首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 (非数学类,2009) 考试形式:闭卷考试时间:120分钟满分:100分 题号 二|三四五六|七|八总分 满分20 15 10 100 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 得分 填空题(每小题5分,共20分) 评阅人 (x+y)In 1+ (1)计算∫ dxdy= 其中 区域D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域 迟出 (2)设f()是连续函数,满足f(x)=3x2-.(xk-2,则 (3)曲面z=+y2-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是 (4)设函数y=y(x)由方程xe=e"ln29确定,其中∫具有二阶导数, 且f∫"≠1,则 答案 ,2x+2y-z-5=0, [1-f(y)2-f(y) 15 x[l-f'(I 第1页(共6页
第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （非数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 20 5 15 15 10 10 15 10 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一、 填空题（每小题 5 分，共 20 分）. （1）计算 dxdy x y x y x y ∫∫D − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 ( )ln 1 =_____________，其中 区域 D 由直线 x + y = 1与两坐标轴所围三角形区域. （ 2 ） 设 f ( ) x 是连续函数，满足 2 2 0 f x x f x dx () 3 () 2 =− − ∫ ， 则 f ( ) x =___________________. （ 3 ） 曲 面 2 2 2 2 x z y = +− 平行平面 22 0 x yz + − = 的切平面方程是 ________________________. （4）设函数 y yx = ( )由方程 ( ) ln 29 fy y xe e = 确定，其中 f 具有二阶导数， 且 f ′ ≠ 1，则 2 2 d y dx =____________________. 答案：16 15 ， 2 10 3 3 x − ， 2 2 50 x yz + −−= ， 2 2 3 [1 ( )] ( ) [1 ( )] f y fy x fy − − ′ ′′ − − ′ . 得 分 评阅人
得分 、(5分)求极限m/e+e3 )x,其中n是给定 n 评阅人 的正整数 解:原式= lim exp{-ln( +e-+…+e exp{in(ln(e+e+…+e (2分) 其中大括号内的极限是型未定式,由L' Hospital法则,有 ime(ne+e+…+e")-ln)=im(e+2c+…+me") x→0ex+e e(1+2+…+n)_/n+1 于是原式=e3he (5分) 得分 三、(15分)设函数f(x)连续,g(x)=「f(x知,且 评阅人 lim f(x) A,A为常数,求g(x)并讨论g(x) 在x=0处的连续性 解:由题设,知f(0)=0,g(0)=0 (2分) f(u)du 令u=x,得g(x)= (x≠0), (5分) 从而g(x)= xf(x)- f(u )du (x≠0) (8分) 由导数定义有 8(0)=lim Jo f(udu f(x)A 1I rf(x) f(u)du lim/(r) f(u)d A 4 由于limg'(x)=lim lim A 从而知g'(x)在x=0处连续 (15分 第2页(共6页)
第 2 页（ 共 6 页） 二、（5 分）求极限 2 0 lim( ) x x nx e x x ee e → n + ++ " ，其中 n 是给定 的正整数. 解：原式 2 0 limexp{ ln( )} x x nx x e ee e → x n + ++ = " 2 0 (ln( ) ln ) exp{lim } x x nx x e ee e n → x + ++ − = " ………………….….…（2 分） 其中大括号内的极限是 0 0 型未定式，由 L Hospital ′ 法则，有 2 0 (ln( ) ln ) lim x x nx x e ee e n → x + ++ − " 2 0 (2 ) lim x x nx x x nx x e e e ne → ee e + ++ = + ++ " " (1 2 ) 1 ( ) 2 e nn e n ++ + + = = " 于是 原式= 1 ( ) 2 n e e + . ……………………………………..…………..…(5 分) 三 、（ 15 分）设函数 () f x 连 续 , 1 0 g x f xt dt () ( ) = ∫ ， 且 0 ( ) limx f x A → x = , A为常数，求 g x ′( )并讨论 g x ′( ) 在 x = 0 处的连续性. 解：由题设，知 f (0) 0 = ， g(0) 0 = . …………….…………...…(2 分) 令u xt = ，得 0 ( ) ( ) x f u du g x x = ∫ ( 0) x ≠ ，……………………………………..……（5 分） 从而 0 2 () () ( ) x xf x f u du g x x − ′ = ∫ ( 0) x ≠ …………………………………….……(8 分) 由导数定义有 0 2 0 0 ( ) ( ) (0) lim lim 2 2 x x x f u du f x A g → → x x ′ = == ∫ ……………………………………….……(11分) 由于 0 0 2 2 0 0 00 () () () ( ) lim ( ) lim lim lim (0) 2 2 x x x x xx xf x f u du f u du fx A A gx A g → → →→ x xx − ′ ′ = = − =− = = ∫ ∫ ， 从而知 g x ′( ) 在 x = 0 处连续. …………………………………………….……….(15 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人
