y)(1-11/2x1 113/2 0 得原二次型的标准形为2y2-y2+7/2y32 ③作变换x2=1-10y2 J3 原二次型变为y12y2-2y2y=y2(y2+y3)2+y2 再令y2 y3)(001人 0(1001)(1 即x2|=1-1001 得原二次型的标准形为z12-z2+z2 2.秩是r的(复)对称矩阵,可表示成r个秩是1的对称矩阵的和 解设A是nxn对称矩阵,则A对应的二次型通过非退化的线性替换可变成标准形,即 存在可逆矩阵C,使A通过合同变换变成对角矩阵,对角线上的非零元素得数目正是A的秩 r.从而有 11 0 0 上式右端是r个秩是1的对称矩阵的和,记作A1,A2,,A,则有 A=(-)AC-1+(C-I)'A2C-l+ 记B1=(C)AC1,B2=(C)A2C1,…,B=(C)ACl, 由于Cl是可逆矩阵,所以B的秩等于A的秩等于1,i=1,2,…,r,故A可表示成r个秩是 1的对称矩阵的和 习题6.3                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1/ 2 x x x y y y ，即                    3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 3/ 2 y y y x x x 得原二次型的标准形为 2y1 2-y2 2+7/2y3 2 ③作变换                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 y y y x x x 原二次型变为 y1 2-y2 2-2y2y3=y1 2-(y2+y3) 2+y3 2 再令                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 z z z y y y ， 即                            3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 z z z x x x =               3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 z z z 得原二次型的标准形为 z1 2-z2 2+z3 2． 2.秩是 r 的（复）对称矩阵，可表示成 r 个秩是 1 的对称矩阵的和． 解 设 A 是 n×n 对称矩阵，则 A 对应的二次型通过非退化的线性替换可变成标准形，即 存在可逆矩阵 C，使 A 通过合同变换变成对角矩阵，对角线上的非零元素得数目正是 A 的秩 r．从而有        0 0 1   T R C AC   =       0 0 0 0 1   +       0 0 0 0 2   +…+       0 0 0    R 上式右端是 r 个秩是 1 的对称矩阵的和，记作Λ1，Λ2，…，Λr，则有 A=(C -1)TΛ1C -1+(C -1)TΛ2C -1+…+(C -1)TΛrC -1 记 B1=(C-1)TΛ1C-1，B2=(C-1)TΛ2C-1，…，Br=(C-1)TΛrC-1， 由于 C-1 是可逆矩阵，所以 Bi的秩等于Λi的秩等于 1，i=1,2,…,r，故 A 可表示成 r 个秩是 1 的对称矩阵的和． 习题 6.3