当秩为3时,正惯性指数可取0,1,2,3,所以有2类;当秩为4时,正惯性指数可取0, 1,2,3,4,所以有5类.总之一共有19种不同的类(包括零二次型) 3.证明:如果一个实二次型可以分解成两个一次齐次多项式的乘积,则这个二次型或秩是2, 并且符号差是零:或秩是1. 证如果一个实二次型f可以分解成两个一次齐次多项式的乘积,即存在不全为零的实 数a1,a2,,an和不全为零的实数b,b2,…,bn使 f(ajxI+ a2x2+.+anxn)(b1X+b2 x2+ .+b,xn) a2 作变换2=4b b 得 f=kyoya z1)(11 0y, 再令 得标准形f=z12- 特殊情形下,如果a1=b1,a2=b2,…,an=bn,则作变换 得标准形f=y12 总之,这个二次型或秩是2,并且符号差是零:或秩是1 4设A是实对称矩阵,如果A与-A合同,求XAX的符号差 解因为A与-A合同,所以二次型XAX与二次型Y(-A)Y等价,所以它们有相同的 规范形,设有非退化的线性替换X=CZ,使 XTAX=ZTCTACZ=Z+ 则对二次型Y(-A)Y,另Ⅹ=CY,使 Y-A)Y=-Y'AY=-Z1 因为两个标准形的正惯性指数相等,所以应有p=q,从而XAX的符号差为pq=0 5.设A是一个nxn实矩阵,证明A是反对称矩阵的充分必要条件是:对任意a∈R,都有 证先证必要性.若A是反对称的,则A=-A,从而对任意a∈R,都有 0a=0 再证充分性,若对任意a∈R,都有a1A,记B=1(4+小,则显然二次型XBX的标当秩为 3 时，正惯性指数可取 0，1，2，3，所以有 2 类；当秩为 4 时，正惯性指数可取 0， 1，2，3，4，所以有 5 类．总之一共有 19 种不同的类（包括零二次型）． 3.证明：如果一个实二次型可以分解成两个一次齐次多项式的乘积，则这个二次型或秩是 2， 并且符号差是零；或秩是 1． 证 如果一个实二次型 f 可以分解成两个一次齐次多项式的乘积，即存在不全为零的实 数 a1，a2，…, an和不全为零的实数 b1，b2，…, bn使 f=(a1x1+ a2x2+ …+anxn) (b1x1+b2x2+ …+bnxn) 作变换                    n n n n x x x b b b a a a y y y        2 1 1 2 1 2 2 1 0 0 1 得 f=ky1y2． 再令                     n n y y y z z z        2 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 得标准形 f= z1 2-z2 2． 特殊情形下，如果 a1= b1 ，a2= b2，…， an=bn，则作变换                    n n n x x a a a x y y y        2 1 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 得标准形 f= y1 2． 总之，这个二次型或秩是 2，并且符号差是零；或秩是 1． 4.设 A 是实对称矩阵，如果 A 与-A 合同，求 XTAX 的符号差． 解 因为 A 与-A 合同，所以二次型 XTAX 与二次型 YT (-A)Y 等价，所以它们有相同的 规范形，设有非退化的线性替换 X=CZ，使 XTAX=Z TCTACZ=z1 2+…+zp 2-zp+1 2-…-zp+q 2． 则对二次型 YT (-A)Y，另 X=CY，使 YT (-A)Y= -YTAY= -z1 2+…-zp 2+zp+1 2+…+zp+q 2． 因为两个标准形的正惯性指数相等，所以应有 p=q，从而 XTAX 的符号差为 p-q=0． 5.设 A 是一个 n×n 实矩阵，证明 A 是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意α∈Rn，都有 α TAα=0． 证 先证必要性．若 A 是反对称的，则 A T=-A，从而对任意α∈Rn，都有 α TAα= A A T T  2 1 = 0 2 T 1 =0． 再证充分性．若对任意α∈R n，都有α TAα=0，记 B= A A T  2 1 ，则显然二次型 XTBX 的标