实数集中是稠密的,可以取有理数a(k=0.2,…,n)分别与 b(k=0.12,…,n)充分接近,令P(x)=∑a4x,使得对一切x∈[a,b成立 P(x)-Qx)<° 于是 P(x)-f(xs P(x)-(x)+2(x)-f(x)<E 对一切x∈[a,b成立 4.设f(x)在[a,b上连续,且对任一多项式g(x)成立 f(x)g(x)dx=0。 证明在[a,b上成立f(x)=0。 证由定理10.51,对任意给定的E>0,存在多项式P(x),使得对 切x∈a,b]成立 P(x)-f(x)<6 由于 广f(x)-P(x)2d=2(x)-2f(x)P(x)+P2(x)=(x)+P(x), 所以 f2(xs(x)+P2(x)=(x)-Px)dx<(b-a)2 由s的任意性,得到 rr2(x)dx=0 再由f(x)的连续性,得到 f(x)≡0。 设(x)=0,Pn(x)=P(x)+x-5((n=0,1,2…),证明:{P(x) 在[-1,1上一致收敛于|x|。 证首先有0≤B(x)≤冈。设0≤P()刚,由于函数M0)=1+x在实数集中是稠密的，可以取有理数 ak (k = 0,1,2,", n) 分别与 充分接近，令 ，使得对一切 成立 bk (k = 0,1,2,", n) ∑ = = n k k k P x a x 0 ( ) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε P x − Q x < 。 于是 P(x) − f (x) ≤ P(x) − Q(x) + Q(x) − f (x) < ε 对一切 x ∈[a,b]成立。 4. 设 f x( )在[ , a b]上连续，且对任一多项式 g(x)成立 ( ) ( ) = 0 ∫ b a f x g x dx 。 证明在[ , a b]上成立 f (x) ≡ 0。 证 由定理 10.5.1，对任意给定的ε > 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 P(x) x ∈[a,b] P(x) − f (x) < ε 。 由于 ∫ − = b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] ∫ − + = b a [ f (x) 2 f (x)P(x) P (x)]dx 2 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 ， 所以 ∫ ≤ b a f (x)dx 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 = ∫ − b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] 2 < (b − a)ε 。 由ε 的任意性，得到 ( ) 0 2 ∫ = b a f x dx ， 再由 f (x)的连续性，得到 f (x) ≡ 0。 5. 设P0 (x)=0，Pn+1 (x) = Pn (x)+ 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,…），证明：｛ (x)｝ 在[-1,1]上一致收敛于｜x｜。 Pn 证 首先有0 ≤ P (x) ≤ x 0 。设 P x x 0 ≤ k ( ) ≤ ，由于函数 2 ( ) 2 2 x t h t t − = + 在 10