·78· JOURNAL OF N肉德美漾损L UNIVERSITY 求解解析函数的一种新方法 王凡彬 (内江师范学院数学与信息科学学院//四川省数据恢复重点实验室，四川内江641199) 摘要：在已知一个调和函数时，用一种新的方法，求另一个调和函数，从而构成一个解析函数.新方法主要对 未知函数的全微分进行分解，并通过积分来得到未知函数，给出了新方法的应用.新方法与原来的方法相比，更易 掌握和记忆，且不易出错. 关键词：调和函数：解析函数：新方法 D0I:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2016.06.015 中图分类号：0174.53 文献标志码：A文章编号：1671一1785(2016)06-0078-03 众所周知，若已知调和函数u(x,y),求另一调N1(x,y)=C(x,y)+D(y),则B(x)=0,D(y)= 和函数(x,y),或者已知调和函数v(x,y),求另0，即M1(x,y)不能再分解出只与x有关的非零 一调和函数u(x,y),从而得到解析函数f()= 项，N(x,y)不能再分解出只与y有关的非零项. u(x,y)十iv(x,y),教科书上只有两种方法：其一， 那么 折线积分法；其二，求解待定函数法四，这两种方法 dv=(Mi(x,y)+M2 (x))dx+(Ni(x,y)+ 虽然是可行的，但是比较麻烦，不易记忆，容易出错 N2(y))dy=M(x,y)dx+N(x,y)dy+ 目前，在这一方面的研究，有学者进行了讨论[2-1)， M2 (x)dz+N2 (y)dy. (4) 得到了一些结果.笔者从新的角度，经过研究，得到 从而就有定理1. 了另一种求解解析函数f(z)的方法.这种方法容易 掌握和记忆，且不易出错，在教学中学生也愿意接 定理1设u(x,y)是单连通区域D内的调和 受 函数，在上述假设下，若有 已知u(x,y)是单连通区域D内的调和函数， dv=M(x,y)dx+Ni(x,y)dy+ 要求v(x,y),得到解析函数f()=u(x,y)十 M2 (x)dx+N2(y)dy iu(x,y).由柯西一黎曼方程，有 则 du(z,y)=vdz+v,dy =-u,dr+u,dy.(1) =Mi(z,y)dr+M:(x)dr+ 设有分解式 -4,=M(x,y)+M2(x), (2) N2 (y)dy+c, (5) u=Ni (r,y)+N2 (y), (3) 或 其中M2(x),N2(y)是分别只与x,y相关的可积函 数，M(x,y),N(xy)也是可积函数，但分别必与 v=N:(r.y)dy+M:(z)dr+ y,x有关，即(M(x,y))',不恒等于零，N1(x,y) (6) 不恒等于零，且若有M1(x,y)=A(x,y)十B(x), N2 (y)dy+c, 收稿日期：2016-02-29 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目(ZG0464):四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 (01247) 作者简介：王凡彬(1957一)，男，四川富顺人，内江师范学院教授.研究方向：偏微分方程及其应用 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net内江师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＥＩＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 第３１卷第６期 Ｎｏ．６Ｖｏｌ．３１ 求解解析函数的一种新方法 王 凡 彬＊ （内江师范学院 数学与信息科学学院／／四川省数据恢复重点实验室， 四川 内江 ６４１１９９） 摘 要：在已知一个调和函数时，用一种新的方法，求另一个调和函数，从而构成一个解析函数．新方法主要对 未知函数的全微分进行分解，并通过积分来得到未知函数．给出了新方法的应用．新方法与原来的方法相比，更 易 掌握和记忆，且不易出错． 关键词：调和函数；解析函数；新方法 ＤＯＩ：１０．１３６０３／ｊ．ｃｎｋｉ．５１－１６２１／ｚ．２０１６．０６．０１５ 中图分类号：Ｏ１７４．５３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－１７８５（２０１６）０６－００７８－０３ 众所周知，若已知调和函数ｕ（ｘ，ｙ），求另一调 和函数ｖ（ｘ，ｙ），或 者 已 知 调 和 函 数ｖ（ｘ，ｙ），求 另 一调和 函 数ｕ（ｘ，ｙ），从 而 得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ），教科书上只有两种方法：其一， 折线积分法；其二，求解待定函数法［１］ ．这两种方法 虽然是可行的，但是比较麻烦，不易记忆，容易出错． 目前，在这一方面的研究，有学者进行了讨论 ［２－１５］， 得到了一些结果．笔者从新的角度，经过研究，得到 了另一种求解解析函数ｆ（ｚ）的方法．这种方法容易 掌握和记忆，且 不 易 出 错，在教学中学生也愿意接 受． 已知ｕ（ｘ，ｙ）是单 连 通 区 域 Ｄ 内 的 调 和 函 数， 要 求 ｖ（ｘ，ｙ），得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ ｉｖ（ｘ，ｙ）．由柯西－黎曼方程，有 ｄｖ（ｘ，ｙ）＝ｖｘｄｘ＋ｖｙｄｙ＝－ｕｙｄｘ＋ｕｘｄｙ．（１） 设有分解式 －ｕｙ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ）， （２） ｕｘ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）＋Ｎ２（ｙ）， （３） 其中 Ｍ２（ｘ），Ｎ２（ｙ）是分别只与ｘ，ｙ相关的可积函 数，Ｍ１（ｘ，ｙ），Ｎ１（ｘ，ｙ）也是可积函数，但分别必与 ｙ，ｘ有关，即 （Ｍ１（ｘ，ｙ））′ ｙ 不恒等于零，Ｎ１ （ｘ，ｙ）′ｘ 不恒等于零，且若有 Ｍ１（ｘ，ｙ）＝ Ａ（ｘ，ｙ）＋Ｂ（ｘ）， Ｎ１（ｘ，ｙ）＝Ｃ（ｘ，ｙ）＋Ｄ（ｙ），则Ｂ（ｘ）≡０，Ｄ（ｙ）≡ ０，即 Ｍ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与 ｘ 有 关 的 非 零 项，Ｎ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只 与ｙ 有 关 的 非 零 项． 那么 ｄｖ＝ （Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ））ｄｘ＋ （Ｎ１（ｘ，ｙ）＋ Ｎ２（ｙ））ｄｙ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ． （４） 从而就有定理１． 定理１ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，在上述假设下，若有 ｄｖ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ， 则 ｖ＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （５） 或 ｖ＝∫Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （６） · ８７ · ＊ 收稿日期：２０１６－０２－２９ 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目（ＺＧ０４６４）；四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 （Ｏ１２４７） 作者简介：王凡彬（１９５７－），男，四川富顺人，内江师范学院教授．研究方向：偏微分方程及其应用