国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(一)试题 特征值与特征向量部分) 选择题 1.下列矩阵中,与矩阵011相似的为().(2018年) 001 (A)|011 (B)|011 (C)|010 (D)|010 001 001 001 2.设a是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则()(2017年) (A)E-aa不可逆(B)E+aa不可逆(C)E+2aa1不可逆(D)E-2aa7不可逆 3.设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于().(2010年) 1000 1000 1000 0100 0100 A (C) D/0-100 0010 00-10 00-10 00-10 0000 0000 0000 0000 填空题 1.设2阶矩阵A有两个不同特征值,a1,a2是A的线性无关的特征向量,且满足A2(a1+a2)=a1+a2, 则4|=().(2018年) 2.设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵E-XX7的秩为=().(2012年) 3.若二次曲面的方程x2+3y2+2+2axy+2xx+2y2=4.经正交变换为y2+4=4,则a 2011 4.若3维向量a,B满足aB=2,其中a是a的转置.则a的非零特征值为().(200年)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£ò§£K (AäÜAï˛‹©) ò. ¿JK 1. e› •, Ü› 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Éqè( ). (2018c) (A) 1 1 −1 0 1 1 0 0 1 (B) 1 0 −1 0 1 1 0 0 1 (C) 1 1 −1 0 1 0 0 0 1 (D) 1 0 −1 0 1 0 0 0 1 2. α¥n븆ï˛, Eèn ¸†› , K( ). (2017c) (A) E − ααT ÿå_ (B) E + ααT ÿå_ (C) E + 2ααT ÿå_ (D) E − 2ααT ÿå_ 3. Aè4 È°› , ÖA2 + A = 0, eAùè3, KAÉqu( ). (2010c) (A) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 (B) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 (C) 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 (D) −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 . WòK 1. 2 › Ak¸áÿ”Aä, α1, α2¥AÇ5Ã'Aï˛, Ö˜vA2 (α1 + α2) = α1 + α2, K|A| =( ). (2018c) 2. Xèn븆ï˛, Eèn ¸†› , K› E − XXTùè= ( ). (2012c) 3. eg°êßx 2 + 3y 2 + z 2 + 2axy + 2xz + 2yz = 4. ²CÜèy 2 1 + 4z 2 1 = 4, Ka = ( ). (2011c) 4. e3ëï˛α, β˜vα T β = 2, Ÿ•α T¥α=ò. KβαTö"Aäè( ). (2009c) 1
5.设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A的非零 特征值是().(2008年) 6.设m阶矩阵A的元素都为1则A的n个特征值是().(1999手) 7.设m阶方阵A的伴随阵为A且|4≠0,若A有特征值,则(A)2+I有特征值().(1998年) 三.计算题 1.设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4) (2)若β=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年) 2.A为3阶是对称矩阵,A的秩为2,且A00=00 (1)求A的特征值与特征向量 (2)求矩阵A.(2011年) 3.设阶实对称矩阵A的特征值1=1,A2=2,A3=-2,a1=(1,-1,1)是A的属于A1的一个特征向量 记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (I)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量 (I〕求矩阵B.(2007年) 4.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1)2,a2=(0,-1,1)是线性方程组Ax 0的两个解 (I)求A的特征值与特征向量 (I求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得A74Q=A.(2006年) 5.设A为三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三维向量,且满足Aa=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3= 2a2+3a3. (I)求矩阵B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,as3)B; (I求矩阵A的特征值 (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2005年) 6.设n阶矩阵A
