第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 (2007年10月14日下午2:30-5:00) 注意:本考卷共九题.甲组九题全做,乙组只做前七题 填空题(每小题2分,共20分) 设当x→>1时,1- 是x-1的等价无穷小,则m 1+x+ 2.设∫(x)= (x-1)(x-2)…(x-n) 则f(1)= 解f=%(x+n) (x+1) n(n+1) 3已知曲线y=f(x)在点(0)处的切线在y轴上的截距为-1,则lim+f(1+-) 解lim[+f(1+-)]= k=1n+ 解原式=e-1 x+ sin x -3(1+cos x 解原式=4-π 6.设函数==f(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微,且f(x,y+1)=1+2x+3y+0(),其中 p=√x2+y2,则曲面z=f(x,y)在点1)处的切平面方程为 解切平面方程为2x+3y-2-2=0 7直线==2 绕z轴旋转的旋转曲面方程为 解旋转转曲面方程x2+y2-z2=1 8设L为封闭曲线|x|+1x+y=1的正向一周,则px2y2dx-cos(x+y)dy= 解原式=0 9设向量场A=2x3yi-x2y2zj-x2y2k,则其散度dA在点M(1,2)处沿 方向l={2,2,-1)的方向导数(divA)lM 解原式
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 （2007 年 10 月 14 日 下午 2：305：00） 注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题 一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分） 3 . 1 , ______ . 1 1 . 1 , 1 1 = - = + + + Æ - - m x m x x m x m 解 设当 时 是 的等价无穷小 则 L . ( 1 ) ( 1 ) (1 ) , (1 ) ________ . ( 1 )( 2 ) ( ) ( 1 )( 2 ) ( ) 2 . ( ) 1 + - ¢ = ¢ = + + + - - - = - n n f f x x x n x x x n f x n 解 设 则 L L )] . 1 lim [1 (1 )] _____ . 1 3. ( ) (1 , 0 ) 1 , lim [1 (1 e n f n y f x y f n n n n + + = = - + + = Æ• Æ• 解 已知曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为 则 1 . 4 . lim ______ . 1 1 = - Â = = Æ • + e e n k n k n k n 解 原式 4 π. d _________. (1 cos ) sin 5. 2 π 2 π 2 2 = - = + + Ú - 解 原式 x x x x 2 3 2 0 . 则曲面 ( , ) 在点(0,1)处的切平面 为 __________ ___. 6. 设函数 ( , ) 在点 (0 , 1 )的某邻 微 , 且 ( , 1 ) 1 2 3 ( ), 其中 2 2 + - - = = + = = + = + + + x y z x y z f x y z f x y f x y x y o 解 切平面方程为 ， 方程 域内可 r r 旋转转曲面方程 1. 绕 轴旋转的旋转曲面方程 为 _____________. 1 1 1 1 0 1 7. 线 2 2 2 + - = - = - = - x y z z x y z 解 直 0. 8. | | | | 1 d cos( ) d ____ . 2 2 = + + = - + = Ú 解 原式 设 为封闭曲线 的正向一周，则 L L x x y x y x x y y . 3 22 {2, 2, 1} (div ) | ______ . 9. 2 , div (1, 1, 2) 3 2 2 2 2 = = ¶ ¶ = - = - - 解 原式 方向 的方向导数 设向量场 则其散度 在点 处沿 M x y z x y z x y z M A l l A i j k A
10.设y=e2x+(1+x)e是二阶常系数线性微分方程y"+ay+By=ye的一个特解则 +B-+ 二、(10分)设二元函数f(x,y)=x-y|o(x,y),其中p(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续 试证明函数f(x,y)在(0,0)点处可微的充分必要条件是(0,0)=0 证(必要性)设f(x,y)在(0,0)点处可微,则f(00”(0,0)存在 由于f(00=1mfx0)-/0)= limIxlo(x.0, x→0 x→0 且 I xlo(x, 0 =-(00),故有(0,0)=0 (充分性)若o(00)=0,则可知f2(0,0)=0,f0.0)=0.因为 f(xy)-f(00-y(0.0)x-f(0)x-y1(x)yx=y。1x 2, 所以 Ix-ylo(x, y) 0.由定义f(x,y)在(00)点处可微 (10分)设f(x)在区间[-1,1上三次可微,证明存在实数∈(-1,1),使得 f∫"()f(1)-f(-1) 6 证f(1)=f(O)+∫(0)+/"(0)f"(5) f(-1)=f(0)-f10)+"0)_f"(52) f(1)-f(-1)=2f(0)+[f"(51)+f"(2) 由导数的介值性知存在实数∈(1,2),使得∫"()=[f"(51)+f"2)于是 f∫"()f(1)-f(-1 f(0) 四、(10分)设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D:x2+y2≤1上有一阶连续偏导数,又 f(, y)=v(x, y)i+u(x,y)i, g(x,y) 1+(-2且在D的边界上有 n(x,y)=1,v(xy)=y求』f,gda 解∵∫ a(uv) a(uv) do= puvdx+uvdy dx+ ydy (-sin2+ sin ecos0)d0=-兀,L:x2+y2=1,正向
