2016年6月 王凡彬：求解解析函数的另一新方法 ·79· 其中c为任意复常数，使f(z)=u(x,y)十iw(x,y) 即(5)式成立. 成为D内的解析函数 同理，可以证明(6)式的成立」 证明在(4)式中 对(5)式确定的(x,y),两边求偏导数 M2 (r)dr+N2 (y)dy Uz=M(,y)+M2(x)=-u,, (18) d(M:()dr+N.(y)dy), (7) = 2Midz+N:(y)= 将(7)式代入(4)，得 (aMidz+N.(y)= ay faNidx+ ax d(v-M:(z)dz-N:(y)dy)= M (x,y)dx+N (x,y)dy. (8) N2(y)=N,(x,y)+N2(y)=uz· (19) 设 H(y)=v-M:(x)dr-N:(y)dy,(9) 在9)式中，要起∫∫分别产生的关 于y的任意函数取为0.说明u,o满足C.一R.方 则 程，且4,4，，，都连续，那么f(之)=u(x,y)十 dH(x,y)=M(x,y)dx+Ni(x,y)dy.(10) io(x,y)是D内的解析函数.类似可以证明由(6)式 由(10)式，说明M1(x,y)dx+N1(x,y)dy能表成一 确定的v(x,y)也可以使f(z)=u(x,y)十iu(x,y) 个函数H(x,y)的全微分，那就有 成为D内的解析函数.定理1证毕. OM(ry)ON (z.y) (11) 另方面，若已知(x,y)是单连通区域D内的 ∂y ax 调和函数，要求u(x,y),得到解析函数f(z)= 由(10)式，H=M(x,y),从而 u(x,y)十iu(x,y).根据柯西一黎曼方程，有 H(zy)M (,y)d(y), (12) du(x,y)=u,dr+u,dy =v,dx-vdy. 其中(y)是关于y的待定的函数.由(12)(11)两式 (20) 得 设有分解式 H,x,)=∫M2dr+(= ,=R1(x,y)+R2(x), (21) ∂y -v=Q1(x,y)+Q2(y), (22) 「aN(x,2dr+中(y) (13) 其中R2(x),Q2(y)是分别只与x,y相关的可积函 ax 数，R(x,y),Q(x,y)也是可积函数，但分别必与 但由(10)式 y,x有关，即(R(x,y)',不恒等于零，Q(x,y)x H,=N(x,y). (14) 不恒等于零.且若有R(x,y)=A(x,y)十B(x), 将(14)代入(13)，得 Q(x,y)=C(x,y)十D(y),则B(x)=0,D(y)= w=N,w-∫N2d. 0,即R(x,y)不能再分解出只与x有关的非零项， ∂x Q(x,y)不能再分解出只与y有关的非零项.那么 为了寻求一个简便的(y),取 「aN(x,2dz=N,(x,y), du=(Ri(r,y)+R2(x))dr+(Qi(x,y)+ ax Q2 (y))dy=Ri(r,y)dx+Q(x,y)dy+ 这样 R2(r)dx+Q2(y)dy. (23) (y)=N1(x,y)-N1(x,y)=0,(15) 从而就有定理2. (y)=c, (16) 定理2设v(x,y)是单连通区域D内的调和 C为任意常数.将(16)代入(12)，得 函数，在上述假设下，若有 du=Ri(x,y)dr+Q(x,y)dy+ H(z,y)=Mi (z.y)dz+c. (17) R2 (r)dr+Q2(y)dy, 将(17)式代入(9)式，得 则 =Mi (z,y)dr+M2 (z)dr+ u=R(x.y)dr+R2(r)dr+ N2 (y)dy+c, Q2(y)dy+c,du (24) 或 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net２０１６年６月 王凡彬：求解解析函数的另一新方法 其中ｃ为任意复常数，使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数． 证明 在（４）式中 Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝ ｄ∫（Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ）， （７） 将（７）式代入（４），得 ｄ（ｖ－∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ－∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ）＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ． （８） 设 Ｈ（ｘ，ｙ）＝ｖ－∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ－∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ， （９） 则 ｄＨ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ．（１０） 由（１０）式，说明 Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ能表成一 个函数 Ｈ（ｘ，ｙ）的全微分，那就有 Ｍ１（ｘ，ｙ） ｙ ＝Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ． （１１） 由（１０）式，Ｈｘ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ），从而 Ｈ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ψ（ｙ）， （１２） 其中ψ（ｙ）是关于ｙ的待定的函数．