那么 po(t)+∑pk() (P(1)-Pk+1() Ap0()+x·M(t,2)-A(M(t,z)-P0()=A(2-1)M(t, 实质上这是一个以二为参数的关于自变量t的常系数常微分方程,且满足初始条件 M(0,=)=P0(0)=1.易见此方程的解为 (t,=) kI 按矩母函数的定义,由此得到表达式 P,(t) 也就是说N1~ Poisson·随机过程N称为 Poisson过程 由 Poisson分布的性质推出:EN1=ar(N)=λ·1,由此我们便得到参数λ的概率含 eN, Var(N) 即λ是单位时间的平均理赔次数,称为此 Poisson过程的强度, 同时它也代表单位时间理赔次数的方差 注1方程(3.4)也可以用数学归纳法通过常微分方程中的常数变异法直接求解 [注2] Poisson过程是用以描写一切”罕见事件”发生的概率规律的数学模型. 定义3.7时齐的独立增量过程N,称为强度为λ的 Poisson过程,如果它满足 N。=0,N1~ Poisson Poisson过程的联合分布为 1<…<Im,n1<…nm,P(4=n1,…N=mm)=Pn(1)P吗-(2-41)…P-m:(m-m) 2.2 Poisson过程与指数流的关系 把理赔时刻看成随机到达的”点”,那么随着时间的发展,就出现一系列随机的点,记 这些时刻为0<τ1<…<τn<…>∞,即τ为第k个理赔发生的时刻.这个概念可以抽 象为下述定义 定义3.8如果随机序列{τk}满足:0=τo<τ1<…<τm<…>∞,则称之为 个事件流,简称为流.记T=τ-τ-1.如果7~eXp2,而且{}独立同分布,那么, 我们称这个事件流0=0<T1<…<Tm<…→>∞为强度为λ的指数流又由于随机序列48 那么 å å ¥ = + + - ¥ = + = + + = - + - ¶ ¶ 0 1 1 0 1 0 1 ' ( ) ' ( ) ( ( ) ( )) ( , ) k k k k t k k p t p k t z e p t p t z t M t z l l l ( ) ( , ) ( ( , ) ( )) ( 1) ( , ) 0 0 = -lp t + l ×zM t z - l M t z - p t = l z - M t z ． 实质上这是一个以 z 为参数的关于自变量 t 的常系数常微分方程, 且满足初始条件 M (0,z) = p0 (0) = 1. 易见此方程的解为 å ¥ = - - = = 0 ( 1) ! ( ) ( , ) k t k k z t e z k t M t z e l l l . 按矩母函数的定义，由此得到表达式 t k k e k t p t l -l = ! ( ) ( ) . 也就是说 Nt ~ Poissonlt ．随机过程 Nt 称为 Poisson 过程. 由 Poisson 分布的性质推出: EN Var N t t t = ( ) = l × , 由此我们便得到参数l 的概率含 义: t Var N t ENt t ( ) l = = , 即l 是单位时间的平均理赔次数, 称为此Poisson过程的强度, 同时它也代表单位时间理赔次数的方差. [注 1] 方程(３．４)也可以用数学归纳法通过常微分方程中的常数变异法直接求解. [注 2] Poisson 过程是用以描写一切”罕见事件”发生的概率规律的数学模型. 定义３.７ 时齐的独立增量过程Nt 称为强度为l 的 Poisson 过程，如果它满足 N Nt ~ Poissonlt 0, 0 = ． Poisson 过程的联合分布为 , , ( , , ) ( ) ( ) ( ) 1 < < m 1 < m t1 = 1 t = m = n1 1 n2 -n1 2 - 1 n -n -1 m - m-1 t t n n P N n N n p t p t t p t t L L L m L m m 2. 2 Poisson 过程与指数流的关系 把理赔时刻看成随机到达的 ”点”, 那么随着时间的发展, 就出现一系列随机的点, 记 这些时刻为 0 < t 1 <L < t m <L ® ¥ , 即 k t 为第 k 个理赔发生的时刻. 这个概念可以抽 象为下述定义 定义３.８ 如果随机序列{ }k t 满足: 0 = t 0 < t1 < L < t m < L ® ¥ , 则称之为一 个事件流，简称为流. 记Tk = k - k-1 t t . 如果 l Tk ~ exp , 而且{ } Tk 独立同分布，那么， 我们称这个事件流 0 = t 0 < t1 < L < t m < L ® ¥ 为强度为l 的指数流. 又由于随机序列