厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）二次型

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(二)试题 (二次型部分) 选择题 设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A2+A=2E,且|4|=4,则二次型xrA的规范形为( (2019年) (A)驴+2+3(B)驴+-(C)2- (D)-驴-v2-3 2.设二次型f(x1,x2,x3)=a(2+2+3)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数分别为1,2,则( (2016年) (B)a<-2 (C)-2<a<1 (D)a=1或a=-2 3.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换为x=Py下的标准形为2+一,其中P=(e1,e2,e3)若Q (e1,-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换r=Qy下的标准形为().(2015年) (4)2-2+3(B)2+v2-(C)2-2-(①D)2+2+弱 二.填空题 1.设f(x1,x2,x3)=n-22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围为().(2014年) 2.二次型f(x1,x2,x3)=+3x2+n3+2x1x2+2x1x3+2x2x3,则f的正惯性指数是().(2011年) 三.计算题 1.设二次型f(x;x2x3)=n+3+3+2ax1x2+2n13+202x3,经可逆线性变换x2=Pv 得g(,y,)=驴+2+4+2yy (1)求a的值; (2)求可逆矩阵P.(2020年)

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êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£§£K £g.‹©§ ò. ¿JK 1. A¥3¢È°› , E¥3¸†› . eA2 + A = 2E, Ö|A| = 4, Kg.x T Ax5â/è( ). (2019c) (A) y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 (B) y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) −y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 2. g.f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3.5çÍ©Oè1, 2, K( ). (2016c) (A) a > 1 (B) a < −2 (C) −2 < a < 1 (D) a = 1½a = −2 3. g.f(x1, x2, x3)3CÜèx = P yeIO/è2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 , Ÿ•P = (e1, e2, e3). eQ = (e1, −e3, e2), Kf(x1, x2, x3)3CÜx = QyeIO/è( ). (2015c) (A) 2y 2 1 − y 2 2 + y 2 3 (B) 2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) 2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) 2y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 . WòK 1. f(x1, x2, x3) = x 2 1 − x 2 2 + 2ax1x3 + 4x2x3K.5çÍè1, Kaäâåè( ). (2014c) 2. g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3, Kf.5çÍ¥( ). (2011c) n. OéK 1. g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 + 2ax1x2 + 2ax1x3 + 2ax2x3, ²å_Ç5CÜ   x1 x2 x3   = P   y1 y2 y3   g(y1, y2, y3) = y 2 1 + y 2 2 + 4y 2 3 + 2y1y2. (1) ¶aä; (2) ¶å_› P. (2020c) 1

2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求f(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2r-2+an3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为入12+v2.求a的值及一个正交矩阵Q.(2017年) 101 4矩阵A=011.x7为矩阵A的转置,已知(A4)=2,且二次型f=x7A7Ax 10a (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年 5.设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+ax2+(a-1)x3+2x1x3-2x2x3 (1)求二次型∫的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范型是v2+2,求a的值.(2009年 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b2x3)2,记a=(a1,a2,a3)2,B= (b1,b2,b3) (1)证明二次型f对应的矩阵为2aa+BB (2)若a,B正交且均为单位向量.证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2y2+v2.(2013年) (程潘红林鹭整理

2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 5. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1)¶g.f› §kAä; (2)eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 ,¶aä. (2009c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα = (a1, a2, a3) T , β = (b1, b2, b3) T . (1) y²g.fÈA› è2α T α + β T β (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛. y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) (ߢ ˘ n) 2