对于Ⅶn,V0<S1<…<Sn,取充分小的h1,…,hn(<maxn(S1-S),S0=0) P(S1<T1<S1+h1,…,Sn<tn<Sn+hn) P(N=0, N N。=1,N,-N In+he P(N4=0)P(NA=1)P(N2-4-4=0)…P(Mn,=1) =e.1·he-·e(e-2…,h,e+o(h1…h) 入”h1…heˉ+o(h1…hn) 除以h…hn后,令h,…,hn→0,便得到(r1…,n)在约束条件0<S1<…<Sn下的分 布密度为e.(2)得以证明 定理3.10( Poisson过程的随机分流定理) 设N为强度为λ的 Poisson过程如果把其相应的指数流看成顾客流,用与此指数流相互 独立的概率P,把每个到达的顾客,归入第一类,而以概率1-P把他归入第二类.对 i=1.2,记N,为t前到达的第i类顾客数.那么{N,:t≥0}与{N2):t≥0}分别为强度 pλ与(1-p)的 Poisson过程,而且这两个过程相互独立(这个性质称为 Poisson过程的随 机分流定理,也称为 Poisson过程在随机选取下的不变性) 证明由N是独立增量过程及归类的机制,可知N,都是独立增量过程,而且 P(N60-N≥2)=o(h),P(N0-N=1)= pλ.h+o(h),(i=1) p)λ·h+o(h)(i=2) 所以它们都是 Poisson过程下面我们先证明它们在同一个时刻的独立性:由于 r(1) P(N N,=m N 我们有 P(N=n,N(2) =m)=C n+n7 (n+m)! e-pR (PA D.e4l-p((-pZ)-=P(N =n)P(N, 2)=m) 这就证明了在固定的时刻1,N与N独立我们用类似而较为冗长的叙述,可以证明 对于任意n,m,及1,…,n;51…,sm,随机向量(N40)…N)与(N…,N)的51 对于 n "n " < s <L < s 0 1 , , 取充分小的 , , ( max ( ), 0) h1 L hn < i£n si - si -1 s0 = ( , , ) 1 1 1 1 n n n hn P s < t < s + h L s < t < s + ( 0, 1, 0, , 1) 1 1 1 1 2 1 1 = = + - = - + = + - = n n n P Ns Ns h Ns Ns Ns h L Nt h Nt ( 0) ( 1) ( 0) ( 1) 1 1 2 1 1 = = = - - = = h hn P Ns P Nh P Ns s LP N ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 1 1 2 n h n s h s s h s e h e e e h e o h h = -l ×l × -l × -l - - -l Ll × -l n + L ( ) 1 1 n s n n h h e o h h = l L -l n + L . 除以h1Lhn 后, 令h1 ,L, hn ® 0 , 便得到( , , ) 1 n t L t 在约束条件 n < s <L < s 0 1 下的分 布密度为 n n s e -l l . (2)得以证明. 定理３．１０ (Poisson 过程的随机分流定理) 设Nt 为强度为l 的 Poisson 过程, 如果把其相应的指数流看成顾客流, 用与此指数流相互 独立的概率 p ，把每个到达的顾客, 归入第一类, 而以概率1- p 把他归入第二类. 对 i = 1,2 ，记 (i) Nt 为t 前到达的第i 类顾客数. 那么{ : 0} (1) Nt t ³ 与{ : 0} (2) Nt t ³ 分别为强度 pl 与(1- p)l 的 Poisson 过程, 而且这两个过程相互独立. (这个性质称为 Poisson 过程的随 机分流定理，也称为 Poisson 过程在随机选取下的不变性). 证明 由Nt 是独立增量过程及归类的机制，可知 (i) Nt 都是独立增量过程, 而且 ( 2) ( ) ( ) ( ) P N N o h i t i t+h - ³ = , î í ì - × + = × + = + - = = (1 ) ( ),( 2) ( ),( 1) ( 1) ( ) ( ) p h o h i p h o h i P N N i t i t h l l . 所以它们都是 Poisson 过程. 下面我们先证明它们在同一个时刻的独立性: 由于 n n m P(Nt n, Nt m| Nt n m) Cn m p (1 p) (1) (2) = = = + = + - , 我们有 ( )! ( ) ( , ) (1 ) (1) (2) n m t P N n N m C p p e n m n n m t t t n m + l× = = = - × + -l + × l × = - l ! ( ) n p t e n p ! ((1 ) ) (1 ) m p t e m p - l × - - l ( ) ( ) (1) (2) = P Nt = n P Nt = m . 这就证明了在固定的时刻t , (1) Nt 与 (2) Nt 独立. 我们用类似而较为冗长的叙述，可以证明 对于任意 n,m , 及 n m t , ,t ;s , ,s 1 L 1 L , 随机向量 ( , , ) (1) (1) 1 n Nt L Nt 与( , , ) (2) (2) s1 sm N L N 的