湖南省2006年大学生数学竞赛试题 (B组:非数学专业) 湖南省数学会 B-1.设∫(x,y) (1)求im2+0 (2)证明:当x∈(-∞,+∞),y∈l,+∞)时,f(x,y)≥0 3)证明:当y2-的ak的个数.证明不等式 2V下+2(0分 B-3定义P=0,1×0,1]上的函数 x(1-y)当x≤ ∫(x,y) )当r>y 求f(x,y)在P上的最大值和最小值.(10分) B4.求曲面2=x2+y2夹在两个曲面4x2+y2=y和4x2+y2=2y之间的那部 分的面积.(10分) B-5.设幂级数∑=0anxn的系数满足关系式an+2+C1an+1+2an=0(n≥0),其中 c1,2是常数.若a0=1,a1=-7,a=-1,a3=-43,求an的一般表达式,并求幂级数 的收敛半径及级数的和,(10分)
B-6.已知微分方程(其中y=y(x) y"+(x+ey)(y/)3=0, 若视x为y的函数,证明x=ep+c2e-y+3e2,其中c;,a为任意常数(10分) B-7.证明:如果x1,x2,…,x满足条件 ∑=0(k=1,2,…,n) 那么只能x1=x2=…=xn=0.(10分) B-8.求a使得0是矩阵 A=020 的一个特征值并对a的这个值求出A的全部特征值及相应的特征向量10分) B9.设连续型二维随机向量(X,Y)在由x=0y=0,y=4和y=-3m+8所围成 的区域内服从均匀分布 (1)求(X,Y)的联合密度 (2)求X与Y各自的边缘密度 (3)求Y关于X的条件密度 (4)求X与Y的协方差.(10分) B-10.考虑如下回归模型 Y2=m+E2,t=1 其中{e}为独立同分布误差,服从N(0,a2)分布,m和2>0是未知参数 (1)求未知参数m和口2的极大似然估计m和a (2)求参数m和a2的极大似然估计mL和a的均值 (3)叙述对立假设H0:m=m0,H1:m≠m0的检验方法.(10分)