Ⅱ幂级数: 10定义,具有下列形式的函数项级数 ∑anx=an+a1x+a2x2+…+anxn+…称为幂级数 (∑an1(x-x0)令x-x0=t即上述形式) 取ⅹ=x1∑anx为常数项级数,如收敛,其和为s(x) X=x2∑anx2为常数项级数,如收敛,其和为s(x2) x=xs(x)为和函数lmsn(x)=s(x),x=0,总收敛 对幂级数主要讨论两个问题 (1)幂级数的收敛域 (2)将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构 定理:(i)如∑anx在x=x0(x0≠0)收敛,则对于满足N|<kxl的 切x∑anx"都绝对收敛 (i)如∑anx在x=x1发散,则对于满足N>xl的一切x ∑anx"发散 证:(1)∵∴∑anx收敛→ lim a.x=0 n=0 n→ nx<k(收敛数列必有界) k 为几何级数,当11即网<d收 ∑x收∴原级数绝对收敛II 幂级数： 1 0 定义，具有下列形式的函数项级数  = + + + + +  n=0 n n 2 0 1 2 n a n x a a x a x  a x 称为幂级数 (( n n 0 n 0 a (x − x )  = 令 x x t − 0 = 即上述形式)) 取 x = x1   n=0 n nx1 a 为常数项级数，如收敛，其和为 s(x )1 x = x2  n n x2 a 为常数项级数，如收敛，其和为 s(x ) 2 x = x s(x) 为和函数 lim s (x) s(x) n n = → , x = 0,总收敛 对幂级数主要讨论两个问题 （1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构 定理：（i）如   n=0 n a n x 在 x = x0 (x 0) 0  收敛，则对于满足 x  x0 的 一切 x n n 0 an x  = 都绝对收敛 （ii）如   n=0 n a n x 在 x = x1 发散，则对于满足 x  x0 的一切 x   n=0 n anx 发散 证：（1）∵   n=0 n n x0 a 收敛 lim a x 0 n n 0 n → = → ∴ a x k n n 0  （收敛数列必有界） 而 n 0 n 0 n n 0 n n x x k x x a x = a x  n n 0 x0 x  k          = 为几何级数，当 1 x x 0  即 x  x0 收 ∴  n a n x 收 ∴ 原级数绝对收敛