准形中平方项的系数全为0,即二次型的秩为0,从而B=0,故A=A. 设A是实对称矩阵,证明:如果|A<0,则存在a∈R,使得aTAa<0. 证设实二次型XAX的规范形为y2+…+yp2-yprt2-…-yp+a2,则存在可逆矩阵C使 CTAC= 两边取行列式知CTAC|=CTA|Cl=C2|A|<0,说明CTAC的对角线中最少有一个-1,即 二次型XAX的规范形中最少有一个平方项的系数为1,不妨设y的系数为1,令 0 Y=1·第k个,则对应的X≠0,使二次型XAX=y2+.+y2ym2.-yp2=1<0 7设XAX是一个n元实二次型,(A=A),证明:如果有α,β∈R,使得aA∞>0,pAB<0, 则必定存在0≠n∈R,使得nTAn=0 证设实二次型XAX的规范形为y2+…+y2-yr2-.-yp+42,则根据已知条件知p,q均大 于等于1.即存在可逆矩阵C使 XTAX=YTCT 取y1=1,y=0(i=2,3,…,p);取yp+=1,yp=0(i=2,3,…,q),令两边取行列式知 CTAC|=CTA|lC|=C|2|A|<0,说明CIAC的对角线中最少有一个-1,即二次型XTAX的规 范形中最少有一个平方项的系数为-1,不妨设yk的系数为-1,令n=CY,则n0,且nAn=0 习题6.5 1.设A是nxn正定矩阵,证明:A°,A也都是正定的,A也是正定的 证因为A是正定矩阵,所以A是对称的可逆矩阵,记C=A,则C也是对称的可逆矩阵, 从而C=C,A=A3A=CC=CC,所以A°是正定的准形中平方项的系数全为 0，即二次型的秩为 0，从而 B=0，故 A T=-A． 6.设 A 是实对称矩阵，证明：如果|A|<0，则存在α∈R n，使得α TAα<0． 证 设实二次型 XTAX 的规范形为 y1 2+…+yp 2-yp+1 2-…-yp+q 2，则存在可逆矩阵 C 使 C TAC=            1 1 1 1 =Λ 两边取行列式知 |C TAC|=|C T||A||C|=|C| 2|A|<0,说明 C TAC 的对角线中最少有一个-1，即 二次型 XTAX 的规范形中最少有一个平方项的系数为-1，不妨设 yk的系数为-1，令 Y=       0 1 0   ←第 k 个，则对应的 X≠0， 使二次型 XTAX= y1 2+…+yp 2-yp+1 2-…-yp+q 2=-1<0． 7.设 XTAX 是一个 n 元实二次型，（AT=A），证明：如果有α，β∈R n，使得α TAα>0，β TAβ<0， 则必定存在 0≠η∈R n，使得η TAη=0． 证 设实二次型 XTAX 的规范形为 y1 2+…+yp 2-yp+1 2-…-yp+q 2，则根据已知条件知 p,q 均大 于等于 1．即存在可逆矩阵 C 使 XTAX=YTC T            1 1 1 1 CY 取 y1=1 ， yi=0(i=2,3,…,p); 取 yp+1=1 ， yp+i=0(i=2,3,…,q) ． 令 两 边 取 行 列 式 知 |CTAC|=|C T||A||C|=|C| 2|A|<0,说明 CTAC 的对角线中最少有一个-1，即二次型 XTAX 的规 范形中最少有一个平方项的系数为-1，不妨设 yk的系数为-1，令η=CY，则η≠0，且η TAη=0． 习题 6.5 1.设 A 是 n×n 正定矩阵，证明：A 6，A 7也都是正定的，A -1也是正定的． 证 因为 A 是正定矩阵，所以 A 是对称的可逆矩阵，记 C=A 3，则 C 也是对称的可逆矩阵， 从而 C T=C，A 6==A 3A 3=CC=C TC，所以 A 6是正定的．