采用变量替换yn1=Sm-s,(≤k,u=yn+k后,可以很容易地算出右方的积分为 meg()ld,即我们得到了 P(N,=m, N, 2m+k)=2",(u)du 进而有 P(N k)=∑P(N,=m,N ∑x"ejsm)dm=-Js.nh 并且 P(N+-N,=k)=P(N-N2≥k)-P(N-N,≥k+1)=(g(n)-84()dh (k-1) k k 特别地还有P(N=k)=P(N4-M0-e.由此可见 P(N,=m,N#-N≥k)=P(N,=m,M+2m+k)=2」g4(a)dt =P(N1=k)P(N,u-N,≥k) 作为推论,我们得到P(N,=m,N-N=k)=P(N,=k)P(N-N,=k).这说明了 N与NN的独立性.利用类似的推理,对于Vn,V0<t1<…<tn,可得 P(N N =P(N,=m)P(N+1-N=m)…P(Nx-N+n=mn) (·(tn-tn)" 这就证明了随机过程ξ的独立增量性与 Poisson性 (3)→(2)的证明50 采用变量替换 m l m l m k y s s l k u y + = + - £ = + ,( ), 后, 可以很容易地算出右方的积分为 ò - t k s m m e g u du m s 0 ( ) ! l l , 即我们得到了 P(N m,N m k) s = t +s ³ + ò - = t k s m m e g u du m s 0 ( ) ! l l . 进而有 P(N N k) s +t - s ³ å ¥ = = = + ³ + 0 ( , ) m P Ns m Ns t m k å ò -l ¥ = = l t k s m m m e g u du m s 0 0 ( ) ! ò = t gk u du 0 ( ) . 并且 P(N N k ) s +t - s = P(N N k) = s+t - s ³ - ( - ³ + 1) + P N N k s t s = ò - + t gk u gk u du 0 1 ( ( ) ( )) ò -l + -l - l - - l = t u k k u k k e du k u e k u 0 1 1 ] ( 1)! ! { t k u t k k e k t e k u -l -l l × = l = ! ( ) ] ! [ 0 . 特别地还有 P(N k ) t = ( ) 0 P N N k = t - = t k e k t -l l × = ! ( ) . 由此可见 P(N m, N N k ) s = t+s - s ³ P(N m,N m k ) = s = t +s ³ + ò -l = l t k s m m e g u du m s 0 ( ) ! P(N k ) = t = P(N N k) s +t - s ³ . 作为推论，我们得到 P(N m, N N k) s = t +s - s = P(N k ) = t = P(N N k) s +t - s = . 这说明了 Ns 与 Ns +t - Ns .的独立性. 利用类似的推理, 对于 n "n " < t <L < t 0 1 , , 可得 ( , , , ) P Ns = m Ns+t1 - Ns = m1 L Ns+tn - Ns+tn-1 = mn ( ) ( ) ( ) = P Ns = m P Ns +t1 - Ns = m1 LP Ns+tn - Ns+tn-1 = mn s m e m s -l l × = ! ( ) 1 1 ! ( ) 1 1 t m e m t -l l × 1 ( ) 1 ! ( ( )) - -l - - l × - n n n t t n m n n e m t t L . 这就证明了随机过程 t x 的独立增量性与 Poisson 性. (3)Þ(2)的证明