的初步近似性质: (1)在不同的时间区段内的理赔次数是彼此独立的随机变量 (2)在同样长的时间区段内的理赔次数的概率规律是一样的; (3)N。=0,在有限时间区段内理赔次数是有限的,而且在非常短的时间区段h内的 理赔次数超过2的概率是h的高价无穷小o(h) (1),(2)说明了N是时齐的独立增量过程.而性质③3)称为普通性 我们来推导满足普通性的非负整值的时齐独立增量过程的概率分布.令 P,()=P(N1=l),我们有 P0( P(Ns=0)=P(N1=0,N =P(N=0)P(N+-N1=0)=P0(D)p0(s) 解这个函数方程,可知存在λ>0,使p0(t)=e-.再则,由性质(3)有 P(N+h-N1≥2)=o(h) 利用时齐性及独立增量性,由全概率公式我们得到 Pr(+h)=P(N,h=k+1) P(N1=k,N+b-N1=1)+P(N1=k+1,Nh-N1=0)+o(h) =P4(D)P(h)+P4+1(D)p0(h)+o(h) P4(D)(1-P0(h)-o(h)+Pk1()e-+o(h) P4(1-e-)+Pk+()e+o(h 于是 (+b)-P、Nm(+Bb 令h→0,便得无穷常微分方程组 Pk(1)=λ·P(1)-·Pk1(t) 4) 显见,对于k≥1还应该满足初值条件: (0)=0,P0(0) 下面我们用矩母函数方法来推导P()的明显表达式令 (,=)=E=∑p47 的初步近似性质: (1) 在不同的时间区段内的理赔次数是彼此独立的随机变量; (2) 在同样长的时间区段内的理赔次数的概率规律是一样的; (3) N0 = 0, 在有限时间区段内理赔次数是有限的, 而且在非常短的时间区段 h 内的 理赔次数超过 2 的概率是h 的高价无穷小 o(h ). (1), (2) 说明了Nt 是时齐的独立增量过程. 而性质(3)称为普通性. 我们来推导满足普通性的非负整值的时齐独立增量过程的概率分布 . 令 p (t) P(N i) i = t = , 我们有 ( ) ( 0) ( 0, 0) p0 t + s = P Nt+s = = P Nt = Nt+s - Nt = ( 0) ( 0) ( ) ( ) 0 0 P N P N N p t p s = t = t +s - t = = ． 解这个函数方程, 可知存在l > 0 , 使 t p t e -l 0 ( ) = . 再则，由性质(3)有 P(N N 2) o(h) t+h - t ³ = , 利用时齐性及独立增量性, 由全概率公式我们得到 ( ) ( 1) pk+1 t + h = P Nt +h = k + P(N k, N N 1) P(N k 1, N N 0) o(h) = t = t +h - t = + t = + t+h - t = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = pk t p1 h + pk +1 t p0 h + o h ( )(1 ( ) ( )) ( ) ( ) 0 1 p t p h o h p t e o h h = k - - + k + - + l ( )(1 ) ( ) ( ) 1 p t e p t e o h h k h = k - + + - + -l l ． 于是 h e p t h e p t h p t h p t h k h k k k 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 - + - = + - - + - + + l l ． 令h ® 0, 便得无穷常微分方程组: ' ( ) ( ) ( ) 1 1 p t p t p t k+ k k+ = l × - l × （３．４） 显见，对于k ³1还应该满足初值条件： pk (0) = 0, p0 (0) = 1. 下面我们用矩母函数方法来推导 p (t) k 的明显表达式. 令 å ¥ = D = = 0 ( , ) ( ) k k zN k M t z Ez z p t t ．