r∈[O,是单调增加的,所以有 P 0≤P+1(x)=P4(x) 由数学归纳法得到对一切自然数n成立 0≤P(x)≤x 于是由P1(x)=P(+x2-P2(x,又得到P1()2P(x),所以函数序列 {P(x)}在[1上收敛 设Im(x)=P(x),对等式P1(x)=P1()+x-Fi(两边求极限 得到P=+2-p2(),于是解得P(x)=,并由Di定理可知 2 {Pn(x)在[-1上是一致收敛于国的t ∈[0,1]是单调增加的，所以有 x x P x P x P x k k k ≤ − ≤ + = + 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 1 ， 由数学归纳法得到对一切自然数n成立 P x x 0 ≤ n ( ) ≤ 。 于是由 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x P x P x P x n n n − + = + ，又得到 ，所以函数序列 在[ 上收敛。 ( ) ( ) 1 P x P x n+ ≥ n { } P (x) n −1,1] 设 lim P (x) P(x) n n = →∞ ，对等式 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x P x P x P x n n n − + = + 两边求极限， 得到 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 x P x P x P x − = + ，于是解得 P(x) = x ，并由 Dini 定理可知 { } Pn (x) 在[−1,1]上是一致收敛于 x 的。 11