得分 四、(15分)已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤x,0≤y≤m}, 评阅人 L为D的正向边界,试证: d 证法一:由于区域D为一正方形,可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算 -sIn. (1)左边 dx=t(sinx +e sin )dx (4分) 右边=xmb-∫xemh=!(e"+e-m)M (8分) 所以∮xd-ymdk=yxeh- edx (10分) (2)由于 ≥2+ (12分) ∮xd-ye-ar=xJ (15分 证法二:(1)根据 Green公式,将曲线积分化为区域D上的二重积分 迟出 ax=JJc Ds (4分) xe i dy-yein dr=[(e -siny +e n x6 (8分) 因为关于y=x对称,所以∫(em+em6=』(m+e-)Mb,故 (10分) (2)由 2∑≥2+t2 xe-形a=(esy+sndo=l(enx+ ende6≥ (15分 第3页(共6页)
第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 四、（15 分）已知平面区域 D xy x y = {( , ) | 0 ,0 } ≤≤ ≤≤ π π ， L 为 D 的正向边界，试证： （1） sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ ； （2） sin sin 2 5 2 y x L xe dy ye dx π − − ≥ v∫ . 证法一：由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算. (1) 左边 0 sin sin sin sin 0 0 ( ) y x xx e dy e dx e e dx π π π π ππ − − = − =+ ∫∫ ∫ ， ...…(4 分) 右边 0 sin sin sin sin 0 0 ( ) y x xx e dy e dx e e dx π π π π ππ − − = − =+ ∫∫ ∫ ，……..…（8 分） 所以 sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ . ……………………………(10 分) (2) 由于 sin sin 2 2 sin x x ee x − + ≥+ ， …….…………………….…...(12 分) sin sin sin sin 2 0 5 ( ) 2 y x xx L xe dy ye dx e e dx π π π − − − = +≥ v∫ ∫ . ……..…….…(15 分) 证法二：（1）根据 Green公式，将曲线积分化为区域 D 上的二重积分 sin sin sin sin ( ) y x yx L D xe dy ye dx e e dδ − − − =+ v∫ ∫∫ ……………………………...… (4 分) sin sin sin sin ( ) y x yx L D xe dy ye dx e e dδ − − −= + v∫ ∫∫ ………………………………(8 分) 因为 关于 y = x 对称，所以 sin sin sin sin ( )( ) y x yx D D e e d e ed δ δ − − + =+ ∫∫ ∫∫ ，故 sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ . ………………….…… (10 分) (2) 由 2 2 0 2 2 (2 )! n t t n t ee t n ∞ − = + = ≥+ ∑ sin sin sin sin sin sin 2 5 ( )( ) 2 y x yx xx L DD xe dy ye dx e e d e e d δ δ π −− − − =+ =+ ≥ v∫ ∫∫ ∫∫ . …….……….……(15 分) 得 分 评阅人
得分 五、(10分)已知y=xe2+e2x V2=re te-r 评阅人 y3=xe te 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三 个解,试求此微分方程 解:根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识,由题设可知:e与eˉ是 相应齐次方程两个线性无关的解,且Xe是非齐次的一个特解因此可以用下述两种解 法 (6分) 解法一:故此方程式y-y-2y=f(x) (8分) 将y=xe代入上式,得 f(x)=(xe)"(xey'-2xe=2e+xe-e-xe'-2xe=e-2xe 因此所求方程为y-y-2y=e-2xe (10分) 解法二:故y=xe'+ce2x+c2e-,是所求方程的通解, (8分) 由y'=e+xe+2ce2-c2e,y"=2e'+xe+4ce2+c2e,消去c1,c2得所求方程 为y-y-2y=e-2xe (10分) 得分 六、(10分)设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点,当0≤x≤1 评阅人 时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面 积为3试确定a,b,C使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小 解:因抛物线过原点,故c 由题设有(ax2+bxk=+,=1即b2=2- 而=x(ax2+b)=nha+ab+6 =x[a2+a(1-a)+·(1-a)2] (5分) du 128 =丌-a+ a)]=0 得 代入b的表达式得b=3.所以y≥0, 第4页(共6页)
