·80· 内江师范学院学报 第31卷第6期 w-∫后+ u=Q(r.y)dy+R:(x)dx+ 「2+c=y+e y J(x2+y2)2 Q(y)dy+c, (25) 则 其中c为任意复常数，使f(z)=u(x,y)+iu(x,y) 成为D内的解析函数. f》=y+c+i千=+e. y 定理2可类似定理1给出证明」 由f(1)=0,得c=一i.从而 例1验证u(x,y)=x3-3xy2-2x+y是 fe)=-i=i-). 平面上的调和函数，求解析函数 f(z)=u(r,y)+iv(x,y), 以上两例，如果用教材叮上的两种方法求解， 使满足f(0)=1. 就相当麻烦.而采用本文方法求解，是比较快捷的， 解 而且不容易出错，因此，方法值得推广， u=3x2-3y2-2,uy=-6xy+1,ua=6x, 参考文献： 4g=-6x,um十4=0. [1]钟玉泉.复变函数论[M们.4版.北京：高等教育出版 故u(x,y)是之平面上的调和函数. 社，2014. dv(x,y)=v,dx+v,dy =-u,dr+u,dy [2]王凡彬.已知调和函数求解析函数的新方法[J门.内江 -(-6.xy+1)dx+(3x2-3y2-2)dy= 师范学院学报，2015,30(6)：76-79. 6xydr+3x2dy-dx+(-3y2-2)dy, [3]王凡彬.关于刘维尔定理的一个推广[J门.内江师范学 院学报，2008,23(4)：79. 应用定理1中的公式(6) [4幻王凡彬.关于一类复多值函数的计算问题[J门.内江师 (x,y）-3xdy-dz+(-3y2- 范学院学报，2006,21(2)：10-12. [5]王凡彬.求解恰当方程的一个新方法[J].内江师范学 2)dy+c=3x2y-x-y-2y+c. 院学报，2010,25(2)：77-79. 故 [6]曾招云，胡琳.由调和函数求对应解析函数的几种方法[] f(z)=x3-3.xy2-2x+y+ 高等数学研究，2012,15(4)：67-69. i(3x2y-x-y3-2y+c). [7]贺福利.复变函数中由调和函数求解析函数的方法U].数 由f(0)=1,1=0+ic,c=-i,从而 学理论与应用，2010,30(4)：122-128. f(z)=x3-3.xy2-2x+y+ [8]王志平，李兴民，各类解析函数构造的统一公式[J门 i(3x2y-x-y3-2y-i)=z3-(2+i)z+1. 华南师范大学学报（自然科学版），2007,1(3)：22-26. [9]张燕勒，张琳，王安.由调和函数构造解析函数的一种方法门 例2验证x》=千yr+>0是 首都师范大学学报（自然科学版），2009,30(1)：上-4. 调和函数，求解析函数f(z)=u(x,y)+iu(x,y), [10们王兴权.关于解析函数中的一个问题[J门.辽宁师范大 使满足f(1)=0. 学学报（自然科学版），1989，(4)：72-75. 解 [11]袁文俊.解析函数的简易求法[J门.曲阜师范大学学 x+)=-2 0,=+y-2x 报，1989,15(2)：71-73. （x2+y2)F [12]刘志宏，李迎春.由已给调和函数求与之对应解析函数的 一种简便方法·].红河学院学报，2009,7(2)：1820. w=-x千y,w= 2x3-6xy2 (x2+y2)F [13]李纯红.由已给调和函数确定与之相关的解析函数的 o=-2x+6y2 多种方法[J].乐山师范学院学报，2007,22(5)：13-14. (x2+y),.+=0. [14幻李鸣.关于由已知调和函数求解析函教的新方法[J门. 从而在x2+y2>0内，(x,y)是调和函数. 湖北师范学院学报（自然科学版），1988,7(1)：45-50. du(r,y)=u,dr+u,dy =v,dr-v,dy [15]李瑞娟.由解析函数的实部确定一个解析函数的方法[J]. 萍乡高等专科学校学报，2009,26(3)：8-11. 平加-+ (下转第88页) 由定理2中的公式(24)， ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net内江师范学院学报 第３１卷第６期 ｕ＝∫Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｑ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （２５） 其中ｃ为任意复常数，使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数． 定理２可类似定理１给出证明． 例１ 验证ｕ（ｘ，ｙ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ是ｚ 平面上的调和函数，求解析函数 ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）， 使满足ｆ（０）＝１． 解 ｕｘ ＝３ｘ２ －３ｙ２ －２，ｕｙ ＝－６ｘｙ＋１，ｕｘｘ ＝６ｘ， ｕｙｙ ＝－６ｘ，ｕｘｘ ＋ｕｙｙ ＝０． 