1.设XAX(A=A)是C上4元二次型,若|A|≠0,写出该二次型的规范形 解因为|A|≠0,A的秩为4,所以复数域上的二次型XAX的规范形为y2+y2+y32+y42 2.在C上,求习题6.2中,第一题之②的规范形 解习题6.2中,第一题之②对应的二次型为f(x,x2,x3)=2x12-4x1x2+2x1x+x2+2x2X 对应的矩阵为A=-211-031|-031 110)(007/3 二次型的秩为3,所以起规范形为y12+y2+y2 3.把合同的复二次型归为一类,四元复二次型一共有几个不同的类? 解可根据二次型的秩来分类,四元复二次型一共有5个不同的类(包括零二次型) 习题6.4 1.求下列实二次型的正惯性指数 ①f(x1,x2,x3)=2x12+2x1x2+4xx3+4x2+4x2x+3x2 @2f(x1, X2,X3)=4x1X2-2x1X 解①f=2(x1+1/2x2+x3)2+7/2x2+2x2X+x2 =2(x1+1/2x2+x)2+7/2(x2+4/7x2x3)+xy2 2(x1+12x2+x3)2+7/2(x2+2/7x)2+5/7x3 1/2 作变换y2|=012/7x 00 x 得标准形2y12+7/2y2+5/7y2.所以正惯性指数为3 ②作变换x2=1-10y2 00 y3 原二次型变为4y2-4y2-2yy22y2y=4(y1-1/4y2)2-174y2-2y2y3 4(y1-l/4y2)2-174(y2+4/17y)2+4/17y32 0y1 再令 014/17 得原二次型的标准形为4z2-1714z2+4/7z2 所以正惯性指数为 2.把等价的实二次型归为一类,四元实二次型一共有几个不同的类? 解可先根据四元二次型的秩的不同分,在秩相同的情况下再根据正惯性指数的不同来 分类.当四元实二次型的秩为0时,正惯性指数只能取0,所以只有1类;当秩为1时,正 惯性指数可取0或1,所以有2类:当秩为2时,正惯性指数可取0,1,2,所以有3类1.设 X TAX(A T=A)是 C 上 4 元二次型，若|A|≠0，写出该二次型的规范形． 解 因为|A|≠0，A 的秩为 4，所以复数域上的二次型 X TAX 的规范形为 y1 2+y2 2+y3 2+y4 2． 2.在 C 上，求习题 6.2 中，第一题之②的规范形． 解 习题 6.2 中，第一题之②对应的二次型为 f(x1, x2,x3)=2x1 2-4x1x2+2x1x3+x2 2+2x2x3 对应的矩阵为 A=        1 1 0 2 1 1 2 2 1 ~        1 1 0 0 3 1 0 4 1 ~       0 0 7 / 3 0 3 1 1 1 0 二次型的秩为 3，所以起规范形为 y1 2+y2 2+y3 2． 3.把合同的复二次型归为一类，四元复二次型一共有几个不同的类？ 解 可根据二次型的秩来分类，四元复二次型一共有 5 个不同的类（包括零二次型）． 习题 6.4 1.求下列实二次型的正惯性指数． ①f(x1, x2,x3)=2x1 2+2x1x2+4x1x3+4x2 2+4x2x3+3x3 2 ②f(x1, x2,x3)=4x1x2-2x1x3 解 ①f=2(x1+1/2x2+x3) 2+7/2x2 2+2x2x3+x3 2 =2(x1+1/2x2+x3) 2+7/2(x2 2+4/7x2x3)+x3 2 =2(x1+1/2x2+x3) 2+7/2(x2+2/7x3) 2+5/7x3 2 作变换                    3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 / 7 1 1/ 2 1 x x x y y y 得标准形 2y1 2+7/2y2 2+5/7y3 2．所以正惯性指数为 3． ②作变换                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 y y y x x x 原二次型变为 4y1 2-4y2 2-2y1y2-2y2y3=4(y1-1/4 y2) 2-17/4y2 2 -2y2y3 4(y1-1/4 y2) 2-17/4(y2+4/17y3) 2+4/17y3 2 再令                     3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 4 /17 1 1/ 4 0 y y y z z z ， 得原二次型的标准形为 4z1 2-17/4z2 2+4/17z3 2． 所以正惯性指数为 2． 2.把等价的实二次型归为一类，四元实二次型一共有几个不同的类？ 解 可先根据四元二次型的秩的不同分，在秩相同的情况下再根据正惯性指数的不同来 分类．当四元实二次型的秩为 0 时，正惯性指数只能取 0，所以只有 1 类；当秩为 1 时，正 惯性指数可取 0 或 1，所以有 2 类；当秩为 2 时，正惯性指数可取 0，1，2，所以有 3 类；