5. Aè2 › ßα1, α2èÇ5Ã'2èÇ5Ã'2ëï˛, Aα1 = 0, Aα2 = 2α1 + α2, KAö" Aä¥( ). (2008c) 6. n › AÉ—è1,KAnáAä¥( ). (1999c) 7. n ê Aäë èA∗Ö|A| 6= 0, eAkAäλ, K(A∗ ) 2 + IkAä( ). (1998c) n. OéK 1. 3 › A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2. Aè3 ¥È°› ßAùè2ßÖA 1 1 0 0 −1 1 = −1 1 0 0 1 1 . (1)¶AAäÜAï˛; (2)¶› A. (2011c) 3. 3 ¢È°› AAäλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, α1 = (1, −1, 1)T¥A·uλ1òáAï˛. PB = A5 − 4A3 + E, Ÿ•Eè3 ¸†› . (I)yα1¥› BAï˛, ø¶B ‹AäAï˛. (II)¶› B. (2007c) 4. 3 ¢È°› Aà1ÉÉ⁄˛è3, ï˛α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥Ç5êß|Ax = 0¸á). (I)¶AAäÜAï˛; (II)¶› Q⁄È› Λ, ¶AT AQ = Λ. (2006c) 5. Aèn › , α1, α2, α3¥Ç5Ã'nëï˛, Ö˜vAα1 = α1+α2+α3, Aα2 = 2α2+α3, Aα3 = 2α2 + 3α3. (I) ¶› B, ¶A(α1, α2, α3) = (α1, α2, α3)B; (II) ¶› AAä (III) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2005c) 6. n › A = 1 b · · · b b 1 · · · b . . . . . . . . . b b · · · 1 . 2
(1)求A的特征值和特征向量; (I求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2004年) 7.设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化(200年) 322 010 8.设矩阵A=232,P=101,B=P-14P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A为A的 223 001 伴随阵,E为3阶单位阵.(2003年) 9.设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+A=0,已知4的秩r(4)=2 (1)求A的全部特征值 (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.(2002年) 0.已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x (1)记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1 (2)计算行列式A+El(2001年) 1.设矩阵A=5b3,其行列式4=-1,又A的伴随阵A有一个特征值入o,属于o的一个特 征向量为a=(-1,-1,1)2,求a,b,c和入0的值.(199年) 2-12 设 5a3的一个特征向量为a=(1,1,-1)7 (1)求参数a,b值和A的与特征向量a对应的特征值 (2)与对角阵是否相似?说明理由.(1997年) 13.设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2+cr32-2x1x2+6x1x3-6x2x3秩为2 (1)求参数c和此二次型对应矩阵的特征值; (2)指出方程f=(x1,x2,x3)=1表示何二次曲面.(1996年) 14.设三阶实对称矩阵A的特征值为1=-1,A2=A3=1,且与A1对应的特征向量a1=(0,1,1),求A. (1995年) 15.设阶方阵A的特征值为1=1,A2=2,A3=3,与其对应的特征值依次为a1=(1,1,1),a2= (1,2,4)2,a3=(1,3,9)且B=(1,1,3)2 (1)将B用a1,a2,a3线性表示;
