习题6.1 1写出二次型fx1,x2,x)=2x12x1x2-2x1x+x2+3x2xx 解所给二次型的对称形式为 f(x1,x2,x)=2x12-1/2x1X2x1x3-1/2x2x1+x2+3/2x2X3xx1+32x3x2x2 二次型的矩阵为-1/213/2 3/2 14 2求二次型fx,x2x3)=X000X的秩 解原二次型即是x,x2X3)=X200X,其矩阵的秩显然为2,所以该 3/200 二次型的秩为2 3证明定理6.1.2.即二次型的等价(矩阵的合同)具有反身性、对称性、传递性.(略) 习题6.2 1.化下面二次型为标准形,并写出所用的非退化的线性替换 ①f(x,x2x3)=2x12-4x1x2+4x1x+3x2x2xy-2x32 ②f(x,x2,x3)=2x12-4x1x2+2xx+x2+2x2X3 ③ f(x1,x2,X3)=X1X2-X1 解①f(x,x2x)=2(x12-2x1x2+2xx)+3x2-2xx3-2x2 =2(x1-Xx2+x3)2+(x2+x3)2-5x3 作非退化的线性替换 x 011 即 y3 y 得原二次型的标准形为2y12+y2-5y2 ②f(x,x2,x3)=2(x12-2xx2+x1x3)+x2+2x2X3 2(x1-x2+l/2x3)2-x2+4x2Xx-1/2x32 (x1-x2+12x)2(x2-2x)2+7/2x2 作非退化的线性替换习题 6.1 1.写出二次型 f(x1, x2,x3)=2x1 2-x1x2-2x1x3+x2 2+3x2x3- x3 2 解 所给二次型的对称形式为 f(x1, x2,x3)=2x1 2-1/2x1x2-x1x3-1/2 x2x1 +x2 2+3/2x2x3-x3x1 +3/2x3x2- x3 2 二次型的矩阵为            1 3/ 2 1 1/ 2 1 3/ 2 2 1/ 2 1 ． 2.求二次型 f(x1, x2,x3)= X X T       0 0 0 0 0 0 1 4 3 的秩． 解 原二次型即是 f(x1, x2,x3)= X X T       3/ 2 0 0 2 0 0 1 2 3/ 2 ，其矩阵的秩显然为 2，所以该 二次型的秩为 2． 3.证明定理 6.1.2．即二次型的等价（矩阵的合同）具有反身性、对称性、传递性．（略） 习题 6.2 1.化下面二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换． ① f(x1, x2,x3)=2x1 2-4x1x2+4x1x3+3x2 2-2x2x3-2x3 2 ② f(x1, x2,x3)=2x1 2-4x1x2+2x1x3+x2 2+2x2x3 ③ f(x1, x2,x3)= x1x2-x1x3+x2x3 解 ① f(x1, x2,x3)=2(x1 2-2x1x2+2x1x3)+3x2 2-2x2x3-2x3 2 =2(x1-x2+x3) 2+x2 2+2 x2x3-4x3 2 =2(x1-x2+x3) 2+(x2+x3) 2-5x3 2 作非退化的线性替换                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 x x x y y y ，即                      3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 y y y x x x 得原二次型的标准形为 2y1 2+y2 2-5y3 2 ② f(x1, x2,x3)= 2(x1 2-2x1x2+x1x3)+ x2 2+2x2x3 =2(x1-x2+1/2x3) 2- x2 2+4x2x3-1/2 x3 2 =2(x1-x2+1/2x3) 2-(x2-2x3) 2+7/2x3 2 作非退化的线性替换