故ｕ（ｘ，ｙ）是ｚ平面上的调和函数． ｄｖ（ｘ，ｙ）＝ｖｘｄｘ＋ｖｙｄｙ＝－ｕｙｄｘ＋ｕｘｄｙ＝ － （－６ｘｙ＋１）ｄｘ＋ （３ｘ２ －３ｙ２ －２）ｄｙ＝ ６ｘｙｄｘ＋３ｘ２ ｄｙ－ｄｘ＋ （－３ｙ２ －２）ｄｙ， 应用定理１中的公式（６） ｖ（ｘ，ｙ）＝∫３ｘ２ ｄｙ－∫ｄｘ＋∫（－３ｙ２ － ２）ｄｙ＋ｃ＝３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ＋ｃ． 故 ｆ（ｚ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ＋ ｉ（３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ＋ｃ）． 由ｆ（０）＝１，１＝０＋ｉｃ，ｃ＝－ｉ，从而 ｆ（ｚ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ＋ ｉ（３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ－ｉ）＝ｚ３ － （２＋ｉ）ｚ＋１． 例２ 验证ｖ（ｘ，ｙ）＝ ｘ ｘ２ ＋ｙ２，ｘ２ ＋ｙ２ ＞０是 调和函数，求解析函数ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）， 使满足ｆ（１）＝０． 解 ｖｘ ＝ｘ２ ＋ｙ２ －２ｘ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＝ ｙ２ －ｘ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２， ｖｙ ＝－ ２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ，ｖｘｘ ＝２ｘ３ －６ｘｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）３ ， ｖｙｙ ＝ －２ｘ３ ＋６ｘｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）３ ，ｖｘｘ ＋ｖｙｙ ＝０． 从而在ｘ２ ＋ｙ２ ＞０内，ｖ（ｘ，ｙ）是调和函数． ｄｕ（ｘ，ｙ）＝ｕｘｄｘ＋ｕｙｄｙ＝ｖｙｄｘ－ｖｘｄｙ＝ －２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ｄｘ－ｙ２ －ｘ２ ｘ２ ＋ｙ２ｄｙ． 由定理２中的公式（２４）， ｕ（ｘ，ｙ）＝∫－２ｘｙｄｘ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＋ｃ＝ －∫ｙｄ（ｘ２ ＋ｙ２） （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＋ｃ＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ ＋ｃ． 则 ｆ（ｚ）＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ ＋ｃ＋ｉ ｘ ｘ２ ＋ｙ２ ＝ ｉ ｚ ＋ｃ． 由ｆ（１）＝０，得ｃ＝－ｉ．从而 ｆ（ｚ）＝ ｉ ｚ－ｉ＝ｉ（１ ｚ－１）． 以上两例，如果用教材 ［１］上的两种方法求解， 就相当麻烦．而采用本文方法求解，是比较快捷的， 而且不容易出错，因此，方法值得推广． 参考文献： ［１］钟玉泉．复 变 函 数 论 ［Ｍ］．４版．北京：高 等 教 育 出 版 社，２０１４． ［２］王凡彬．已知调和函数求解析函数的新方法 ［Ｊ］．内 江 师范学院学报，２０１５，３０（６）：７６－７９． ［３］王凡彬．关于刘维尔定理的一个推广 ［Ｊ］．内 江 师 范 学 院学报，２００８，２３（４）：７９． ［４］王凡彬．关于一类复多值函数的计算问题 ［Ｊ］．内 江 师 范学院学报，２００６，２１（２）：１０－１２． ［５］王凡彬．求解恰当方程的一个新方法 ［Ｊ］．内 江 师 范 学 院学报，２０１０，２５（２）：７７－７９． ［６］曾招云，胡琳．由调和函数求对应解析函数的几种方法 ［Ｊ］． 高等数学研究，２０１２，１５（４）：６７－６９． ［７］贺福利．复变函数中由调和函数求解析函数的方法 ［Ｊ］．数 学理论与应用，２０１０，３０（４）：１２２－１２８． ［８］王志平，李 兴 民．各类解析函数构造的统一公式 ［Ｊ］． 华南师范大学学报（自然科学版），２００７，１（３）：２２－２６． ［９］张燕勤，张琳，王安．由调和函数构造解析函数的一种方法 ［Ｊ］． 首都师范大学学报（自然科学版），２００９，３０（１）：１－４． ［１０］王兴权．关于解析函数中的一个问题 ［Ｊ］．辽宁师范大 学学报（自然科学版），１９８９，（４）：７２－７５． ［１１］袁文俊．解析函数的简易求法 ［Ｊ］．曲阜师范大学学 报，１９８９，１５（２）：７１－７３． ［１２］刘志宏，李迎春．由已给调和函数求与之对应解析函数的 一种简便方法 ［Ｊ］．红河学院学报，２００９，７（２）：１８－２０． ［１３］李纯红．由已给调和函数确定与之相关的解析函数的 多种方法 ［Ｊ］．乐山师范学院学报，２００７，２２（５）：１３－１４． ［１４］李鸣．关于由已知调和函数求解析函教的新方法 ［Ｊ］． 湖北师范学院学报（自然科学版），１９８８，７（１）：４５－５０． ［１５］李瑞娟．由解析函数的实部确定一个解析函数的方法 ［Ｊ］． 萍乡高等专科学校学报，２００９，２６（３）：８－１１． （下转第８８页） ·８０·