(I)¶AAä⁄Aï˛; (II)¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2004c) 7. › A = 1 2 −3 −1 4 −3 1 a 5 Aêßkòáä, ¶aä, ø?ÿA¥ƒåÉqÈz. (2004c) 8. › A = 3 2 2 2 3 2 2 2 3 , P = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 ,B = P −1A∗P, ¶B + 2EAäÜAï˛, Ÿ•A∗èA äë , Eè3 ¸† . (2003c) 9. Aè3 ¢È°› , Ö˜v^áA2 + A = 0, ÆAùr(A) = 2. (1)¶A ‹Aä; (2)kè¤äû, › A + kEè½› , Ÿ•Eè3 ¸†› . (2002c) 10. Æ3 › AÜnëï˛x, ¶ï˛|x, Ax, A2xÇ5Ã', Ö˜vA3x = 3Ax − 2A2x. (1)PP = (x, Ax, A2x), ¶3 › B, ¶A = P BP −1 (2)Oé1™|A + E|. (2001c) 11. › A = a −1 c 5 b 3 1 − c 0 −a , Ÿ1™|A| = −1, qAäë A∗kòáAäλ0, ·uλ0òáA ï˛èα = (−1, −1, 1)T ,¶a, b, c⁄λ0ä. (1999c) 12. A = 2 −1 2 5 a 3 −1 b −2 òáAï˛èα = (1, 1, −1)T . (1) ¶ÎÍa, bä⁄AÜAï˛αÈAAä; (2) ÜÈ ¥ƒÉq?`²nd. (1997c) 13. g.f(x1, x2, x3) = 5x1 2 + 5x2 2 + cx3 2 − 2x1x2 + 6x1x3 − 6x2x3ùè2. (1) ¶ÎÍc⁄dg.ÈA› Aä; (2) ç—êßf = (x1, x2, x3) = 1L´¤g°. (1996c) 14. n ¢È°› AAäèλ1 = −1, λ2 = λ3 = 1, ÖÜλ1ÈAAï˛α1 = (0, 1, 1)T , ¶A. (1995c) 15. 3 ê AAäèλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, ÜŸÈAAäùgèα1 = (1, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 4)T , α3 = (1, 3, 9)Öβ = (1, 1, 3)T . (1) Úβ^α1, α2, α3Ç5L´; 3
(2)求A2B(n是自然数).(1992年) 200 16.设A=001与B=0y0相似,求x,y和满足P-AP=B的可逆阵P.(19s8年5) 01x 00-1 四.证明题 1.设A为2阶矩阵,P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量 (1)证明P为可逆矩阵; (2)若A2a+Aa-6a=0,求P-1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.(2020年) 2.设A,B为同阶矩阵, (1)如果A,B相似证A,B的特征多项式相等 (2)举一个二阶矩阵的例子说明(1)的逆命题不成立 (3)当A,B都是实对称矩阵时证(1)的逆命题成立.(2002年) 3.设n阶可逆阵A的一个特征值为λ,其伴随矩阵为A·.求证 (1)A-1的特征值为 (2)A的特征值为.(19s9年) 五应用题 某试验性生产线每年一月份进行熟练工和非熟练工的人数统计然后将熟练工支援其他生产部门,其 缺额由招收新的非熟练工补齐新老非熟练工经过培训和实践至年终考核有成为熟练工.设第n年 一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n和m,记成向量(x 的关系式并写成矩阵形式: Un+1 (2)验证m=(),m2 是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值; (吕洪波林秋林程潘红林鹭整理)
(2) ¶Anβ(n¥g,Í). (1992c) 16. A = 2 0 0 0 0 1 0 1 x ÜB = 2 0 0 0 y 0 0 0 −1 Éq, ¶x, y⁄˜vP − AP = Bå_ P. (1988c) o. y²K 1. Aè2 › , P = (α, Aα), Ÿ•α¥ö"ï˛Öÿ¥AAï˛. (1) y²Pèå_› ; (2) eA2α + Aα − 6α = 0, ¶P −1AP, ø‰A¥ƒÉquÈ› . (2020c) 2. A, Bè” › , (1) XJA, BÉq,yA, BAıë™É ; (2) fiòá › ~f`²(1)_·Kÿ§·; (3) A, B—¥¢È°› û,y(1)_·K§·. (2002c) 3. n å_ AòáAäèλ,Ÿäë› èA∗ . ¶y (1) A−1Aäè1 λ ; (2) A∗Aäè|A| λ . (1989c) .A^K 1. ,£5)Çzcò°?1ŸˆÛ⁄öŸˆÛ<Í⁄O,,Ú1 6ŸˆÛ|Ÿ¶)‹Ä, Ÿ "dÁ¬#öŸˆÛ÷‡.#PöŸˆÛ²L‘⁄¢Çñc™ÿk2 5§èŸˆÛ. 1nc ò°⁄OŸˆÛ⁄öŸˆÛ§”z©'©Oèxn⁄yn, P§ï˛ xn yn ! . (1) ¶ xn+1 yn+1 ! Ü xn yn ! 'X™ø§› /™: xn+1 yn+1 ! = A xn yn ! ; (2) yη1 = 4 1 ! , η2 = −1 1 ! ¥A¸áÇ5Ã'Aï˛, ø¶—ÉAAä; (3) x1 y1 ! = 1 2 1 2 ! û, ¶ xn+1 yn+1 ! . (2000c) (½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n) 4