14. _______. 10. ( 1 ) , 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = = + + ¢ ¢ + ¢ + = a b g a b g a b g 解 设 是二阶常系数线性微分 方程 的一个特解 则 x x x y e x e y y y e ( , ) (0, 0) (0, 0) 0. (10 ) ( , ) | | ( , ), ( , ) (0, 0) . = = - j j j 试证明函数 在 点处可微的充分必要条 件是 二、 分 设二元函数 其中 在点 的一个邻域内连续 f x y f x y x y x y x y 0. ( , ) (0, 0) . | | ( , ) lim 2, | | | | | | , ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) | | ( , ) ( ) (0, 0) 0, (0, 0) 0, (0, 0) 0. (0, 0), (0, 0) 0. | | ( , 0) (0, 0), lim | | ( , 0) lim , | | ( , 0) lim ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim ( ) ( , ) (0, 0) , (0, 0), (0, 0) . 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 所以 由定义 在 点处可微 又 充分性 若 则可知 因为 且 故有 由于 证 必要性 设 在 点处可微 则 存在 f x y x y x y x y x y y x y x x y x y x y x y x y x y f x y f f x f y f f x x x x x x x x x x f x f f f x y f f y x x y x y x x x x x x y = + - £ + + + £ + - + - = + - - ¢ - ¢ = ¢ = ¢ = = = - = = - ¢ = ¢ ¢ Æ Æ Æ Æ Æ Æ + - j j j j j j j j j (0). 2 (1) ( 1) 6 ( ) (10 ) ( ) [ 1, 1] , ( 1, 1), f f f f f x - ¢ - - = ¢¢¢ - Œ - x 三、 分 设 在区间 上三次可微 证明 存在实数 x 使得 (0). 2 (1) ( 1) 6 ( ) [ ( ) ( )]. 2 1 ( , ), ( ) [ ( ) ( )]. 6 1 (1) ( 1) 2 (0) , 3! ( ) 2! (0) ( 1) (0) (0) , 3! ( ) 2! (0) (1) (0) (0) 1 2 1 2 1 2 2 1 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f - ¢ - - = ¢¢¢ Œ ¢¢¢ = ¢¢¢ + ¢¢¢ - - = ¢ + ¢¢¢ + ¢¢¢ ¢¢¢ - ¢¢ - = - ¢ + ¢¢¢ + ¢¢ = + ¢ + x x x x x x x x x x x 由导数的介值性知存在 实数 使得 于是 证 ( , ) 1 , ( , ) , d . ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , ( 10 ) ( , ), ( , ) : 1 , 2 2 ÚÚ º º · ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ - ¶ ¶ + ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ - ¶ ¶ = + = + £ D u x y v x y y D y v x v y u x u x y v x y u x y x y u x y v x y D x y f g s f i j g i j 求 且在 的边界上有 四、 分 设函数 在闭区域 上有一阶连续偏导数 又 ( sin sin cos ) d π, : 1, . d d d d d ( ) ( ) d , ( ) ( ) 2 2 2 π 0 2 正向 解 = - + = - + = = + = + ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ - ¶ ¶ \ = ¶ ¶ - ¶ ¶ =˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ =˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ - ¶ ¶ +˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ¶ ¶ - ¶ ¶ = Ú ÚÚ ÚÚ Ú Ú · · L x y uv x uv y y x y y y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D D q q q q f g s s Q f g
