习题10.5用多项式逼近连续函数 1.求f(x)=x的 Bernstein多项式B,(f,x) 解B(,x)=∑cx(-x)=∑-1)k-2nx2(1-x)yk x 利用等式C k nl ,可分别得到 n k(k-1(k-2 Cx2(1-x)+k=S(n=1)n-2 n-k (n-1)(n-2) -3(1-x)n-k(n- D)(n 22 nCnr(1-x)*=230n-Dck-2x(1-x)k 3(n-1) (1 所以 B,(, x) (n-1)(n-2)3,3(n-1) 2.设f(x)=√x,x∈[0,1],求它的四次 Bernstein多项式B:(fx) 解 B4(,x)=∑ 3+3√2x2(1-x)2+23x(-x)+x (3y2-2√3-1)x4+2(3+√3-3√2)x3+3(√2-2)x 3.设f(x)在[a,b上连续,证明:对任意给定的E>0,,存在有理系数 多项式P(x),使得 P(x)-f(x)<E。 对一切x∈[a,b成立 证由定理10.51,对任意给定的E>0,存在多项式Q(x),使得对 切x∈[a,b]成立 (x)-f(x) 设Q(x)=∑bx4,其中b(k=0.12.…,n)是实数,由于有理数集合在 k=0习 题 10. 5 用多项式逼近连续函数 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式Bn (f , x)。 解 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 − + − − = − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 − + − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 。 利用等式 1 1 !( )! ! − = − − = ⋅ k n k n C k n k n n k C n k ，可分别得到 − = − − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 k k n k n n k C x x n n n − − − = − − − ∑ (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 2 − = − − = − − − − = ∑ k k n k n n k x C x x n n n (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 3 3 2 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − ； − = − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n n − − − = − − ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 k k n k n n k x C x x n n − − − − = − − = ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 3( 1) x n n − = ； k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 k k n k n n k C x x n − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 2 k k n k n n k x C x x n − − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 1 2 x n 2 1 = 。 所以 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − = 2 2 3( 1) x n n − + x n 2 1 + 。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式B4 (f ,x)。 解 B4 ( f , x) = k k k k C x x k − = ∑ − 4 4 4 1 (1 ) 4 3 = 2x(1− x) 2 2 + 3 2x (1− x) 2 3 (1 ) 3 + x − x 4 + x 4 = (3 2 − 2 3 −1)x 3 + 2(3 + 3 − 3 2)x 3( 2 2)x 2x 2 + − + 。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε > 0，，存在有理系数 多项式 P(x)，使得 P x( ) − f ( ) x < ε 。 对一切 x∈[a, b]成立。 证 由定理 10.5.1，对任意给定的ε > 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 Q(x) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε Q x − f x < 。 设 ∑ ，其中 = = n k k k Q x b x 0 ( ) bk (k = 0,1,2,", n)是实数，由于有理数集合在 9