Vn,0≤0<41<…<tn,起始随机变量及其后的增量5,54-5,…5n-5m,是相 互独立的随机变量组.独立增量过程称为时齐的,如果ξ-5,的分布不依赖于s 时间离散的独立增量过程,就是独立随机变量的部分和.而时齐的独立增量过程则是独 立同分布随机变量部分和的时间连续情形 记随机过程,的特征函数为Φ(a,1)=Ee,那么我们有 命题3.5若ξ0=0,则独立增量过程ξ为时齐的必要充分条件为:其特征函数有可 乘性,即 dp(a, t+s=g(a,top(a, s) 证明:必要性显然.我们证明充分性.由独立增量性,我们有下面的命题 pp(a, rp(a, s)=q(a, t+s) ee 由此得到 Eea(5+s,)=g(a, t)=Ee"asr 这正说明了过程的时齐性 独立增量过程具有以下的 Markov性:对于Vs>s1>…>SmV1,y,x,x,…,xm有 (*≤y|5,=x,5,=x1,…5.=xm)=P(5≤y|5,=x) 这个等式的推导将在本章第3节中在特殊情形(增量具有分布密度的情形)中给出.等式 3.3)有非常明确的概率含义,它说明了由这个随机过程所描写的随机现象具有以下特 点:在已知,=x,5,=x1,…,,=xm条件下,随机变量的条件分布函数只与5,=x 有关,而与随机向量(5,…,5。)的取值无关如果把s看成现在,5:=x看成现在的取 值,把S+看成”将来”,小于s的时刻看成”过去”,那么这正是表达了:对于独立增量过程, 在已知过去与现在的条件下,将来的条件分布只与现在的取值有关,而与过去的取值无关 这种”忘记过去”的性质,称为无后效性或 Markov性 时齐的独立增量过程具有非常特殊形式的特征函数:彐v(.使Eet=e) 类似地,人们常遇到d维独立增量过程 2 Poisson过程与复合 Poisson过程 2.1事故申报次数的概率模型与 Poisson过程 例3.δ(保险公司理赔次数)设在时间间隔(0,刁中某保险公司收到的某类保险的理赔 次数为N,那么它是一个只取非负整值的随机过程.从长期经验的积累,人们概括出以下46 , 0 , 0 1 n "n " £ t < t < L < t 起始随机变量及其后的增量 0 1 0 1 , , , - - -n n t t t t t x x x L x x 是相 互独立的随机变量组. 独立增量过程称为时齐的, 如果 s t s x - x + 的分布不依赖于 s. 时间离散的独立增量过程, 就是独立随机变量的部分和. 而时齐的独立增量过程则是独 立同分布随机变量部分和的时间连续情形. 记随机过程 t x 的特征函数为 t ia a t Ee x F( , ) = , 那么我们有 命题３．５ 若x0 = 0， 则独立增量过程 t x 为时齐的必要充分条件为：其特征函数有可 乘性, 即 F(a,t + s) = F(a,t)F(a,s) . (3. 2) 证明: 必要性显然．我们证明充分性．由独立增量性, 我们有下面的命题 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) Ee Ee Ee Ee a s a t a s a t s s t s t s s s t s ia ia ia ia = = = F F F = F + x + x + -x x x + -x , 由此得到 s t s t ia ia Ee a t Ee x x x = F = + - ( , ) ( ) , 这正说明了过程的时齐性. 独立增量过程具有以下的 Markov 性: 对于 m m s s s , t, y, x, x , , x " > 1 > L > " 1 L 有 ( | , , , ) s t s s1 1 s m P y x x x m x + £ x = x = L x = = P( y | x) xs +t £ x s = . (3. 3) 这个等式的推导将在本章第３节中在特殊情形(增量具有分布密度的情形)中给出. 等式 （３．３）有非常明确的概率含义, 它说明了由这个随机过程所描写的随机现象具有以下特 点: 在已知 s s s m x x x m x = ,x = 1 , ,x = 1 L 条件下, 随机变量 s+t x 的条件分布函数只与 x x s = 有关, 而与随机向量 ( , , ) s1 sm x L x 的取值无关. 如果把 s 看成”现在”, x x s = 看成现在的取 值, 把s + t 看成”将来”, 小于 s 的时刻看成”过去”, 那么这正是表达了: 对于独立增量过程, 在已知过去与现在的条件下, 将来的条件分布只与现在的取值有关, 而与过去的取值无关. 这种＂忘记过去” 的性质, 称为无后效性或 Markov 性. 时齐的独立增量过程 t x 具有非常特殊形式的特征函数: ( ) ( ), lx y l y l i t Ee e t - $ 使 = . 类似地, 人们常遇到d 维独立增量过程. 2 Poisson 过程与复合 Poisson 过程 2.1 事故申报次数的概率模型与 Poisson 过程 例３．６ (保险公司理赔次数) 设在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某类保险的理赔 次数为 Nt , 那么它是一个只取非负整值的随机过程. 从长期经验的积累, 人们概括出以下