如果利用以上C,可得A=AA、=CAC,因为A是正定的,所以存在可逆矩阵P使A=PP, 从而有A=CAC=CPPC=(PC)(PC),显然PC可逆,所以A也都是正定的 因为A是正定的,所以存在可逆矩阵P使A=PP,从而A=(PP)=P(P),故A也是 正定的 2.设A,B是n×n正定矩阵,证明A+B也是正定的 证因为A,B是nXn正定矩阵,所以对任意X∈R,当X≠0时有 XAX>0,XBX>0,从而X(A+B)X=XAX+XBX>0,故A+B也是正定的 3判断下列实二次型是否正定 ①f(x1,x2,x3)=5x2+4x1x28x1x3+x24x2x3+5x2 ②f(x1,x2x3)=x12+4x1x2-4x1x-2x2-4x2X3+x2 解①二次型的矩阵为 52-4 A=21-2 4-25 因为5>0, >0,21-2=25+16+16-16-2020=1>0 所以,实二次型是正定的 ②二次型的矩阵为 12-2 A=2-2-2 因为1>0, 4<0 所以,实二次型不是正定的 4.设抛物线y=ax2+bx+c开口向上,并且与ⅹ轴不相交,证明:三元实二次型 f(xl, X2, X3)=X12+ax2+bx2x3 +4cx32 是正定的 证由抛物线y=ax+2bx+c口向上知a0,又y=(xx0)xc,又因抛物线 与x轴不相交,所、+c≈4ac-b2 >0, 4 所给三元实二次型的矩阵为A=0ab如果利用以上 C，可得 A 7= A 3AA 3=C TAC，因为 A 是正定的，所以存在可逆矩阵 P 使 A=P TP， 从而有 A 7=C TAC= C TP TPC=(PC) T(PC)，显然 PC 可逆，所以 A 7也都是正定的． 因为 A 是正定的，所以存在可逆矩阵 P 使 A=P TP，从而 A -1= (P TP) -1=P -1(P -1) T,故 A -1也是 正定的． 2.设 A，B 是 n×n 正定矩阵，证明 A+B 也是正定的． 证 因为 A，B 是 n×n 正定矩阵，所以对任意 X∈R n，当 X≠0 时有 X TAX>0, X TBX>0,从而 X T(A+B)X=X TAX+X TBX>0,故 A+B 也是正定的． 3.判断下列实二次型是否正定： ①f(x1, x2,x3)=5x1 2+4x1x2-8x1x3+x2 2-4x2x3+5x3 2 ②f(x1, x2,x3)= x1 2+4x1x2-4x1x3-2x2 2-4x2x3+x3 2 解 ① 二次型的矩阵为           4 2 5 2 1 2 5 2 4 A 因为 5>0, 0 2 1 5 2  , 4 2 5 2 1 2 5 2 4     =25+16+16-16-20-20=1>0, 所以，实二次型是正定的． ② 二次型的矩阵为            2 2 1 2 2 2 1 2 2 A 因为 1>0, 2 4 0 2 2 1 2      , 所以，实二次型不是正定的． 4.设抛物线 y=ax 2+bx+c 开口向上，并且与 x 轴不相交，证明：三元实二次型 f(x1, x2,x3)= x1 2+ax2 2+bx2x3+4cx3 2 是正定的． 证 由抛物线 y=ax 2+2bx+c 开口向上知 a>0，又 c a b a b y a x           2 4 2 2 ，又因抛物线 与 x 轴不相交，所以 0 4 4 4 2 2      a ac b c a b ， 所给三元实二次型的矩阵为        b c A a b 0 4 0 1 0 0