)：{α1,α2,...,αn}是线性空间 V 的一个基，(Ⅱ)：{β1, β2, ...,βn}是由 n 个向量 组成的 V 的向量组，并且 (α1,α2,...,αn)A=(β1, β2, ...,βn) 则(Ⅱ)是 V 的一个基的充分必要条件是 A 是可逆的．这时，A 是从(Ⅵ)到(Ⅱ)的过渡矩阵． 证 先证必要性．若(Ⅱ)：{β1, β2, ...,βn}是 V 的一个基，从所给的表示式及过渡矩阵的定 义便知 A 是从(Ⅵ)到(Ⅱ)的过渡矩阵．记 A 的列向量组为{P1, P2,..., Pn}则由 (α1,α2,...,αn)A=(β1, β2, ...,βn) 知 βj= (α1,α2,...,αn)Pj 用反证法，假设 A 不可逆，则{P1, P2,..., Pn}线性相关，即存在不全为零的数 k1, k2,..., kn使 k1P1+k2P2+...+knPn=0 从而 k1β1+k2β2+...+knβn=(α1,α2,...,αn)(k1P1+k2P2+...+knPn)=0 说明{β1, β2, ...,βn}线性相关，这与{β1, β2, ...,βn}是 V 的一个基相矛盾．所以 A 可逆． 再证充分性．设 A 可逆，对(α1,α2,...,αn)A=(β1, β2, ...,βn)两边左乘 A 的逆阵 A-1，得 (α1,α2,...,αn)=(β1, β2, ...,βn) A-1 这说明(Ⅱ)可由(Ⅵ)线性表出，从而 n≥rank(β1, β2, ...,βn)≥rank(α1,α2,...,αn)=n 所以(Ⅱ)，它也是 V 的一个基． 7*.设 V 是一个线性空间，切 dim(V)=4，取定 V 的一个基(Ⅲ)（所有的坐标都是关于这个基 下的坐标）．注意到：一个向量（关于基(Ⅲ)）的坐标是一个 4 维向量（即 F 4的元素）．证明： ①一个向量组的线性组合的坐标等于坐标的线性组合，并且组合的系数相同． ②一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相关． ③一个向量组是 V 的一个基的充分必要条件是它们的坐标是 F 4的一个基． （上述结论对一般的有限维非零线性空间都成立．本题说明坐标很好的反映了向量的性质．） 证 ①设(Ⅱ)：{β1, β2, β3,β4}是 V 的一个基， 向量α, α1, α2, ..., αs∈V，且有数 k1,k2,...,ks使 α= λ1α1+λ2α2...+ λsαs
K, kk k 并设a1,Q2…,在基(Ⅱ)下的坐标分别为 k2\,则 k3n a=1n+202.+sa=(,P2,B3B4)1+2(阝,B2,B,B4)2+…+λ(B,B,B3B4)s =(B1,B2,B3B4)(121+x2+.+12s) a1,a2,…,a3的线性组合的坐标等于坐标的线性组合入11+2+,+15 ②从①的证明过程中看到存在不全为零的数入12,,使λ1a1+a2.+2a=0的充分必要 条件是121+入2+.+22=0,所以一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相 关 ③沿用①的证明过程中的记号,若a1,a12,a3,a4是V的一个基,则它们对应的坐标 21,2,,线性无关,从而是F的一个基;反过来若ξ2,3,4线性无关,则a1,a2,a3,u4也线 性无关,是V的一个基 习题73 1设A∈ Manent(F,V1={∈F叫Aa=3a},V2={a∈FA=2aα},证明:V1+V2是直和 证对于任意a∈V1∩V2,由a∈V1得 Aa=3a 由a∈V2得 Aa=2a 从而 说明V1+V1是直和 2设V=Span(a1,a2),V2=Span(B,B2),求下列各题中的dm(V+V2)与 dim(vin2) ①a1=(1,2,10),2=(-1,1,1,1) 阝=(2-1,0,1)B2=(1,-1,3,7) ②a=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,1) p=(0.0,1,1),B2=(0,1,1,0) 解①因为/a)(1210 -1111)(032 所以rank(a1,a2)=2,V1=dim(Span(a1,a2)=2 月_(2-101(01-6-13 所以rank(β1,B2)=2,V2=dim(Span(β1,P2)=2 1210 210 0 032 又因为 B32-1010-5-2 004/38/3 B.)(1-137(0-3
并设α1, α2, ..., αs在基(Ⅱ)下的坐标分别为ξ1= 41 31 21 11 k k k k ，ξ2= 42 32 22 12 k k k k ，…，ξs= s s s s k k k k 4 3 2 1 ，则 α= λ1α1+λ2α2...+ λsαs=λ1(β1, β2, β3,β4)ξ1+λ2(β1, β2, β3,β4)ξ2+…+λs(β1, β2, β3,β4)ξs =(β1, β2, β3,β4)( λ1ξ1+λ2ξ2+...+λ1ξs) α1, α2, ..., αs的线性组合的坐标等于坐标的线性组合λ1ξ1+λ2ξ2+...+λ1ξs． ②从①的证明过程中看到存在不全为零的数λ1,λ2,...,λs 使λ1α1+λ2α2...+ λsαs=0 的充分必要 条件是λ1ξ1+λ2ξ2+...+λ1ξs=0，所以一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相 关． ③ 沿用①的证明过程中的记号，若α1, α2, α3, α4 是 V 的一个基，则它们对应的坐标 ξ1,ξ2,ξ3,ξ4 线性无关，从而是 F 4的一个基；反过来若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4线性无关，则α1, α2, α3, α4也线 性无关，是 V 的一个基． 习题 7.3 1.设 A∈Matn×n(F)，V1={α∈F n |Aα=3α}，V2={α∈F n |Aα=2α}，证明：V1+ V2是直和． 证 对于任意α∈V1∩V2，由α∈V1得 Aα=3α 由α∈V2得 Aα=2α 从而 3α=2α 故 α=0 说明 V1+ V1是直和． 2.设 V1=Span(α1, α2), V2=Span(β1, β2),求下列各题中的 dim(V1+ V2)与 dim(V1∩V2)． ① α1=(1,2,1,0), α2=(-1,1,1,1) β1=(2,-1,0,1), β2=(1,-1,3,7) ② α1=(1,1,0,0), α2=(1,0,1,1) β1=(0,0,1,1), β2=(0,1,1,0) 解 ①因为 2 1 = 1 1 1 1 1 2 1 0 → 0 3 2 1 1 2 1 0 所以 rank(α1, α2)=2, V1=dim(Span(α1, α2))=2 又 2 1 = 1 1 3 7 2 1 0 1 → 1 1 3 7 0 1 6 13 所以 rank(β1, β2)=2, V2=dim(Span(β1, β2))=2 又因为 4 3 2 1 = 1 1 3 7 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 → 0 3 2 7 0 5 2 1 0 3 2 1 1 2 1 0 → 0 0 4 8 0 0 4/ 3 8/ 3 0 3 2 1 1 2 1 0