独立性这就是说,随机过程{N:t≥0}与{N,:t≥0}是独立的 [注]指数流与 Poisson过程的离散时间版本 令T为独立同分布的几何分布随机序列,又k=T+…+Tk,{Nn=k}={k=n) 记参数(k,p)的负二项分布为NB(k,p),即 P(NB(k; p)=n)=Ch(1-p)"-p 由简单的概率计算可得到rk~NB(k,p),从而P(Nn=k)=P(NB(k;p)=n).此处的N, 正是起到”离散时间的 Poisson过程”的作用,即它就是"离散时间情形的 Poisson过 程".我们把它列表对比如下 流的间隔「流的到达时刻了 计数过程N1,或Nn 「连续型:指数流|指数分布ExB r(k,A)分布 Poisson 离散型:几何流几何分布负三项NB(k,P)P(Nn=k)=P(NB(k;pP)=n) 2.3与指数流有关的一些随机变量与分布 定理3.11若N为 Poisson过程,则在N,=n的条件下,(r1…,n)的条件分布密度为 f(s1…,Sn)=-l0 也就是说,如果n,…,n独立且服从U[0,而mu…,na为n,…nn按次序大小重新排 列而得的顺序随机变量:m1≤…≤no,那么在N=n的条件下,(r1…,rn)的分布密 度与(u,2…,nm)的分布密度相同 注]把上面的证明倒回去,就可以发现此定理的结论反过来也是对的,即:如果一个取非负整值的跃度 为1的非降随机过程N1,满足:N1~ Poisson1,且在N1=n的条件下,(r1…,Tn)的条件分布 密度为∫(S1…,Sn)=-lo 1010<s,其中n为N,的第n次跳跃时刻,那么N,是 Poisson过程 我们还有下述相关的结论: (1)在N1=n的条件下,τn的条件分布密度为 g,(S) Ion(s) ()P(n.s,N1=m)=(s)eo() 证明对于Ⅶn,V0<S1<…<Sn,取充分小的h1,…,b、(< max(S1-S-1),S0=0),52 独立性. 这就是说，随机过程{ : 0} (1) Nt t ³ 与 { : 0} (2) Nt t ³ 是独立的. ［注］指数流与 Poisson 过程的离散时间版本 令Tk 为独立同分布的几何分布随机序列，又 k = T1 +L+ Tk t , {N k} { n) n = = tk = . 记参数(k, p) 的负二项分布为 NB(k; p) ，即 k n k k n P NB k p n C p p - - ( ( ; ) = ) = - (1- ) 1 1 ． 由简单的概率计算可得到 ~ NB(k; p) k t ，从而 P(N k ) P(NB(k; p) n) n = = = ．此处的Nn 正是起到＂离散时间的 Poisson 过程＂的作用， 即它就是＂离散时间情形的 Poisson 过 程＂．我们把它列表对比如下: 流的间隔Tk 流的到达时刻 k t 计数过程 Nt ，或 Nn 连续型：指数流 指数分布 Expl G(k,l)分布 Poisson lt 离散型：几何流 几何分布 负二项 NB(k; p) P(N k ) P(NB(k; p) n) n = = = 2. 3 与指数流有关的一些随机变量与分布 定理 3.１１ 若Nt 为 Poisson 过程, 则在Nt = n的条件下, ( , , ) 1 n t L t 的条件分布密度为 n n s s t n I t n f s s 1 L = 0< 1<L< £ ! ( , , ) . (3. 6) 也就是说, 如果h hn , , 1 L 独立且服从 U[0,t], 而 (1) ( ) , , h L h n 为h hn , , 1 L 按次序大小重新排 列而得的顺序随机变量: h(1) £L £h(n) . 那么在 Nt = n的条件下, ( , , ) 1 n t L t 的分布密 度与( , , ) h(1) L h(n) 的分布密度相同. [注] 把上面的证明倒回去, 就可以发现此定理的结论反过来也是对的, 即: 如果一个取非负整值的跃度 为 1 的非降随机过程 Nt ， 满足: Nt ~ Poissonlt , 且在 Nt = n的条件下, ( , , ) 1 n t L t 的条件分布 密度为 n n s s t n I t n f s s 1 L = 0< 1<L< £ ! ( , , ) , 其中 n t 为 Nt 的第n 次跳跃时刻, 那么 Nt 是 Poisson 过程. 我们还有下述相关的结论： (1) 在Nt = n的条件下, n t 的条件分布密度为 ( ) ( ) [0, ] 1 I s t ns g s n t n n D - = (3. ７) (2) ( ) ! ( ) ( , ) [0, ] e I s n s P s N n t t n n t l -l t £ = = (3. ８) 证明 对于 n "n " < s <L < s 0 1 , , 取充分小的 , , ( max ( ), 0) h1 L hn < i£n si - si -1 s0 =