五(00计算订x2+ydx+=y,其中2:(x+D2+(y-D+4=10≥D)取外侧 解设20y=1左侧D(x=03+451则原式=手 f=[ex+y=dv= fcx+ydr=2 ae 2( e sino+rsin0sino+2)r'sinodr 〔wmp+mm+mp)p 原式=兀+2π= 另解设20y=1在侧D(-2+=则原式=手-手 =-d=dx=-2 +y+z)dv,故原式=2(x+y+)dv+2兀 xdv=xdx du 2x-x2,y≥1 ydv=ydx dedx=y2.(2y-y2) 兀,D,:(x-1) 原式 六、(10分)设正项级数∑an收敛,且和为S试求 ()lima+2 a2 t.+ nan;(2)∑4+2n+…+mn 解()4+2a2+…+nan=Sn+Sn-S+S2-S2+…+Sn-Sn1 n S,+s +s S,+s lim a,+2a n B=S-S=0; (2)a1+2+…+mna1+2a2+…+mna1+2a2+…+nap n(n+ n n+ a1+2a +na, a1+2a2 +na+(n+lan+ltan+l n+
1( 1), . 4 (10 ) d d d d d d , : ( 1) ( 1) 2 五、 分 计算 2 + 2 + 2 其中 S - 2 + - 2 + = ³ 取外侧 ÚÚ S y z x y z y z x z x y x y π. 3 25 π 2π 3 19 π, 3 19 sin )d 3 2 sin sin 4 1 cos sin 4 1 4 d ( 2 ( )d 2 ( )d 2 d d 2( cos sin sin sin 2) sin d d d 2π, 1, . 4 : 1, , : ( 1) π 0 2 2 π 0 1 0 2 π 0 π 0 2 2 0 0 0 0 0 \ = + = = + + = = + + = + = + + = - = - S = - + £ = - Ú Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ S+S S S+S S 原式 解 设 左侧 则原式 q q j q j j j x y z v x y v q j r q j r q j r j r z x z y D x V V D π. 3 25 π 2 π 3 11 π 3 8 2 , 4 π, :( 1 ) 6 11 d d d d π 2 ( 2 ) d 2 , 1 , 4 π, :( 1 ) 3 4 d d d d π ( 2 ) d d d 2 π, 2 ( ) d , 2 ( ) d 2 π. 1 , . 4 : 1 , , :( 1 ) 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 \ = + + = = = × × - = - + £ - = = - = - + £ - ³ = - = - = + + = + + + S = - + £ = - ÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ S S + S S + S S 原式 故原式 另解 设 左侧 则原式 y y z y v y x z x y y y y D x x x y z x v x x y z x x x x D y z x x y z v x y z v z y D x y V D x V D D V V y x . ( 1) 2 ; (2) 2 (1) lim (10 ) , . 1 1 2 1 2 1 Â Â • = Æ• • = + + + + + + + n n n n n n n n a a na n a a na a S L L 六、 分 设正项级数 收敛 且和为 试求： . 1 2 2 ( 1 ) 1 2 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 0 ; 2 lim , 1 1 2 ( 1 ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 + + Æ• - - - + + + + + + + - + + + = + + + + - + + + = + + + + = - = + + + \ - × - + + + = - + + + = - + - + - + + - = + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a a na n a n a a na n a a na n a a na n n a a na S S n a a na n n n S S S S n S S S S n S S S S S S S n a a na L L L L L L L L L L 解
记bn 2 则出+2a2+…+m= n(n+1) bn -bn+1+an+I +2a2+…+mn=b1+an+1 a=s 七、(10分)飞机在机场开始滑行都击在着陆时刻已失去垂査度,水平速度为米/秒 飞机与地面的摩擦系数H,且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成E比在水 平方向的比例系数为千克秒2/米2,在垂直方向的比例系数为k,千克秒/米2设飞 机的质量为m千克求飞机从着陆到停止需的时间 解水平方向的阻力R2=kx2,垂直方向的阻力R,=k,y2,摩擦力W=以(mg-R,) 由牛顿第二定律,有dsk2-p +Hg=0. 记A=,一1,B=g,根据题意知A>0.于是有+A出 dv d)+B=0,即+Av2+B=0. 分离变量得d-=d,积分得了AB Av2+B v)=-1+C. 代入初始条件t=0,v=v,得C1 AB Bo arctan( √AB arctan( B v) √wb包)1“m/,一的 以下两题乙组考生不做 八、(10分)证明sinl是无理数 证设sinl是有理数,则sinl=P,p,q是互素的正整数 q 根据sinx的展开式有P=1 一+… 3!5!7 cos 5(2n-1>g 由(2n-1)2=(2n-1) (2n-1)2n(2n+1) 5知 2m2n+1cos5是整数(两个整数之差仍是整数) 然而1c0s5k1,2n>1故D0不可能是整数,矛盾 2n(2n+1) 所以sin1是无理数 九、(0分)在区间(O,)内,试比较函数 tan(sin x)与sin(tanx)的大小,并证明你的结论
. ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 , 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 b a a S n n a a na b b a n n a a na n a a na b n n n n n n n n n n n n = + = = + + + + \ = - + + + + + + + + = Â Â Â • = • = + • = + + L L L 记 则 , . / , / . , , ( 10 ) . , / . 2 2 2 2 0 机的质量为 千克 求飞机从着陆到停止所 需的时间 平方向的比例系数为 千克 秒 米 在垂直方向的比例系数 为 千克 秒 米 设飞 飞机与地面的摩擦系数 为 且飞机运动时所受空气 的阻力与速度的平方成 正比 在水 七、 分 飞机在机场开始滑行着 陆 在着陆时刻已失去垂直 速度 水平速度为 米 秒 m k k v x y × × m arctan ( ). ( ) arctan( ) 1 0 arctan( ). 1 arctan( ) 1 arctan( ). 1 0 , , arctan( ) . 1 d , d 0 . d d ) 0 , d d ( d d , , 0 . ) 0 . d d ( d d , , ( ). 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 时， 秒 代入初始条件 得 分离变量得 积分得 记 根据题意知 于是有 即 由牛顿第二定律，有 解 水平方向的阻力 垂直方向的阻力 摩擦力 v m g k k k k g m v B A AB v t v B A AB v B A AB t v B A AB t v v C v t C B A AB t Av B v Av B t v B t s A t s B g A m k k A g t s m k k t s R k v R k v W mg R x y x y x y x y x x y y y m - m - m m = = = \ = - = = = = - = - + + = m > + + = + + = - m = + m = - m + = = = m - 以下两题乙组考生不做 八、(10 分 ) 证明 sin 1 是无理数 . sin 1 . , . 2 (2 1 ) ( 1 ) cos | cos | 1 , 2 1 , cos ( ). 2 (2 1 ) ( 1 ) cos 2 (2 1 ) ( 1 ) ] (2 1 )! ( 1 ) 7 ! 1 5 ! 1 3 ! 1 (2 1 )! (2 1 )
解设f(x)=tan(sinx)- sin(tan x),则 f(x)=sec(sin x)cos x-cos(tan x )secx 2 cosx-cos(tan x)cos"(sin x) cos-(sIn x)cOS-x 当00 于是tnx+2smx>3x所以 cos tanx+2smx0.又f()=0,所以f(x)>0 当x∈ arctan)时, sin(arctan)0 综上可得,当x∈(0,)时,tan(sinx)>sin(tanx)
) , tan(sin ) sin(tan ). 2 π , 0, ) , ( ) 0. 2 π , 2 π [arctan sin 1. 1 tan(sin ) tan1. 4 π , 4 π 4 π π 4 π 1 2 π ) 2 π 1 tan (arctan ) 2 π tan(arctan ) 2 π sin(arctan ) sin 1. 2 π ) , sin(arctan 2 π , 2 π [arctan ) ( ) 0, ( 0) 0, ( ) 0. 2 π ( 0, arctan cos , cos(tan ) cos (sin ) cos . 3 tan 2sin tan 2sin 3 , cos 0. 2 ( ) tan 2sin 3 ( ) sec 2cos 3 tan 4sin . 3 tan 2sin [cos(tan ) 2cos(sin )] cos 3 1 cos(tan ) cos (sin ) 2 π 0 . 2 π , 0 sin 2 π 0 tan 2 π 0 arctan . cos (sin ) cos cos cos(tan ) cos (sin ) ( ) sec (sin ) cos cos(tan ) sec 解 设 ( ) tan(sin ) sin(tan ), 则 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 x x x x f x x x x x x f x f f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x f x x x Œ > \ Œ > + = + = + = Œ = > = + - ¢ = + - = - > + £ + £ < < < < < < - ¢ = - = = - 综上可得 当 （ 时 当 时 故 于是 当 时 由于 于是当 时， 又 所以 于是 所以 即 设 ， 由余弦函数在（ ， ）上的凸性有 当 时， j j
