T}与随机序列{τn)唯一地相互确定,所以,有时我们也称{k}为指数流. 对于指数流{k)而言,在时间段(01中出现的τk的个数,记为N1=sup{k:τk≤l}, 是一个 Poisson过程,N称为指数流的计数过程我们把这写成一般的结论 定理3·9对于取非负整值的随机过程N1,令k=n{t:N,=k}(它等价于 N,=sup{k:τk≤l}),那么下面诸事实彼此等价 (1){k}是强度为λ的指数流 (2)Vn,(1…rn)的分布密度为(记号l4表示A的示性函数) g(,…,Sn)=Xel1ons<:; (3)N是强度为λ的 Poisson过程 证明首先注意{N≥k}={k≤l} (1)→(2)只要注意 P(r1≤ < 1…d,=小…∫ed…d +2s52 1++n≤Sn λeld1…d 而(2)→(1)得自{n}与{Tk}是一一对应的 (2)→(3)先求τk,(k≤m)的密度(记成g4().由(2)用归纳法可得 g(n)=…「e1-s,,…-d…d (I(k,λ)分布) (k-1) 再则,由(2)推出 P(N,=m,N+≥m+k)=P(tn≤S<m< m+k-S+t S<S+1<<m+k≤s+t49 { } Tk 与随机序列{ ) n t 唯一地相互确定, 所以，有时我们也称{ } Tk 为指数流. 对于指数流{ ) k t 而言，在时间段 (0,t]中出现的 k t 的个数，记为 N sup{k : t} t = tk £ ， 是一个 Poisson 过程，Nt 称为指数流的计数过程. 我们把这写成一般的结论. 定理３．９ 对于取非负整值的随机过程 Nt , 令 inf{ t : N k} t k = t = ( 它等价于 N sup{k : t} t = t k £ )，那么下面诸事实彼此等价: (1) { }k t 是强度为l 的指数流; (2) ,( , , ) n 1 n " t L t 的分布密度为 (记号 A I 表示 A 的示性函数) 1 {0 1 } ( , , ) n n s s n s n g s s e I < < < - L = l L ; (3. 4) (3) Nt 是强度为l 的 Poisson 过程. 证明 首先注意 {N k} { t} t ³ = tk £ . (1)Þ(2) 只要注意 ò ò + + £ + £ £ > - + + £ £ = n n n n t t s t t s t s t t n n t t P s n sn e dt dt L L L L L L L 1 1 2 2 1 1 1 1 , , 0 1 ( ) 1 1 ( , , ) l t t l ò ò £ £ £ > > > - = n n n n y s y s y s y y n n y e dy dy L L L L 2 2 1 1 1 0 1 l l ò ò £ £ £ < < < - = n n n n y s y s y s y y n n y e I dy dy L L L L 2 2 1 1 0 1 1 l l . 而(2)Þ(1) 得自{ }n t 与{ } Tk 是一一对应的. (2)Þ(3) 先求 ,(k n) t k £ 的密度(记成g (u) k ). 由(2)用归纳法可得 g (u) k ò ò < < < < < < < - + - - + = s s u s s k k n n s e I ds ds ds ds k k n L n 0 1 L 1 1 L 1L 1 1L l l 0 1 ( 1)! > - -l - = l u k k u I k u e (G(k,l) 分布). (3. 5) 再则, 由(2)推出 P(N m,N m k) s = t +s ³ + ( ) 1 P s s t = t m £ < t m+ < L < t m+k £ + ò ò < < < £ + £ < < < + + - + + + + = s s s s t s s s s m k m k s m m k m m k m k e I ds ds L L L L 1 0 1 1 l l