第 4 页（ 共 6 页） 五 、（ 10 分）已知 2 1 x x y = xe e + ， 2 x x y xe e− = + ， 2 3 x x x y xe e e− = +− 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三 个解，试求此微分方程. 解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知： 2x e 与 x e− 是 相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe 是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解 法 ………………………………………………………….…...……(6分) 解法一： 故此方程式 y′′ ′ −− = y y fx 2 () ………………….……..……..……(8 分) 将 x y = xe 代入上式，得 () ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x xx x x x x f x xe xe xe e xe e xe xe e xe = − − = + −− − =− ′′ ′ ， 因此所求方程为 2 2 x x y′′ ′ −− = − y y e xe . ……………………………………… …(10 分) 解法二：故 2 1 2 x x x y xe c e c e− =+ + ，是所求方程的通解，……………………(8 分) 由 2 1 2 2 x x xx y e xe c e c e− ′ =+ + − ， 2 1 2 2 4 x x xx y e xe c e c e− ′′ =++ + ，消去 1 2 c c , 得所求方程 为 2 2 x x y′′ ′ −− = − y y e xe . ……………………………………………………....…(10 分) 六、（10 分）设抛物线 2 y = ++ ax bx c 2ln 过原点，当 0 1 ≤ ≤x 时， y ≥ 0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x =1所围图形的面 积为 1 3 . 试确定abc ,,, 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小. 解： 因抛物线过原点，故 c =1 由题设有 1 2 0 1 ( ) 323 a b ax bx dx + =+= ∫ .即 2 (1 ) 3 b a = − ，………..………….…(2 分) 而 1 22 2 2 0 111 ( )[ ] 523 V ax bx dx a ab b = + = ++ π π ∫ 1 1 14 2 2 [ (1 ) (1 ) ] 5 3 39 = + − +⋅ − π a aa a . …………………….…………….…(5 分) 令 2 12 8 [ (1 )] 0 5 3 3 27 dv aa a da = +− − − = π ， 得 5 4 a = − ，代入 b 的表达式 得 3 2 b = . 所以 y ≥ 0， ……………..…………(8 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人
d2v 28,4 又因d2“53+21=>0及实际情况,当 5 4b=2,C=1时,体积最小 (10分) 得分 七、(15分)已知Ln(x)满足 评阅人 ln(x)=un(x)+x"e(m为正整数), e 且un()=,求函数项级数∑L1(x)之和 解:先解一阶常系数微分方程,求出1(x)的表达式,然后再求∑u,(x) 的和 由己知条件可知tn(x)-un(x)=x"e是关于l1(x)的一个一阶常系 数线性微分方程,故其通解为 (x) (6分) 由条件4(1)=,得=0,故以m)=re 从而∑2(x) (8分) S(x)= 其收敛域为[-1,1),当x∈(-1,1)时,有 (10分) s(x) (12分) In 2 于是,当-1≤x<1时,有∑(x)=ehm(1-x) (15分) 第5页(共6页)
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 又 因 2 2 5 4 22 8 4 |[ ] 0 a 5 3 27 135 d v da π π =− = −+ = > 及实际情况，当 5 3 , ,1 4 2 a bc =− = = 时，体积最小. ………….……….…(10 分) 七、（15 分）已知 ( ) n u x 满足 1 () () n x n n u x ux xe − ′ = + （n 为正整数）， 且 (1) n e u n = ，求函数项级数 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ 之和. 解：先解一阶常系数微分方程，求出 ( ) n u x 的表达式，然后再求 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ 的和. 由已知条件可知 1 () () n x n n u x ux x e − ′ − = 是关于 ( ) n u x 的一个一阶常系 数线性微分方程，故其通解为 1 () ( ) ( ) n dx dx nx x n x u x e x e e dx c e c n − ∫ ∫ − = += + ∫ ， ……………..…..(6 分) 由条件 (1) n e u n = ，得c = 0，故 ( ) n x n x e u x n = ， 从而 11 1 ( ) nx n x n nn n x e x ux e n n ∞∞ ∞ == = ∑∑ ∑ = = . …………….……..……...…(8 分) 1 ( ) n n x s x n ∞ = = ∑ ，其收敛域为 [ 1, 1) − ， 当 x∈ −( 1, 1) 时，有 1 1 1 ( ) 1 n n sx x x ∞ − = ′ = = − ∑ ，………………………..…………………….….(10 分) 故 0 1 ( ) ln(1 ) 1 x s x dt x t = =− − − ∫ . ………………..…………………(12分) 当 x = −1时， 1 1 ( ) ln 2 n n ux e ∞ − = ∑ = − . …………………………...…(13 分) 于是，当 −≤ < 1 1 x 时，有 1 ( ) ln(1 ) x n n ux e x ∞ = ∑ = − − . ……….…..…(15 分) 得 分 评阅人
得分 八、(10分)求x→1-时,与∑x2等价的无穷大量 评阅人 解:∫。xds∑xs1+∫。xd (3分) rdt (7分) dh 2V1 (10分) 第6页(共6页)
第 6 页（ 共 6 页） 八、（10 分）求 x → −1 时，与 2 0 n n x ∞ = ∑ 等价的无穷大量. 解： 22 2 0 0 0 1 tn t n x dt x x dt ∞ +∞ +∞ = ∫ ∫ ≤ ≤+ ∑ ， ………………….…………….….….…(3 分) 2 2 1 ln 0 0 t t x x dt e dt +∞ +∞ − = ∫ ∫ ………………….…….………….....….(7 分) 2 0 1 1 1 2 1 ln ln t e dt x x +∞ − π = = ∫ 1 2 1 x π − ∼ . ……………………….…...(10 分) 得 分 评阅人