龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程及其在算法与智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第3章随机过程的一般概念与独立增量过程 1.一般概念 1随机过程与有限维分布族 定义3.1设T为[0∞)或(-∞,∞)或R,依赖参数t(t∈T)的一族随机变量 (或随机向量){}通称为随机过程,t称为时间.当T为整数集或正整数集时,则一般称 为随机序列而当T为二维(或更一般地,d维)整数格点时,则称为随机场. 更明确地,随机过程ξ应该写成ξ,(5(t,O).这里的O代表做一次完整的试验 或者说,是一个基本事件.当O取固定的值,例如o0时,5(O0)是t的函数,称为随机过程 的一个轨道或一个”现实”,这个现实是由Oo导致的 定义3.2随机过程或随机序列的概率特性,由它在任意有限个时刻{12…,tn}上 (ξ,…,ξ)的分布(称为有限维分布族)所确定.有限维分布族即 5≤xn):Ⅶn,Ⅵ12…,tn∈T,x12…,xn} 定义3.3有限维分布都是 Gauss分布的随机过程或随机序列,称为 Gauss过程或 Gauss序列对于Gius过程或序列){,:l∈T},记m(1)=E5,0(,s)=Cov(515,),分 别称为期望函数与协方差函数G(1,s)是非负定对称函数,即 0(s,1)=(,s,t∈T,矩阵((t1,1),m为非负定矩阵(Vn,V4;…,tn∈T) 于是{5:t∈}的Gaus性就等价于:对任意有限个时刻{,…n},(5,…,5,)的矩母 数为 有时人们也用R(t,s)=E(3,)=a(1,s)+m(t)m(s),称其为相关函数可见 Gauss过 程的有限维分布族由期望函数与相关函数完全地确定了 d维随机过程ξ1是依赖于参数t的d维随机向量族.其它概念与随机过程类似 1.2独立增量过程 定义3·4称随机过程{:t≥0}为独立增量过程,如果对于45 龚光鲁，钱敏平著 应用随机过程教程及其在算法与智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第 3 章 随机过程的一般概念与独立增量过程 1. 一般概念 1. 1 随机过程与有限维分布族 定义３.１ 设T 为[0,¥)或（- ¥，¥）或 d R ，依赖参数t（t Î T ）的一族随机变量 （或随机向量）{ }t x 通称为随机过程，t 称为时间．当T 为整数集或正整数集时，则一般称 为随机序列. 而当T 为二维（或更一般地， d 维）整数格点时，则称为随机场． 更明确地，随机过程 t x 应该写成 ( ) t, ) xt w 或x（ w . 这里的w 代表做一次完整的试验, 或者说, 是一个基本事件. 当w 取固定的值, 例如w0 时, ( ) w0 xt 是t 的函数, 称为随机过程 的一个轨道或一个”现实”，这个现实是由w0 导致的． 定义３.２ 随机过程或随机序列的概率特性，由它在任意有限个时刻{ , , } 1 n t L t 上 ( , , ) t n t t x L x 的分布 (称为有限维分布族) 所确定. 有限维分布族即: { ( , , ) ( , , ): , , , , , , } t1 , ,t 1 n t1 1 t n 1 n 1 n F x x P x x n t t T x x L n L = £ L n £ " " L Î " L D x x . 定义３.３ 有限维分布都是 Gauss 分布的随机过程或随机序列，称为 Gauss 过程或 Gauss 序列. 对于 Gauss 过程(或序列){ : t T} xt Î , 记 ( ) , ( , ) ( , ) t Cov t s m t = Ex s t s = x x , 分 别称为期望函数与协方差函数.s (t,s) 是非负定对称函数, 即 s (s,t) =s (t,s),s,t ÎT ，矩阵 i j i j n t t , £ (s ( , ) 为非负定矩阵（"n,"t 1 ,L,t n ÎT ）. 于是{ : t T} xt Î 的 Gauss 性就等价于: 对任意有限个时刻{ , , } 1 n t L t , ( , , ) t n t t x L x 的矩母 函数为 å = £ + + + i j n n n i j i j m t z m t z t t z z n M z z e , 1 1 ( , ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( , , ) L s L . (3. 1) 有时人们也用 R(t,s) E( ) (t,s) m(t)m(s) = xt xs = s + D , 称其为相关函数. 可见 Gauss 过 程的有限维分布族由期望函数与相关函数完全地确定了. d 维随机过程 t x 是依赖于参数t 的 d 维随机向量族. 其它概念与随机过程类似. 1. 2 独立增量过程 定 义 ３ . ４ 称随机过程 { : t ³ 0} t x 为 独立增量过程 , 如果对于