由（１２）（１１）两式 得 Ｈｙ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ） ｙ ｄｘ＋ψ ′ （ｙ）＝ ∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ＋ψ ′ （ｙ）． （１３） 但由（１０）式 Ｈｙ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）． （１４） 将（１４）代入（１３），得 ψ ′ （ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）－∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ ． 为了寻求一个简便的ψ（ｙ），取 ∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）， 这样 ψ ′ （ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）－Ｎ１（ｘ，ｙ）＝０， （１５） ψ（ｙ）＝ｃ， （１６） Ｃ 为任意常数．将（１６）代入（１２），得 Ｈ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｃ． （１７） 将（１７）式代入（９）式，得 ｖ＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， 即（５）式成立． 同理，可以证明（６）式的成立． 对（５）式确定的ｖ（ｘ，ｙ），两边求偏导数 ｖｘ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ）＝－ｕｙ ， （１８） ｖｙ ＝  ｙ∫Ｍ１ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）＝ ∫Ｍ１ ｙ ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）＝∫Ｎ１ ｘｄｘ＋ Ｎ２（ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）＋Ｎ２（ｙ）＝ｕｘ ． （１９） 在（１９）式中，要把∫Ｍ１ ｙ ｄｘ∫，Ｎ１ ｘｄｘ分别产生的关 于ｙ 的任意函数取为０．说明ｕ，ｖ满足Ｃ．－Ｒ．方 程，且ｕｘ，ｕｙ，ｖｘ，ｖｙ 都连续，那么ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ ｉｖ（ｘ，ｙ）是 Ｄ 内的解析函数．类似可以证明由（６）式 确定的ｖ（ｘ，ｙ）也可以使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数．定理１证毕． 另方面，若已知ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的 调 和 函 数，要 求 ｕ（ｘ，ｙ），得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）．根据柯西－黎曼方程，有 ｄｕ（ｘ，ｙ）＝ｕｘｄｘ＋ｕｙｄｙ＝ｖｙｄｘ－ｖｘｄｙ． （２０） 设有分解式 ｖｙ ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）＋Ｒ２（ｘ）， （２１） －ｖｘ ＝Ｑ１（ｘ，ｙ）＋Ｑ２（ｙ）， （２２） 其中Ｒ２（ｘ），Ｑ２（ｙ）是分 别 只 与ｘ，ｙ 相关 的 可 积 函 数，Ｒ１（ｘ，ｙ），Ｑ１（ｘ，ｙ）也是 可 积 函 数，但 分 别 必 与 ｙ，ｘ有关，即 （Ｒ１（ｘ，ｙ））′ ｙ 不恒等于零，Ｑ１ （ｘ，ｙ）′ｘ 不恒等于零．且若有 Ｒ１（ｘ，ｙ）＝ Ａ（ｘ，ｙ）＋Ｂ（ｘ）， Ｑ１（ｘ，ｙ）＝Ｃ（ｘ，ｙ）＋Ｄ（ｙ），则Ｂ（ｘ）≡０，Ｄ（ｙ）≡ ０，即Ｒ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与ｘ有关的非零项， Ｑ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与ｙ有关的非零项．那么 ｄｕ＝ （Ｒ１（ｘ，ｙ）＋Ｒ２（ｘ））ｄｘ＋ （Ｑ１（ｘ，ｙ）＋ Ｑ２（ｙ））ｄｙ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋Ｑ２（ｙ）ｄｙ． （２３） 从而就有定理２． 定理２ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，在上述假设下，若有 ｄｕ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋Ｑ２（ｙ）ｄｙ， 则 ｕ＝∫Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｑ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ，ｄｕ （２４） · ９７ ·